Axiom silové sady - Axiom of power set - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Prvky výkonové sady množiny {X, y, z} objednal s ohledem na zařazení.

v matematika, axiom silové sady jeden z Zermelo – Fraenkelovy axiomy z axiomatická teorie množin.

V formální jazyk axiomů Zermelo – Fraenkel, axiom zní:

${ displaystyle forall x , existuje y , forall z , [z in y iff forall w , (w in z Rightarrow w in x)]}$

kde y je Napájecí sada z X, ${ displaystyle { mathcal {P}} (x)}$.

V angličtině to říká:

Vzhledem k jakékoli soubor X, tady je sada ${ displaystyle { mathcal {P}} (x)}$ takhle, vzhledem k jakékoli sadě z, tato sada z je členem ${ displaystyle { mathcal {P}} (x)}$ kdyby a jen kdyby každý prvek z je také prvkem X.

Stručněji: pro každou sadu ${ displaystyle x}$, existuje sada ${ displaystyle { mathcal {P}} (x)}$ skládající se přesně z podmnožin ${ displaystyle x}$.

Všimněte si podmnožina vztah ${ displaystyle subseteq}$ není použit ve formální definici, protože podmnožina není primitivní relací ve formální teorii množin; poněkud podmnožina je definována v termínech nastavit členství, ${ displaystyle in}$. Podle axiom roztažnosti, sada ${ displaystyle { mathcal {P}} (x)}$ je jedinečný.

Axiom množiny výkonů se objevuje ve většině axiomatizací teorie množin. To je obecně považováno za nekontroverzní, ačkoli konstruktivní teorie množin dává přednost slabší verzi k vyřešení obav z predikativita.

Důsledky

Poweriom Axiom umožňuje jednoduchou definici kartézský součin dvou sad ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$:

${ displaystyle X krát Y = {(x, y): x v X přistát y v Y }.}$

Všimněte si toho

${ displaystyle x, y v X pohár Y}$

${ displaystyle {x }, {x, y } v { mathcal {P}} (X cup Y)}$

a například zvažování modelu používajícího Kuratowski objednal pár,

${ displaystyle (x, y) = { {x }, {x, y } } v { mathcal {P}} ({ mathcal {P}} (X cup Y)) }$

a tedy kartézský součin je od té doby množinou

${ displaystyle X times Y subseteq { mathcal {P}} ({ mathcal {P}} (X cup Y)).}$

Lze definovat kartézský součin libovolného konečný sbírka množin rekurzivně:

${ displaystyle X_ {1} times cdots times X_ {n} = (X_ {1} times cdots times X_ {n-1}) times X_ {n}.}$

Všimněte si, že existenci karteziánského součinu lze prokázat bez použití axiomu množiny výkonů, jako v případě Teorie množin Kripke – Platek.

Reference

• Paul Halmos, Naivní teorie množin. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Přetištěno Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (Vydání Springer-Verlag).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN  3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Teorie množin: Úvod do důkazů o nezávislosti. Elsevier. ISBN  0-444-86839-9.

Tento článek včlení materiál od Axiomu zapnuté síly PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.