L-teorie - L-theory
v matematika, algebraické L-teorie je K.-teorie z kvadratické formy; termín vytvořil C. T. C. Wall, s L používán jako písmeno po K.. Algebraický L-teorie, známá také jako „Hermitian K.-theory ", je důležité v teorie chirurgie.[1]
Definice
Lze definovat L-skupiny pro všechny prsten s involucí R: kvadratický L-skupiny (Zeď) a symetrické L-skupiny (Mishchenko, Ranicki).
Rovnoměrný rozměr
Rovnoměrný L-skupiny jsou definovány jako Wittovy skupiny z ε-kvadratické tvary přes prsten R s . Přesněji,
je abelianská skupina tříd ekvivalence nedegenerovaných ε-kvadratických forem nad R, kde jsou podkladové R-moduly F definitivně generovány zdarma. Vztah ekvivalence je dán stabilizací s ohledem na hyperbolické ε-kvadratické formy:
- .
Přidání v je definováno
Nulový prvek je reprezentován pro všechny . Inverzní z je .
Zvláštní rozměr
Definování liché-dimenzionální L-skupiny je složitější; další podrobnosti a definice liché-dimenzionální L-skupiny lze nalézt v odkazech uvedených níže.
Příklady a aplikace
The L-skupiny skupiny jsou L-skupiny z skupinové vyzvánění . V aplikacích na topologii je základní skupina prostoru . Kvadratický L-skupiny hrají ústřední roli v chirurgické klasifikaci homotopy typů -dimenzionální rozdělovače dimenze a ve formulaci Novikov dohad.
Rozdíl mezi symetrickými L-skupiny a kvadratické L-skupiny, označené horním a dolním indexem, odráží použití ve skupinové homologii a kohomologii. The skupinová kohomologie cyklické skupiny se zabývá pevnými body a -akce, zatímco skupinová homologie se zabývá oběžnými drahami a -akce; porovnat (pevné body) a (oběžné dráhy, kvocient) pro zápis horního / dolního indexu.
Kvadratický L-skupiny: a symetrické L-skupiny: souvisí pomocí symetrizační mapy což je izomorfismus modulo 2-torze a který odpovídá polarizační identity.
Kvadratické a symetrické L-skupiny jsou čtyřnásobné periodické (komentář Ranickiho, strana 12, o neperiodicitě symetrických L-skupiny označuje jiný typ L-skupiny, definované pomocí „krátkých komplexů“).
S ohledem na aplikace pro klasifikace potrubí existují rozsáhlé výpočty kvadratické -skupiny . Pro konečné používají se algebraické metody a pro nekonečno se většinou používají geometrické metody (např. řízená topologie) .
Obecněji lze definovat L-skupiny pro všechny kategorie přísad s řetězová dualita, stejně jako v Ranicki (část 1).
Celá čísla
The jednoduše připojeno L-skupiny jsou také L-skupiny celých čísel, jako pro oba = nebo Kvadraticky L-skupiny, to jsou chirurgické překážky jednoduše připojeno chirurgická operace.
Kvadratický L-skupiny celých čísel jsou:
v dvojnásobně rovnoměrné rozměr (4k), kvadratický L-skupiny detekují podpis; v jednotlivě rovnoměrně rozměr (4k+2), L-skupiny detekují ARF neměnný (topologicky Kervaire neměnný ).
Symetrický L-skupiny celých čísel jsou:
V dvojnásobně sudé dimenzi (4k), symetrický L-skupiny, jako u kvadratického L-skupiny, detekovat podpis; v rozměru (4k+1), L-skupiny detekují de Rham invariantní.
Reference
- Lück, Wolfgang (2002), „Základní úvod do teorie chirurgie“, Topologie vysokodimenzionálních potrubí, č. 1, 2 (Terst, 2001) (PDF), Přednáška ICTP. Poznámky, 9, Abdus Salam Int. Cent. Teoretická. Phys., Terst, str. 1–224, PAN 1937016
- Ranicki, Andrew A. (1992), Algebraická L-teorie a topologické potrubí (PDF)„Cambridge Tracts in Mathematics“, 102, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-42024-2, PAN 1211640
- Wall, C. T. C. (1999) [1970], Ranicki, Andrew (vyd.), Chirurgie na kompaktních potrubích (PDF)Matematické průzkumy a monografie 69 (2. vyd.), Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-0942-6, PAN 1687388