Vektorová notace - Vector notation

Vektorová notace
	Vektorové šipka; Ukazující z A na B ; Vektorové komponenty; Popisující vektor šipky proti jeho souřadnicemi X a y výnosy izomorfismus vektorových prostorů. ;
	Skalární součin; Dvě sekvence vektorů souřadnic stejné délky a vrací jedno číslo ; Vektorový produkt; Křížový produkt ve vztahu k pravostrannému souřadnicovému systému ;

Vektorová notace je běžně používaný matematická notace pro práci s matematickými vektory,^[1]^[2] což může být geometrické vektory nebo členů z vektorové prostory.

Pro reprezentaci vektoru je běžné typografická konvence je malá písmena, svisle tučně, jako v $u$ , $proti$ a $w$ .^[3] The Mezinárodní organizace pro normalizaci (ISO) doporučuje buď tučné kurzíva patkové písmo, jako v $proti$ nebo $A$ , nebo netučná kurzíva patkové písmo s diakritikou pravou šipkou, jako v ${displaystyle {vec {v}}}$ nebo ${displaystyle {vec {a}}}$ .^[4] Tato šipková notace pro vektory se běžně používá v rukopisu, kde je tučné písmo nepraktické. Šipka představuje doprava směřující šipka nebo harpuny. Zkratkové notace zahrnout tildes a rovné čáry umístěny jednotlivě pod nebo nad název vektoru.

V pokročilé matematice jsou vektory často reprezentovány jednoduchým kurzívou, jako každý jiný proměnná.

Dějiny

Koncept a vektor byl vytvořen W. R. Hamilton kolem roku 1843, jak prozradil čtveřice, systém, který využívá vektory a skaláry k překlenutí čtyřrozměrného prostoru. Pro čtveřici q = A + bi + Cj + dk, Hamilton použil dvě projekce: S q = A, pro skalární část q, a PROTI q = bi + Cj + dk, vektorová část. Používáme moderní pojmy křížový produkt (×) a Tečkovaný produkt (.) čtvercový produkt dvou vektorů str a q lze psát pq = –str.q + str×q. V roce 1878 W. K. Clifford oddělil tyto dva produkty, aby byla operace čtveřice užitečná pro studenty v jeho učebnici Dynamické prvky. Přednášet na univerzita Yale, Josiah Willard Gibbs dodaný zápis pro skalární součin a vektorové produkty, který byl představen v Vektorová analýza.^[5]

V roce 1891 Oliver Heaviside argumentoval pro Clarendon rozlišit vektory od skalárů. Kritizoval použití Řecká písmena podle Taita a Gotická písmena podle Maxwella.^[6]

V roce 1912 J.B. Shaw přispěl do své "Srovnávací notace pro vektorové výrazy" Bulletin z Quaternion Society.^[7] Následně Alexander Macfarlane popsáno 15 kritérií pro jasnou expresi s vektory ve stejné publikaci.^[8]

Vektorové nápady byly rozšířeny o Hermann Grassmann v roce 1841 a znovu v roce 1862 v německý jazyk. Němečtí matematici však nebyli bráni s čtveřicemi natolik jako anglicky mluvící matematici. Když Felix Klein organizoval Německá matematická encyklopedie, přidělil Arnold Sommerfeld standardizovat vektorovou notaci.^[9] V roce 1950, kdy Akademický tisk zveřejnil překlad G. Kuerti druhého vydání svazku 2 z Přednášky z teoretické fyziky Sommerfelda byla vektorová notace předmětem poznámky pod čarou: „V původním německém textu vektory a jejich součásti jsou vytištěny ve stejných gotických typech. Pro tento překlad byl použit obvyklejší způsob typografického rozlišení mezi těmito dvěma. “^[10]

Obdélníkové vektory

Obdélník

Obdélníkový kvádr

Obdélníkový vektor je a vektor souřadnic specifikovány komponenty, které definují a obdélník (nebo obdélníkový hranol ve třech rozměrech a podobné tvary ve větších rozměrech). Počáteční bod a koncový bod vektoru leží na opačných koncích obdélníku (nebo hranolu atd.).

Objednaná množinová notace

Obdélníkový vektor v ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ lze určit pomocí objednaného soubor součástí v závorkách nebo v hranatých závorkách.

V obecném smyslu, n-dimenzionální vektor proti lze zadat v jedné z následujících forem:

${displaystyle mathbf {v} = (v_ {1}, v_ {2}, tečky, v_ {n-1}, v_ {n})}$
${displaystyle mathbf {v} = jazyk v_ {1}, v_ {2}, tečky, v_ {n-1}, v_ {n} úhel}$

Kde proti₁, proti₂, …, proti_n − 1, proti_n jsou komponenty proti.^[11]

Maticová notace

Obdélníkový vektor v ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ lze také zadat jako řádek nebo sloupec matice obsahující objednanou sadu komponent. Vektor určený jako řádková matice je znám jako a řádek vektor; jeden zadaný jako sloupcová matice je známý jako a vektor sloupce.

Opět platí, že n-dimenzionální vektor ${displaystyle mathbf {v}}$ lze zadat v jedné z následujících forem pomocí matic:

${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} v_ {1} & v_ {2} & cdots & v_ {n-1} & v_ {n} end {matrix}} ight] = left ({egin {matrix} v_ { 1} & v_ {2} & cdots & v_ {n-1} & v_ {n} end {matrix}} ight)}$
${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} v_ {1} v_ {2} vdots v_ {n-1} v_ {n} end {matrix}} ight] = left ({egin { matice} v_ {1} v_ {2} vdots v_ {n-1} v_ {n} konec {matice}} vpravo)}$

kde proti₁, proti₂, …, proti_n − 1, proti_n jsou komponenty proti. V některých pokročilých kontextech mají vektor řádku a sloupce jiný význam; vidět kovariance a kontravariance vektorů více.

Jednotková vektorová notace

Obdélníkový vektor v ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ (nebo méně rozměrů, například ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ kde proti_z níže je nula) lze specifikovat jako součet skalárních násobků složek vektoru s členy standardu základ v ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ . Základ představuje jednotkové vektory ${displaystyle {oldsymbol {hat {imath}}} = (1,0,0)}$ , ${displaystyle {oldsymbol {hat {jmath}}} = (0,1,0)}$ , a ${displaystyle {oldsymbol {hat {k}}} = (0,0,1)}$ .

Trojrozměrný vektor ${displaystyle {oldsymbol {v}}}$ lze zadat v následujícím formuláři pomocí zápisu jednotkového vektoru:

${displaystyle mathbf {v} = v_ {x} {oldsymbol {hat {imath}}} + v_ {y} {oldsymbol {hat {jmath}}} + v_ {z} {oldsymbol {hat {k}}}}$

Kde proti_X, proti_y, a proti_z jsou skalární složky proti. Skalární komponenty mohou být pozitivní nebo negativní; absolutní hodnota skalární složky je její velikost.

Polární vektory

Body v polárním souřadném systému s pólem Ó a polární osa L. Zeleně bod s radiální souřadnicí 3 a úhlovou souřadnicí 60 stupňů nebo (3,60 °). Modře bod (4 210 °).

Dva polární souřadnice bodu v rovině lze považovat za dvourozměrný vektor. Takový polární vektor sestává z a velikost (nebo délka) a směr (nebo úhel). Velikost, obvykle reprezentována jako r, je vzdálenost od počátečního bodu, původ, do bodu, který je znázorněn. Úhel, obvykle reprezentovaný jako θ (dále jen řecký dopis theta ), je úhel, obvykle měřený proti směru hodinových ručiček, mezi pevným směrem, obvykle pozitivním X-osa a směr od počátku k bodu. Úhel je obvykle zmenšen, aby ležel v rozsahu ${displaystyle 0leq heta <2pi}$ radiány nebo ${displaystyle 0leq heta <360 ^ {circ}}$ .

Je třeba zdůraznit, že a polární vektor ve skutečnosti není vektor, protože přidání dvou polárních vektorů není definována.

Uspořádané množinové a maticové notace

Polární vektory lze specifikovat buď pomocí zápisu uspořádaných párů (podmnožina zápisu uspořádaných množin pomocí pouze dvou komponent), nebo maticového zápisu, jako u obdélníkových vektorů. V těchto formách je první složka vektoru r (namísto proti₁) a druhá složka je θ (namísto proti₂). Pro rozlišení polárních vektorů od obdélníkových vektorů může být úhel opatřen předponou se symbolem úhlu, ${úhel zobrazení}$ .

Dvourozměrný polární vektor proti může být reprezentován jako některý z následujících, a to buď pomocí uspořádaného páru nebo maticového zápisu:

${displaystyle mathbf {v} = (r, úhel heta)}$
${displaystyle mathbf {v} = jazyk r, úhel heta úhel}$
${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} r & angle heta end {matrix}} ight]}$
${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} r angle heta end {matrix}} ight]}$

kde r je velikost, θ je úhel a symbol úhlu ( ${úhel zobrazení}$ ) je volitelný.

Přímá notace

Polární vektory lze také určit pomocí zjednodušených autonomních rovnic, které definují r a θ výslovně. To může být nepraktické, ale je to užitečné pro zabránění záměny s dvourozměrnými obdélníkovými vektory, které vznikají při použití seřazené dvojice nebo maticové notace.

Dvourozměrný vektor, jehož velikost je 5 jednotek a jehož směr je π/ 9 radiánů (20 °), lze určit pomocí jedné z následujících forem:

${displaystyle r = 5, heta = {pi nad 9}}$
${displaystyle r = 5, heta = 20 ^ {circ}}$

Válcové vektory

Válcový souřadnicový systém s počátkem Ó, polární osa Aa podélná osa L. Tečka je bod s radiální vzdáleností ρ = 4, úhlová souřadnice φ = 130 ° a výška z = 4.

Válcový vektor je rozšířením konceptu polárních vektorů do tří dimenzí. Je to podobné jako šipka v válcový souřadnicový systém. Válcový vektor je určen vzdáleností v xy-rovina, úhel a vzdálenost od xy-rovina (výška). První vzdálenost, obvykle reprezentována jako r nebo ρ (řecké písmeno rho ), je velikost projekce vektoru na xy-letadlo. Úhel, obvykle reprezentovaný jako θ nebo φ (řecké písmeno phi ), se měří jako posun od přímky kolineární s X-osa v kladném směru; úhel je obvykle zmenšen, aby ležel v rozsahu ${displaystyle 0leq heta <2pi}$ . Druhá vzdálenost, obvykle reprezentována jako h nebo z, je vzdálenost od xy-rovina ke koncovému bodu vektoru.

Uspořádané množinové a maticové notace

Válcové vektory jsou specifikovány jako polární vektory, kde je druhá složka vzdálenosti zřetězené jako třetí komponenta k vytvoření uspořádaných tripletů (opět podmnožina notace seřazené množiny) a matic. Úhel může být označen symbolem úhlu ( ${úhel zobrazení}$ ); kombinace vzdálenost-úhel-vzdálenost odlišuje válcové vektory v této notaci od sférických vektorů v podobné notaci.

Trojrozměrný válcový vektor proti lze reprezentovat jako kteroukoli z následujících, a to buď pomocí uspořádaného tripletového nebo maticového zápisu:

${displaystyle mathbf {v} = (r, úhel heta, h)}$
${displaystyle mathbf {v} = langle r, heta heta, hangle}$
${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} r & angle heta & hend {matrix}} ight]}$
${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} r angle heta hend {matrix}} ight]}$

Kde r je velikost projekce proti na xy-letadlo, θ je úhel mezi kladným X- osa a proti, a h je výška od xy- letadlo do koncového bodu proti. Opět symbol úhlu ( ${úhel zobrazení}$ ) je volitelný.

Přímá notace

Válcový vektor lze také zadat přímo pomocí zjednodušených autonomních rovnic, které definují r (nebo ρ), θ (nebo φ), a h (nebo z). Konzistence by měla být použita při výběru názvů, které se mají použít pro proměnné; ρ by neměl být smíchán s θ a tak dále.

Trojrozměrný vektor, jehož velikost se promítá na xy-rovina je 5 jednotek, jejichž úhel je kladný X-os je π/ 9 radiánů (20 °) a jejichž výška od xy-letadlo je 3 jednotky lze specifikovat v kterékoli z následujících forem:

${displaystyle r = 5, heta = {pi nad 9}, h = 3}$
${displaystyle r = 5, heta = 20 ^ {circ}, h = 3}$
${displaystyle ho = 5, phi = {pi nad 9}, z = 3}$
${displaystyle ho = 5, phi = 20 ^ {circ}, z = 3}$

Sférické vektory

Sférické souřadnice (r, θ, φ) jak se často používá v matematika: radiální vzdálenost r, azimutální úhel θa polární úhel φ. Významy θ a φ byly vyměněny ve srovnání s konvencí fyziky.

Sférický vektor je další metoda pro rozšíření konceptu polárních vektorů do tří dimenzí. Je to podobné jako šipka v sférický souřadný systém. Sférický vektor je určen velikostí, azimutovým úhlem a zenitovým úhlem. Velikost je obvykle reprezentována jako ρ. Úhel azimutu, obvykle reprezentovaný jako θ, je (proti směru hodinových ručiček) posun od kladného X-osa. Úhel zenitu, obvykle reprezentovaný jako φ, je offset od kladného z-osa. Oba úhly jsou obvykle zmenšeny tak, aby ležely v rozsahu od nuly (včetně) do 2π (výhradní).

Uspořádané množinové a maticové notace

Sférické vektory jsou specifikovány jako polární vektory, kde je zenitový úhel zřetězen jako třetí složka pro vytvoření uspořádaných tripletů a matic. Úhel azimutu a zenitu může být předponou se symbolem úhlu ( ${úhel zobrazení}$ ); předpona by měla být konzistentně použita k vytvoření kombinace vzdálenost-úhel-úhel, která odlišuje sférické vektory od válcových.

Trojrozměrný sférický vektor proti lze reprezentovat jako kteroukoli z následujících, a to buď pomocí uspořádaného tripletového nebo maticového zápisu:

${displaystyle mathbf {v} = (ho, úhel heta, úhel phi)}$
${displaystyle mathbf {v} = langle ho, úhel heta, úhel phi úhel}$
${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} ho & angle heta & angle phi end {matrix}} ight]}$
${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} ho angle heta angle phi end {matrix}} ight]}$

Kde ρ je velikost, θ je úhel azimutu a φ je zenitový úhel.

Přímá notace

Stejně jako polární a válcové vektory lze sférické vektory specifikovat pomocí zjednodušených autonomních rovnic, v tomto případě pro ρ, θ, a φ.

Trojrozměrný vektor, jehož velikost je 5 jednotek a jehož úhel azimutu je π/ 9 radiánů (20 °) a jejichž zenitový úhel je π/ 4 radiány (45 °) lze specifikovat jako:

${displaystyle ho = 5, heta = {pi nad 9}, phi = {pi nad 4}}$
${displaystyle ho = 5, heta = 20 ^ {circ}, phi = 45 ^ {circ}}$

Operace

V každém z nich vektorový prostor, jsou definovány operace sčítání vektorů a skalární násobení. Normované vektorové prostory také definovat operaci známou jako norma (nebo stanovení velikosti). Vnitřní produktové prostory definujte také operaci známou jako vnitřní produkt. v ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , vnitřní produkt je znám jako Tečkovaný produkt. v ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ a ${displaystyle mathbb {R} ^ {7}}$ , další operace známá jako křížový produkt je také definován.

Vektorové přidání

Vektorové přidání je reprezentován znaménkem plus použitým jako operátor mezi dvěma vektory. Součet dvou vektorů u a proti bude reprezentován jako:^[3]

{displaystyle mathbf {u} + mathbf {v}}

Skalární násobení

Skalární násobení je reprezentován stejným způsobem jako algebraické násobení. Skalár vedle vektoru (jeden nebo oba mohou být v závorkách) znamená skalární násobení. Dva běžné operátory, tečka a otočený kříž, jsou také přijatelné (i když se otočený kříž téměř nikdy nepoužívá), ale riskují záměnu s bodovými produkty a křížovými produkty, které fungují na dvou vektorech. Produkt skaláru k s vektorem proti mohou být zastoupeny v kterékoli z následujících módů:

${displaystyle kmathbf {v}}$ ^[3]
${displaystyle kcdot mathbf {v}}$

Vektorové odčítání a skalární dělení

Pomocí algebraických vlastností odčítání a dělení, spolu se skalárním násobením, je také možné „odečíst“ dva vektory a „rozdělit“ vektor skalárem.

Odčítání vektoru se provádí přidáním skalárního násobku -1 s druhým vektorovým operandem k prvnímu vektorovému operandu. To lze vyjádřit použitím znaménka mínus jako operátora. Rozdíl mezi dvěma vektory u a proti mohou být zastoupeny v jedné z následujících módů:

${displaystyle mathbf {u} + -mathbf {v}}$
${displaystyle mathbf {u} -mathbf {v}}$ ^[3]

Skalární dělení se provádí vynásobením vektorového operandu numerickou inverzí skalárního operandu. To může být vyjádřeno použitím zlomku nebo dělení jako operátorů. Kvocient vektoru proti a skalární C mohou být zastoupeny v kterékoli z následujících forem:

${displaystyle {1 over c} mathbf {v}}$
${displaystyle {mathbf {v} nad c}}$
${displaystyle {mathbf {v} div c}}$

Norma

The norma vektoru je reprezentován dvojitými pruhy na obou stranách vektoru. Norma vektoru proti lze reprezentovat jako:^[3]

{displaystyle | mathbf {v} |}

Norma je také někdy reprezentována jednoduchými pruhy, jako ${displaystyle | mathbf {v} |}$ , ale to lze zaměnit s absolutní hodnota (což je typ normy).

Vnitřní produkt

The vnitřní produkt dvou vektorů (také známých jako skalární součin, který nelze zaměňovat se skalárním násobením) je reprezentován jako uspořádaný pár uzavřený v úhlových závorkách. Vnitřní produkt dvou vektorů u a proti bude reprezentován jako:^[3]

{displaystyle langle mathbf {u}, mathbf {v} úhel}

Tečkovaný produkt

v ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , vnitřní produkt je také známý jako Tečkovaný produkt. Kromě standardní vnitřní produktové notace lze použít i tečkovou produktovou notaci (používající tečku jako operátor) (a je běžnější). Tečkový produkt dvou vektorů u a proti lze reprezentovat jako:^[3]

{displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v}}

V některé starší literatuře je tečkový součin implikován mezi dvěma vektory psanými vedle sebe. Tuto notaci lze zaměnit s dyadický produkt mezi dvěma vektory.

Křížový produkt

The křížový produkt dvou vektorů (v ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ ) je znázorněn pomocí otočeného kříže jako operátor. Křížový produkt dvou vektorů u a proti bude reprezentován jako:^[3]

{displaystyle mathbf {u} imes mathbf {v}}

Podle některých konvencí (např. Ve Francii a v některých oblastech vyšší matematiky) je to označováno také klínem,^[12] což zamezuje záměně s klínový produkt protože dva jsou funkčně ekvivalentní ve třech rozměrech:

{displaystyle mathbf {u} wedge mathbf {v}}

V některé starší literatuře se pro křížový produkt používá následující zápis u a proti:

{displaystyle [mathbf {u}, mathbf {v}]}

Nabla

Vektorová notace se používá s počet skrz Operátor Nabla:

{displaystyle mathbf {i} {frac {částečné} {částečné x}} + mathbf {j} {frac {částečné} {částečné y}} + mathbf {k} {frac {částečné} {částečné z}}}

Se skalární funkcí F, spád je psán jako ${displaystyle abla f,}$

s vektorovým polem, F the divergence je psán jako ${displaystyle abla cdot F,}$

a s vektorovým polem, F the kučera je psán jako ${displaystyle abla imes F.}$

Viz také

Reference

^ Principy a aplikace matematiky pro komunikační elektroniku. 1992. str. 123.
^ Rakev, Joseph George (1911). Vektorová analýza. J. Wiley & synové.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h „Úplný seznam symbolů algebry“. Matematický trezor. 2020-03-25. Citováno 2020-08-19.
^ „ISO 80000-2: 2019 Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika“. Mezinárodní organizace pro normalizaci. Srpna 2019.
^ Edwin Bidwell Wilson (1901) Vektorová analýza založená na přednáškách J. W. Gibbse na Internetový archiv
^ Oliver Heaviside, Elektrický deník, Svazek 28. James Gray, 1891. 109 (alt )
^ J.B. Shaw (1912) Srovnávací notace pro vektorové výrazy, Bulletin z Quaternion Society přes Hathi Trust.
^ Alexander Macfarlane (1912) Systém notace pro vektorovou analýzu; s diskusí o základních principech z Bulletin společnosti Quaternion
^ Karin Reich (1995) Die Rolle Arnold Sommerfeld bei der Diskussion um die Vektorrechnung
^ Mechanika deformovatelných těl, str. 10, v Knihy Google
^ Weisstein, Eric W. "Vektor". mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-19.
^ Cajori, Florian (2011). Historie matematických notací. Dover Publications. str. 134 (sv. 2). ISBN 9780486161167.

[1] Principy a aplikace matematiky pro komunikační elektroniku. 1992. str. 123.

[2] Rakev, Joseph George (1911). Vektorová analýza. J. Wiley & synové.

[:0-3] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h „Úplný seznam symbolů algebry“. Matematický trezor. 2020-03-25. Citováno 2020-08-19.

[4] „ISO 80000-2: 2019 Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika“. Mezinárodní organizace pro normalizaci. Srpna 2019.

[5] Edwin Bidwell Wilson (1901) Vektorová analýza založená na přednáškách J. W. Gibbse na Internetový archiv

[6] Oliver Heaviside, Elektrický deník, Svazek 28. James Gray, 1891. 109 (alt )

[7] J.B. Shaw (1912) Srovnávací notace pro vektorové výrazy, Bulletin z Quaternion Society přes Hathi Trust.

[8] Alexander Macfarlane (1912) Systém notace pro vektorovou analýzu; s diskusí o základních principech z Bulletin společnosti Quaternion

[9] Karin Reich (1995) Die Rolle Arnold Sommerfeld bei der Diskussion um die Vektorrechnung

[10] Mechanika deformovatelných těl, str. 10, v Knihy Google

[11] Weisstein, Eric W. "Vektor". mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-19.

[12] Cajori, Florian (2011). Historie matematických notací. Dover Publications. str. 134 (sv. 2). ISBN 9780486161167.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Lineární algebra
Základní pojmy	Skalární Vektor Vektorový prostor Skalární násobení Vektorové projekce Lineární rozpětí Lineární mapa Lineární projekce Lineární nezávislost Lineární kombinace Základ Změna základu Vektory řádků a sloupců Mezery mezi řádky a sloupci Jádro Vlastní čísla a vlastní vektory Přemístit Lineární rovnice
Matice	Blok Rozklad Invertibilní Méně důležitý Násobení Hodnost Proměna Cramerovo pravidlo Gaussova eliminace
Bilineární	Ortogonalita Tečkovaný produkt Vnitřní prostor produktu Vnější produkt Gram – Schmidtův proces
Multilineární algebra	Rozhodující Křížový produkt Trojitý produkt Sedmrozměrný křížový produkt Geometrická algebra Vnější algebra Bivektor Multivektorový Tenzor Outermorfismus
Vektorový prostor stavby	Dvojí Přímý součet Funkční prostor Kvocient Podprostor Tenzorový produkt
Numerické	Plovoucí bod Numerická stabilita Základní podprogramy lineární algebry (BLAS) Řídká matice Porovnání knihoven lineární algebry
Kategorie Obrys Matematický portál Wikibook Wikiverzita

Vektorová notace
Vektorové šipka Ukazující z A na B Vektorové komponenty Popisující vektor šipky proti jeho souřadnicemi X a y výnosy izomorfismus vektorových prostorů.
Skalární součin Dvě sekvence vektorů souřadnic stejné délky a vrací jedno číslo Vektorový produkt Křížový produkt ve vztahu k pravostrannému souřadnicovému systému