Konstruktivní vesmír - Constructible universe

v matematika, v teorie množin, konstruovatelný vesmír (nebo Gödelův konstruovatelný vesmír), označeno L, je zvláštní třída z sady které lze zcela popsat pomocí jednodušších množin. L je unie konstruovatelná hierarchie L_α . To bylo představeno Kurt Gödel ve svém příspěvku z roku 1938 „Konzistence axiomu volby a všeobecné hypotézy kontinua“.^[1] Tím dokázal, že konstruktivní vesmír je vnitřní model z ZF teorie množin a také to, že axiom volby a zobecněná hypotéza kontinua platí ve konstruovatelném vesmíru. To ukazuje, že obě tvrzení jsou konzistentní se základním axiomy teorie množin, pokud je konzistentní samotný ZF. Protože mnoho dalších vět platí pouze v systémech, ve kterých je pravdivá jedna nebo obě věty, je jejich důslednost důležitým výsledkem.

Co L je

L lze považovat za stavbu ve "fázích" připomínajících vesmír von Neumann, PROTI. Fáze jsou indexovány pomocí řadové. Ve vesmíru von Neumanna, v a nástupce fázi, jeden bere PROTI_α+1 být souborem Všechno podmnožiny předchozí fáze, PROTI_α. Naproti tomu v Gödelově konstruovatelném vesmíru L, jeden používá pouze ty podmnožiny předchozí fáze, které jsou:

• definovatelný a vzorec v formální jazyk teorie množin,
• s parametry z předchozí fáze a
• s kvantifikátory interpretován tak, aby se pohyboval v průběhu předchozí fáze.

Omezením na množiny definované pouze z hlediska toho, co již bylo zkonstruováno, je zajištěno, že výsledné množiny budou konstruovány způsobem, který je nezávislý na zvláštnostech okolního modelu teorie množin a obsažený v každém takovém modelu.

Definovat

${ displaystyle operatorname {Def} (X): = { Bigl {} {y mid y v X { text {a}} (X, in) modely Phi (y, z_ { 1}, ldots, z_ {n}) } ~ { Big |} ~ Phi { text {je vzorec prvního řádu a}} z_ {1}, ldots, z_ {n} v X { Bigr }}.}$

L je definováno transfinitní rekurze jak následuje:

• ${ displaystyle L_ {0}: = varnothing.}$
• ${ displaystyle L _ { alpha +1}: = operatorname {Def} (L _ { alpha}).}$
• Li ${ displaystyle lambda}$ je mezní pořadové číslo, pak ${ displaystyle L _ { lambda}: = bigcup _ { alpha < lambda} L _ { alpha}.}$ Tady α<λ prostředek α předchází λ.
• ${ displaystyle L: = bigcup _ { alpha in mathbf {Ord}} L _ { alpha}.}$ Tady Obj označuje třída všech ordinálů.

Li z je prvek L_α, pak z = {y | y ∈ L_α a y ∈ z} ∈ Def (L_α) = L_{α + 1}. Tak L_α je podmnožinou L_α+1, což je podmnožina souboru napájecí sada z L_α. V důsledku toho je to věž vnořená tranzitivní množiny. Ale L sám o sobě je správná třída.

Prvky L se nazývají „konstruovatelné“ množiny; a L sám o sobě je „konstruovatelný vesmír“. „axiom konstruovatelnosti „aka“PROTI = L", říká, že každá sada (z PROTI) je konstruovatelný, tj. v L.

Další fakta o sadách L_α

Ekvivalentní definice pro L_α je:

Pro všechny řadové α, ${ displaystyle L _ { alpha} = bigcup _ { beta < alpha} operatorname {Def} (L _ { beta}) !}$.

Pro každou konečnou řadovou n, sady L_n a PROTI_n jsou stejné (zda PROTI rovná se L nebo ne), a tedy L_ω = PROTI_ω: jejich prvky jsou přesně dědičně konečné sady. Rovnost za tímto bodem neplatí. I v modelech ZFC ve kterém PROTI rovná se L, L_ω+1 je správná podmnožina PROTI_ω+1a poté L_α+1 je správná podmnožina sady výkonu L_α pro všechny α > ω. Na druhou stranu, PROTI = L to naznačuje PROTI_α rovná se L_α -li α = ω_α, například pokud α je nepřístupný. Obecněji, PROTI = L naznačuje H_α = L_α pro všechny nekonečné kardinály α.

Li α je nekonečný řadový, pak existuje bijekce mezi L_α a αa bijekce je proveditelná. Tyto sady tedy jsou stejný počet v každém modelu teorie množin, který je zahrnuje.

Jak je definováno výše, Def (X) je sada podmnožin X definovaný Δ₀ vzorce (tj. vzorce teorie množin obsahující pouze omezené kvantifikátory ), které se používají pouze jako parametry X a jeho prvky.

Další definice, kvůli Gödel, charakterizuje každý L_α+1 jako průsečík výkonové sady L_α s uzavřením ${ displaystyle L _ { alpha} pohár {L _ { alpha} }}$ pod kolekcí devíti explicitních funkcí, podobně jako Gödelovy operace. Tato definice neodkazuje na definovatelnost.

Všechno aritmetický podmnožiny ω a vztahy na ω patřit k L_ω+1 (protože aritmetická definice dává jeden v L_ω+1). Naopak jakákoli podmnožina ω patřící L_ω+1 je aritmetický (protože prvky L_ω lze kódovat přirozenými čísly takovým způsobem, že ∈ je definovatelný, tj. aritmetický). Na druhou stranu, L_ω+2 již obsahuje určité nearitmetické podmnožiny ω, jako je množina (kódování přirozených čísel) pravdivých aritmetických příkazů (lze je definovat z L_ω+1 tak je to v L_ω+2).

Všechno hyperaritmetické podmnožiny ω a vztahy na ω patřit k ${ displaystyle L _ { omega _ {1} ^ { mathrm {CK}}}}$ (kde ${ displaystyle omega _ {1} ^ { mathrm {CK}}}$ znamená Církev – Kleene ordinální ) a naopak jakákoli podmnožina ω kterému patří ${ displaystyle L _ { omega _ {1} ^ { mathrm {CK}}}}$ je hyperaritmetický.^[2]

L je standardní vnitřní model ZFC

L je standardní model, tj. je tranzitivní třída a používá vztah skutečných prvků, takže je opodstatněný. L je vnitřní model, tj. obsahuje všechna pořadová čísla PROTI a nemá žádné „extra“ sady nad rámec těch v PROTI, ale může to být správná podtřída PROTI. L je model ZFC, což znamená, že splňuje následující podmínky axiomy:

• Axiom pravidelnosti: Každá neprázdná sada X obsahuje nějaký prvek y takhle X a y jsou disjunktní množiny.

(L, ∈) je substruktura (PROTI, ∈), který je opodstatněný, takže L je opodstatněná. Zejména pokud y ∈ X ∈ L, pak tranzitivitou L, y ∈ L. Použijeme-li to samé y jako v PROTI, pak je to stále disjunktní od X protože používáme stejný vztah prvků a nebyly přidány žádné nové sady.

• Axiom extenzivity: Dvě sady jsou stejné, pokud mají stejné prvky.

Li X a y jsou v L a mají stejné prvky v L, poté Ljsou tranzitivní, mají stejné prvky (v PROTI). Takže jsou si rovni (v PROTI a tedy dovnitř L).

• Axiom prázdné množiny: {} je sada.

{} = L₀ = {y | y∈L₀ a y=y} ∈ L₁. Takže {} ∈ L. Vzhledem k tomu, že relace prvků je stejná a nebyly přidány žádné nové prvky, jedná se o prázdnou sadu L.

• Axiom párování: Pokud X, y jsou sady, pak {X,y} je sada.

Li X ∈ L a y ∈ L, pak je zde několik řadových α takhle X ∈ L_α a y∈L_α. Pak {X,y} = {s | s ∈ L_α a (s = X nebo s = y)} ∈ L_α+1. Tím pádem {X,y} ∈ L a má stejný význam pro L pokud jde o PROTI.

• Axiom unie: Pro jakoukoli sadu X existuje sada y jejichž prvky jsou přesně prvky prvků X.

Li X ∈ L_α, pak jsou jeho prvky L_α a jejich prvky jsou také v L_α. Tak y je podmnožinou L_α. y = {s | s ∈ L_α a existuje z ∈ X takhle s ∈ z} ∈ L_α+1. Tím pádem y ∈ L.

• Axiom nekonečna: Existuje sada X takový, že {} je v X a kdykoli y je v X, taková je i unie ${ displaystyle y cup {y }}$.

Z transfinitní indukce, dostaneme to každý pořadový α ∈ L_α+1. Zejména, ω ∈ L_ω+1 a tudíž ω ∈ L.

• Axiom oddělení: Vzhledem k jakékoli sadě S a jakýkoli návrh P(X,z₁,...,z_n), {X | X ∈ S a P(X,z₁,...,z_n)} je sada.

Indukcí na dílčí vzorce z P, lze ukázat, že existuje α takhle L_α obsahuje S a z₁,...,z_n a (P je pravda v L_α kdyby a jen kdyby P je pravda v L (tomu se říká „princip odrazu ")). Tak {X | X ∈ S a P(X,z₁,...,z_n) drží se L} = {X | X ∈ L_α a X ∈ S a P(X,z₁,...,z_n) drží se L_α} ∈ L_α+1. Podmnožina je tedy v L.

• Axiom nahrazení: Vzhledem k jakékoli sadě S a jakékoli mapování (formálně definované jako propozice P(X,y) kde P(X,y) a P (X,z) naznačuje y = z), {y | tady existuje X ∈ S takhle P(X,y)} je sada.

Nechat Q(X,y) být vzorec, který relativizuje P na L, tj. všechny kvantifikátory v P jsou omezeny na L. Q je mnohem složitější vzorec než P, ale stále je to konečný vzorec a od té doby P bylo mapování L, Q musí to být mapování PROTI; můžeme tedy použít náhradu v PROTI na Q. Tak {y | y ∈ L a existuje X ∈ S takhle P(X,y) drží se L} = {y | tady existuje X ∈ S takhle Q(X,y)} je sada v PROTI a podtřída L. Opět používám axiom nahrazení v PROTI, můžeme ukázat, že musí existovat α taková, že tato sada je podmnožinou L_α ∈ L_α+1. Pak lze použít axiom oddělení v L dokončit ukázku, že se jedná o prvek L.

• Axiom silové sady: Pro jakoukoli sadu X existuje sada y, takže prvky y jsou přesně podmnožiny X.

Obecně platí, že některé podmnožiny sady v L nebude v L. Takže celá sada napájení je součástí L obvykle nebude v L. To, co zde potřebujeme, je ukázat, že křižovatka síly byla nastavena na L je v L. Použijte náhradu v PROTI ukázat, že existuje α takové, že průsečík je podmnožinou L_α. Pak je křižovatka {z | z ∈ L_α a z je podmnožinou X} ∈ L_α+1. Požadovaná sada je tedy v L.

• Axiom volby: Vzhledem k sadě X vzájemně disjunktních neprázdných sad existuje sada y (výběr nastaven na X) obsahující přesně jeden prvek od každého člena X.

Lze ukázat, že existuje definovatelné uspořádání L ve které definici funguje stejně L sám. Jeden si tedy vybere nejmenší prvek každého člena X tvořit y pomocí axiomů sjednocení a oddělení v L.

Všimněte si, že důkaz, že L je model ZFC vyžaduje pouze to PROTI být modelem ZF, tj. my ano ne předpokládejme, že platí axiom výběru PROTI.

L je absolutní a minimální

Li Ž je jakýkoli standardní model ZF sdílející stejné pořadové řádky jako PROTI, pak L definované v Ž je stejný jako L definované v PROTI. Zejména, L_α je stejný v Ž a PROTI, pro všechny řadové α. A stejné vzorce a parametry v Def (L_α) produkují stejné konstruktivní sady v L_α+1.

Kromě toho od L je podtřída PROTI a podobně L je podtřída Ž, L je nejmenší třída obsahující všechny ordinály, což je standardní model ZF. Vskutku, L je průsečík všech těchto tříd.

Pokud existuje soubor Ž v PROTI to je standardní model ZF a ordinál κ je sada řadových čísel, které se vyskytují v Ž, pak L_κ je L z Ž. Pokud existuje sada, která je standardním modelem ZF, pak nejmenší taková sada je taková L_κ. Tato sada se nazývá minimální model ZFC. Pomocí dolů Löwenheim – Skolemova věta, lze ukázat, že minimální model (pokud existuje) je spočetná množina.

Každá konzistentní teorie samozřejmě musí mít model, takže i v rámci minimálního modelu teorie množin existují množiny, které jsou modely ZF (za předpokladu, že ZF je konzistentní). Tyto modely sady jsou však nestandardní. Zejména nepoužívají vztah normálních prvků a nejsou opodstatněné.

Protože oba L z L a PROTI z L jsou skutečné L a oba L z L_κ a PROTI z L_κ jsou skutečné L_κ, máme to PROTI = L je pravda v L a ve všech L_κ to je model ZF. Nicméně, PROTI = L neplatí v žádném jiném standardním modelu ZF.

L a velcí kardinálové

Protože Ord ⊂ L ⊆ PROTI, vlastnosti ordinálů, které závisí na absenci funkce nebo jiné struktury (tj. Π₁^ZF vzorce) se při přechodu z PROTI na L. Proto počáteční ordinály kardinálů zůstává v roce L. Řádní řadoví zůstat pravidelný v L. Slabý omezit kardinály stát se silným limitem kardinálů v L protože zobecněná hypotéza kontinua drží se L. Slabě nepřístupní kardinálové stát se silně nepřístupným. Slabě Mahlo kardinálové stát se silně Mahlo. A obecněji jakékoli velký kardinál vlastnost slabší než 0^# (viz seznam velkých světových vlastností ) budou zachovány v L.

Nicméně 0^# je v L i když je to pravda PROTI. Takže všichni velcí kardinálové, jejichž existence znamená 0^# přestanou mít ty velké hlavní vlastnosti, ale zachovají si vlastnosti slabší než 0# které také vlastní. Například, měřitelní kardinálové přestanou být měřitelné, ale zůstanou v něm Mahlo L.

Pokud 0^# drží se PROTI, pak existuje uzavřená neomezená třída ordinálů, které jsou nerozeznatelný v L. Zatímco některé z nich nejsou ani počátečními řadovými čísly PROTI, mají všechny velké hlavní vlastnosti slabší než 0^# v L. Kromě toho jakákoli striktně rostoucí funkce třídy ze třídy nerozluční na sebe lze jedinečným způsobem rozšířit na základní vložení z L do L. To dává L pěkná struktura opakujících se segmentů.

L lze dobře objednat

Existuje několik způsobů, jak dobře objednat L. Některé z nich zahrnují "jemná struktura" z L, který poprvé popsal Ronald Bjorn Jensen ve svém příspěvku z roku 1972 nazvaném „Jemná struktura konstruktivní hierarchie“. Namísto vysvětlení jemné struktury uvedeme obrys toho, jak L lze dobře objednat pouze pomocí výše uvedené definice.

Předpokládat X a y jsou dvě různé sady L a chceme zjistit, zda X < y nebo X > y. Li X nejprve se objeví v L_α+1 a y nejprve se objeví v L_β+1 a β se liší od α, pak nechte X < y kdyby a jen kdyby α < β. Od nynějška to předpokládáme β = α.

Pódium L_α+1 = Def (L_α) používá vzorce s parametry z L_α definovat množiny X a y. Pokud jedna sleva (prozatím) parametrů, lze vzorcům dát standard Gödelovo číslování přirozenými čísly. Li Φ je vzorec s nejmenším Gödelovým číslem, které lze použít k definování X, a Ψ je vzorec s nejmenším Gödelovým číslem, které lze použít k definování y, a Ψ se liší od Φ, pak nechte X < y kdyby a jen kdyby Φ < Ψ v číslování Gödel. Od nynějška to předpokládáme Ψ = Φ.

Předpokládejme to Φ používá n parametry z L_α. Předpokládat z₁,...,z_n je sled parametrů, které lze použít s Φ definovat X, a w₁,...,w_n dělá to samé pro y. Pak nechte X < y jen a jen pokud z_n < w_n nebo (z_n = w_n a z_{n − 1} < w_{n − 1}) nebo (z_n= w_n a z_{n − 1} = w_{n − 1} a z_{n − 2} < w_{n − 2}) atd. Tomu se říká naopak lexikografické objednávání; pokud existuje více sekvencí parametrů, které definují jednu ze sad, vybereme nejméně jednu v tomto pořadí. Rozumí se, že možné hodnoty každého parametru jsou řazeny podle omezení pořadí L na L_α, takže tato definice zahrnuje transfinitní rekurzi na α.

Správné uspořádání hodnot jednotlivých parametrů zajišťuje indukční hypotéza transfinitní indukce. Hodnoty n-tuple parametrů jsou dobře seřazeny podle objednávky produktu. Vzorce s parametry jsou dobře seřazené podle objednaného součtu (podle Gödelových čísel) pořadí. A L je dobře seřazené podle objednané částky (indexováno α) objednávek dne L_α+1.

Všimněte si, že toto objednávání lze definovat uvnitř L sám vzorcem teorie množin bez parametrů, pouze s volnými proměnnými X a y. A tento vzorec dává totéž pravdivostní hodnota bez ohledu na to, zda je hodnocena v L, PROTInebo Ž (nějaký jiný standardní model ZF se stejnými řadovými čísly) a budeme předpokládat, že vzorec je nepravdivý, pokud existuje X nebo y není v L.

Je dobře známo, že axiom výběru je ekvivalentní schopnosti dobře uspořádat každou sadu. Umět správně objednat správnou třídu PROTI (jak jsme to udělali s L) je ekvivalentní s axiom globální volby, který je silnější než obyčejný axiom volby protože také pokrývá správné třídy neprázdných množin.

L má princip odrazu

Dokazující, že axiom oddělení, axiom nahrazení, a axiom volby vydrž L vyžaduje (alespoň jak je uvedeno výše) použití a princip odrazu pro L. Zde popisujeme takový princip.

Indukcí dne n < ω, můžeme použít ZF v PROTI dokázat, že pro všechny řadové α, existuje ordinál β > α tak, že pro jakoukoli větu P(z₁,...,z_k) s z₁,...,z_k v L_β a obsahující méně než n symboly (počítá konstantní symbol pro prvek L_β jako jeden symbol) to dostaneme P(z₁,...,z_k) drží se L_β jen když to drží L.

Zobecněná hypotéza kontinua platí L

Nechat ${ displaystyle S in L _ { alpha}}$a nechte T být libovolnou konstruovatelnou podmnožinou S. Pak je tu pár β s ${ displaystyle T v L _ { beta +1}}$, tak ${ displaystyle T = {x v L _ { beta}: x v S klín Phi (x, z_ {i}) } = {x v S: Phi (x, z_ {i }) }}$, pro nějaký vzorec Φ a nějaký ${ displaystyle z_ {i}}$ vybrané z ${ displaystyle L _ { beta}}$. Směrem dolů Löwenheim – Skolemova věta a Mostowski se zhroutil, musí existovat nějaká tranzitivní množina K. obsahující ${ displaystyle L _ { alpha}}$ a nějaký ${ displaystyle w_ {i}}$, a mají stejnou teorii prvního řádu jako ${ displaystyle L _ { beta}}$ s ${ displaystyle w_ {i}}$ nahrazuje ${ displaystyle z_ {i}}$; a tohle K. bude mít stejného kardinála jako ${ displaystyle L _ { alpha}}$. Od té doby ${ displaystyle V = L}$ je pravda v ${ displaystyle L _ { beta}}$, je to také pravda v K., tak ${ displaystyle K = L _ { gamma}}$ pro některé y se stejným kardinálem jako α. A ${ displaystyle T = {x v L _ { beta}: x v S klín Phi (x, z_ {i}) } = {x v L _ { gamma}: x v S klín Phi (x, w_ {i}) }}$ protože ${ displaystyle L _ { beta}}$ a ${ displaystyle L _ { gamma}}$ mají stejnou teorii. Tak T je ve skutečnosti v ${ displaystyle L _ { gama +1}}$.

Takže všechny konstruovatelné podmnožiny nekonečné množiny S mají hodnosti s (maximálně) stejným kardinálem κ jako hodnost S; z toho vyplývá, že pokud δ je počáteční pořadové číslo pro κ⁺, pak ${ displaystyle L cap { mathcal {P}} (S) subseteq L _ { delta}}$ slouží jako "výkonová sada" S v rámci L. Tato „sada energie“ ${ displaystyle L cap { mathcal {P}} (S) v L _ { delta +1}}$. A to zase znamená, že "výkonová sada" z S má nejvýše kardinál ||δ||. Za předpokladu S sám má kardinál κ, „power set“ pak musí mít kardinál přesně κ⁺. Ale to je přesně to zobecněná hypotéza kontinua relativizováno na L.

Sestavitelné množiny jsou definovatelné z řadových čísel

Existuje vzorec teorie množin, který vyjadřuje myšlenku, že X = L_α. Má pouze volné proměnné pro X a α. Pomocí toho můžeme rozšířit definici každé konstruovatelné množiny. Li s ∈ L_α+1, pak s = {y | y ∈ L_α a Φ(y,z₁,...,z_n) drží v (L_α, ∈)} pro nějaký vzorec Φ a nějaký z₁,...,z_n v L_α. To odpovídá tvrzení: pro všechny y, y ∈ s právě když [existuje X takhle X =L_α a y ∈ X a Ψ(X,y,z₁,...,z_n)] kde Ψ(X, ...) je výsledkem omezení každého kvantifikátoru v Φ(...) do X. Všimněte si, že každý z_k ∈ L_β+1 pro některé β < α. Zkombinujte vzorce pro zmá vzorec pro s a použít existenční kvantifikátory přes zje venku a jeden dostane vzorec, který definuje konstruktivní množinu s pouze za použití řadových čísel α které se objevují ve výrazech jako X = L_α jako parametry.

Příklad: Sada {5,ω} je konstruovatelný. Je to jedinečná sada s který splňuje vzorec:

${ displaystyle forall y (y in s iff (y in L _ { omega +1} land ( forall a (a in y iff a in L_ {5} land Ord (a) ) lor forall b (b in y iff b in L _ { omega} land Ord (b)))))}$,

kde ${ displaystyle Ord (a)}$ je zkratka pro:

${ displaystyle forall c in a ( forall d in c (d in a land forall e in d (e in c)))}}$

Vlastně i tento složitý vzorec byl zjednodušen z toho, co by přinesly pokyny uvedené v prvním odstavci. Jde ale o to, že existuje vzorec teorie množin, který platí pouze pro požadovanou konstruovatelnou množinu s a který obsahuje parametry pouze pro řadové číslovky.

Relativní konstruovatelnost

Někdy je žádoucí najít model teorie množin, který je úzký L, ale to zahrnuje nebo je ovlivněno množinou, která není konstruovatelná. To vede ke konceptu relativní konstruovatelnosti, který má dvě příchutě, označené L(A) a L[A].

Třída L(A) pro neproveditelnou sadu A je průsečík všech tříd, které jsou standardními modely teorie množin a obsahují A a všichni řadoví.

L(A) je definován transfinitní rekurze jak následuje:

• L₀(A) = nejmenší tranzitivní sada obsahující A jako prvek, tj přechodné uzavření z { A }.
• L_α+1(A) = Def (L_α(A))
• Li λ je tedy limitní pořadové číslo ${ displaystyle L _ { lambda} (A) = bigcup _ { alpha < lambda} L _ { alpha} (A) !}$.
• ${ displaystyle L (A) = bigcup _ { alpha} L _ { alpha} (A) !}$.

Li L(A) obsahuje řádné uspořádání přechodného uzavření A, toto lze rozšířit na řádné řazení L(A). Jinak axiom výběru selže L(A).

Běžným příkladem je ${ displaystyle L ( mathbb {R})}$, nejmenší model, který obsahuje všechna reálná čísla, který se v moderní době hojně používá deskriptivní teorie množin.

Třída L[A] je třída souborů, jejichž konstrukce je ovlivněna A, kde A může být (pravděpodobně neproveditelná) množina nebo vlastní třída. Definice této třídy používá Def_A (X), což je stejné jako Def (X) až na to, že místo hodnocení pravdivosti vzorců Φ v modelu (X, ∈), jeden používá model (X,∈,A) kde A je unární predikát. Zamýšlený výklad A(y) je y ∈ A. Pak definice L[A] je přesně to L pouze s Def nahrazen Def_A.

L[A] je vždy modelem axiomu výběru. I kdyby A je sada, A není nutně sám členem L[A], ačkoli vždy je, pokud A je sada řadových čísel.

Sady v L(A) nebo L[A] obvykle nejsou ve skutečnosti konstruovatelné a vlastnosti těchto modelů se mohou zcela lišit od vlastností L sám.

Viz také

• Axiom konstruovatelnosti
• Prohlášení pravdivá v L
• Princip reflexe
• Axiomatická teorie množin
• Přechodná sada
• L (R)
• Pořadové definovatelné

Poznámky

Reference

• Barwise, Jon (1975). Přípustné sady a struktury. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  0-387-07451-1.
• Devlin, Keith J. (1984). Stavitelnost. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  0-387-13258-9.
• Felgner, Ulrich (1971). Modely teorie množin ZF. Přednášky z matematiky. Springer-Verlag. ISBN  3-540-05591-6.
• Gödel, Kurt (1938). „Konzistence axiomu volby a generalizované hypotézy kontinua“. Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických. Národní akademie věd. 24 (12): 556–557. doi:10.1073 / pnas.24.12.556. JSTOR  87239. PMC  1077160. PMID  16577857.
• Gödel, Kurt (1940). Konzistence hypotézy kontinua. Annals of Mathematics Studies. 3. Princeton, N. J .: Princeton University Press. ISBN  978-0-691-07927-1. PAN  0002514.
• Jech, Thomas (2002). Teorie množin. Springer Monografie z matematiky (3. tisíciletí ed.). Springer. ISBN  3-540-44085-2.