Ε-kvadratická forma - Ε-quadratic form
v matematika, konkrétně teorie kvadratické formy, an εkvadratická forma je zevšeobecnění kvadratických tvarů pro zkosení symetrických nastavení a * -kroužky; ε = ±1, odpovídajícím způsobem pro symetrické nebo zkosené symetrické. Také se jim říká - kvadratické formy, zejména v kontextu teorie chirurgie.
Existuje související pojem ε-symetrické tvary, který zobecňuje symetrické tvary, zkosené symetrické tvary (= symlektické formy ), Hermitovské formy, a šikmo-hermitovské formy. Více stručně, jeden může se odkazovat na kvadratické, zkosené-kvadratické, symetrické a zkosené-symetrické formy, kde "zkosení" znamená (-) a * (involuce) je implikována.
Teorie je 2-lokální: od 2, ε-kvadratické formy jsou ekvivalentní ε-symetrické tvary: polovina symetrizační mapy (níže) dává explicitní izomorfismus.
Definice
ε-symetrické tvary a ε- kvadratické formy jsou definovány následovně.[1]
Vzhledem k modulu M přes *-prsten R, nechť B(M) být prostorem bilineární formy na Ma nechte T : B(M) → B(M) být "konjugovat transponovat " involuce B(u, proti) ↦ B(proti, u)*. Protože násobení −1 je také involucí a dojíždí s lineárními mapami, -T je také involuce. Můžeme tedy psát ε = ±1 a εT je také involuce T nebo -T (ε může být obecnější než ± 1; viz níže). Definujte ε-symetrické tvary jako invarianty z εTa ε- kvadratické formy jsou coinvarianty.
Jako přesný sled
Zápis Qε(M), Qε(M) se řídí standardní notací MG, MG pro invarianty a coinvarianty pro a skupinová akce, zde ze skupiny řádu 2 (involuce).
Složení mapy zařazení a kvocientu (ale ne) 1 − εT) tak jako získá mapu Qε(M) → Qε(M): každý ε-symetrická forma určuje εkvadratická forma.
Symetrizace
Naopak lze definovat reverzní homomorfismus "1 + εT": Qε(M) → Qε(M), volal symetrizační mapa (protože poskytuje symetrickou formu) tak, že provedeme jakýkoli zdvih kvadratické formy a vynásobíme ji 1 + εT. Toto je symetrická forma, protože (1 − εT)(1 + εT) = 1 − T2 = 0, takže je to v jádře. Přesněji, . Mapa je dobře definována stejnou rovnicí: výběr jiného výtahu odpovídá přidání násobku (1 − εT), ale po vynásobení to zmizí 1 + εT. Tedy každý εkvadratická forma určuje ε-symetrická forma.
Skládání těchto dvou map v obou směrech: Qε(M) → Qε(M) → Qε(M) nebo Qε(M) → Qε(M) → Qε(M) vynásobí 2, a proto jsou tyto mapy bijektivní, pokud je 2 invertibilní v R, s inverzí danou násobením s 1/2.
An εkvadratická forma ψ ∈ Qε(M) je nazýván nedegenerovaný pokud je přidružen ε-symetrická forma (1 + εT)(ψ) je nedegenerovaný.
Zobecnění z *
Pokud je * triviální, pak ε = ±1„a„ od 2 “znamená, že 2 je invertibilní: 1/2 ∈ R.
Obecněji lze vzít za ε ∈ R jakýkoli prvek takový ε*ε = 1. ε = ±1 to vždy uspokojí, ale stejně tak i jakýkoli prvek normy 1, například komplexní počet jednotkových norem.
Podobně za přítomnosti netriviálního *, ε-symetrické tvary jsou ekvivalentní ε-kvadratické formy, pokud existuje prvek λ ∈ R takhle λ* + λ = 1. Pokud je * triviální, je to ekvivalentní k 2λ = 1 nebo λ = 1/2, zatímco pokud * není triviální, může existovat více možných λ; například přes komplexní čísla je jakékoli číslo se skutečnou částí 1/2 takové λ.
Například v ringu (integrální mřížka pro kvadratickou formu 2X2 − 2X + 1), s komplexní konjugací, jsou dva takové prvky 1/2 ∉ R.
Intuice
Pokud jde o matice (vezmeme PROTI být 2-dimenzionální), pokud * je triviální:
- matice odpovídají bilineárním formám
- podprostor symetrických matic odpovídají symetrickým tvarům
- podprostor (-1) -symetrických matic odpovídají symlektické formy
- bilineární forma získá kvadratickou formu
- ,
- mapa 1 + T od kvadratických forem po mapy symetrických forem
na , například zvednutím do a pak přidáním provést. Při zpětném mapování na kvadratické formy se získá dvojnásobek originálu: .
Li je tedy komplexní konjugace
- podprostor symetrických matic je Hermitovské matice
- podprostor zešikmených symetrických matic je šikmo-hermitovské matice
Vylepšení
Intuitivní způsob, jak porozumět ε- kvadratická forma je považovat to za kvadratické zpřesnění jeho přidruženého ε-symetrická forma.
Například při definování a Cliffordova algebra nad obecným polem nebo prstenem jeden kvocienty tenzorová algebra vztahy pocházejícími z symetrická forma a kvadratická forma: vw + wv = 2B(proti, w) a . Pokud je 2 invertibilní, vyplývá tento druhý vztah z prvního (protože kvadratickou formu lze získat z přidružené bilineární formy), ale při 2 je toto další upřesnění nutné.
Příklady
Snadný příklad pro εkvadratická forma je standardní hyperbolický εkvadratická forma . (Tady, R*: = HomR(R, R) označuje duální z R-modul R.) Je dána bilineární formou . Standardní hyperbolický ε-kvadratická forma je nutná pro definici L-teorie.
Pro pole dvou prvků R = F2 není rozdíl mezi (+1) -kvadratickými a (-1) -kvadratickými tvary, které se právě nazývají kvadratické formy. The ARF invariantní a nesmyslný kvadratická forma skončila F2 je F2-hodnota neměnná s důležitými aplikacemi v algebře i topologii a hraje roli podobnou roli, kterou hraje diskriminuje kvadratickou formu v charakteristice nerovná se dvěma.
Rozdělovače
Volná část středu homologická skupina (s celočíselnými koeficienty) orientovaného sudého dimenzionálního potrubí má ε-symetrická forma, via Poincaré dualita, křižovatka. V případě jednotlivě rovnoměrně dimenze 4k + 2, je to šikmo symetrické, zatímco pro dvojnásobně rovnoměrné rozměr 4k, je to symetrické. Geometricky to odpovídá průsečíku, kde dva n/ 2-dimenzionální submanifolds v n-dimenzionální potrubí se obecně protíná v 0rozměrném dílčím potrubí (sada bodů) přidáním kodimenzionální. Pro jednotlivě rovnoměrnou dimenzi přepíná pořadí znaménko, zatímco dvojnásobně rovnoměrné pořadí dimenze nemění znaménko, proto ε-symetrie. Nejjednodušší případy jsou pro produkt koulí, kde je produkt S2k × S2k a S2k+1 × S2k+1 respektive dát symetrický tvar a zkosená symetrická forma V dimenzi dva to přináší torus a vezmeme připojená suma z G tori poskytuje povrch rodu G, jehož střední homologie má standardní hyperbolický tvar.
S další strukturou, to ε-symetrická forma může být vylepšena na εkvadratická forma. Pro dvojnásobně sudou dimenzi je to celočíselná hodnota, zatímco pro jednotlivě sudou dimenzi je to definováno pouze po paritu a nabývá hodnot v Z/ 2. Například vzhledem k zarámované potrubí, je možné dosáhnout takového zdokonalení. Pro jednotlivě rovnoměrnou dimenzi je Arf invariant této šikmo kvadratické formy Kervaire neměnný.
Vzhledem k orientované ploše Σ vložené do R3, skupina střední homologie H1(Σ) nese nejen zkosený symetrický tvar (průsečíkem), ale také zkosený-kvadratický tvar, který lze považovat za kvadratické zpřesnění, prostřednictvím propojení. Zkosený symetrický tvar je invariantem povrchu Σ, zatímco zkosený kvadratický tvar je invariantem zanoření Σ ⊂ R3, např. pro Seifertův povrch a uzel. The ARF invariantní zkosené kvadratické formy je zarámovaný cobordism invariant generující první stabilní homotopická skupina .

Pro standardní vestavěné torus, je zkosená symetrická forma dána vztahem (s ohledem na standard symplektický základ ), a zkosení-kvadratické zpřesnění je dáno vztahem xy s ohledem na tento základ: Q(1, 0) = Q(0, 1) = 0: základní křivky se nespojují; a Q(1, 1) = 1: a (1, 1) self-links, jako v Hopfova fibrace. (Tento formulář má ARF invariantní 0, a tedy tento vložený torus má Kervaire neměnný 0.)
Aplikace
Klíčová aplikace je algebraická teorie chirurgie, kde dokonce L-skupiny jsou definovány jako Wittovy skupiny z ε- kvadratické formy, podle CTC Wall
Reference
- ^ Ranicki, Andrew (2001). "Základy algebraické chirurgie". arXiv:matematika / 0111315.