Potenciál magnetického vektoru - Magnetic vector potential

Články o
Elektromagnetismus
Elektřina Magnetismus Dějiny Učebnice
Elektrostatika Elektrický náboj Coulombův zákon Dirigent Hustota náboje Permitivita Elektrický dipólový moment Elektrické pole Elektrický potenciál Elektrický tok  / potenciální energie Elektrostatický výboj Gaussův zákon Indukce Izolátor Hustota polarizace Statická elektřina Triboelektřina
Magnetostatika Ampereův zákon Biot – Savartův zákon Gaussův zákon pro magnetismus Magnetické pole Magnetický tok Magnetický dipólový moment Magnetická propustnost Magnetický skalární potenciál Magnetizace Magnetomotorická síla Pravidlo pravé ruky
Elektrodynamika Lorentzův silový zákon Elektromagnetická indukce Faradayův zákon Lenzův zákon Zdvihový proud Potenciál magnetického vektoru Maxwellovy rovnice Elektromagnetické pole Elektromagnetický puls Elektromagnetická radiace Maxwellův tenzor Poyntingův vektor Liénard – Wiechertův potenciál Jefimenkovy rovnice Vířivý proud Londýnské rovnice Matematické popisy elektromagnetického pole
Elektrická síť Střídavý proud Kapacita Stejnosměrný proud Elektrický proud Elektrolýza Hustota proudu Joule topení Elektromotorická síla Impedance Indukčnost Ohmův zákon Paralelní obvod Odpor Rezonanční dutiny Sériový obvod Napětí Vlnovody
Koviantní formulace Elektromagnetický tenzor (tenzor napětí a energie ) Čtyřproudové Elektromagnetický čtyř potenciál
Vědci Ampér Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Jindřich Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Zpěvák Tesla Volta Weber

Potenciál magnetického vektoru, A, je vektorové množství v klasický elektromagnetismus definován tak, že jeho kučera se rovná magnetickému poli: ${ textstyle nabla times mathbf {A} = mathbf {B} ,}$. Spolu s elektrický potenciál φ, lze k určení magnetického vektorového potenciálu použít elektrické pole E také. Proto lze napsat mnoho rovnic elektromagnetismu buď z hlediska polí E a B, nebo ekvivalentně, pokud jde o potenciály φ a A. V pokročilejších teoriích, jako je kvantová mechanika, většina rovnic používá spíše potenciály než pole.

Historicky, Lord Kelvin poprvé představil vektorový potenciál v roce 1851 spolu se vzorcem vztahujícím se k magnetickému poli.^[1]

Potenciál magnetického vektoru

Potenciál magnetického vektoru A je vektorové pole, definované společně s elektrický potenciál ϕ (A skalární pole ) rovnicemi:^[2]

${ displaystyle mathbf {B} = nabla times mathbf {A} ,, quad mathbf {E} = - nabla phi - { frac { částečné mathbf {A}} { částečné t}} ,,}$

kde B je magnetické pole a E je elektrické pole. v magnetostatika kde se časově nemění distribuce poplatků, je potřeba pouze první rovnice. (V kontextu elektrodynamika, podmínky vektorový potenciál a skalární potenciál se používají pro potenciál magnetického vektoru a elektrický potenciál, resp. V matematice vektorový potenciál a skalární potenciál lze zobecnit na vyšší dimenze.)

Pokud jsou elektrická a magnetická pole definována výše z potenciálů, automaticky splňují dvě z Maxwellovy rovnice: Gaussův zákon pro magnetismus a Faradayův zákon. Například pokud A je nepřetržitý a dobře definovaný všude, pak je zaručeno, že nebude mít za následek magnetické monopoly. (V matematické teorii magnetických monopolů A může být na některých místech buď nedefinovaná, nebo s více hodnotami; podrobnosti viz magnetický monopol).

Počínaje výše uvedenými definicemi a zapamatováním si, že zvlnění přechodu je nulové:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} nabla cdot mathbf {B} & = nabla cdot left ( nabla times mathbf {A} right) = 0 nabla times mathbf { E} & = nabla times left (- nabla phi - { frac { částečné mathbf {A}} { částečné t}} pravé) = - { frac { částečné} { částečné t}} left ( nabla times mathbf {A} right) = - { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}}. end {zarovnáno}}}$

Alternativně existence A a ϕ je z těchto dvou zákonů zaručeno Helmholtzova věta. Například, protože magnetické pole je divergence - zdarma (Gaussův zákon pro magnetismus; tj. ∇ ⋅ B = 0), A vždy existuje, že splňuje výše uvedenou definici.

Vektorový potenciál A se používá při studiu Lagrangian v klasická mechanika a v kvantová mechanika (vidět Schrödingerova rovnice pro nabité částice, Diracova rovnice, Aharonov – Bohmův efekt ).

V SI systém, jednotky A jsou PROTI ·s ·m⁻¹ a jsou stejné jako u hybnost za jednotku nabít nebo platnost za jednotku proud. v Minimální spojka, qA se nazývá potenciální hybnost a je součástí kanonická hybnost.

The linka integrální z A přes uzavřenou smyčku se rovná magnetický tok skrz uzavřený povrch:

${ displaystyle mast _ { Gamma} mathbf {A} , cdot , d { mathbf { Gamma}} = iint _ {S} nabla times mathbf {A} , cdot , d mathbf {S} = Phi _ {B}.}$

Proto jednotky A jsou také ekvivalentní Weber za Metr. Výše uvedená rovnice je užitečná v kvantování toku z supravodivé smyčky.

I když magnetické pole B je pseudovektor (také zvaný axiální vektor ), vektorový potenciál A je polární vektor.^[3] To znamená, že pokud pravidlo pravé ruky pro křížové výrobky byly nahrazeny pravidlem levé ruky, ale beze změny jakýchkoli jiných rovnic nebo definic B přepnul by znamení, ale A nezmění se. Toto je příklad obecné věty: Zvlnění polárního vektoru je pseudovektor a naopak.^[3]

Možnosti měřidla

Výše uvedená definice nedefinuje potenciál magnetického vektoru jednoznačně, protože podle definice můžeme libovolně přidat kučera - komponenty bez magnetického potenciálu beze změny pozorovaného magnetického pole. Existuje tedy stupeň svobody k dispozici při výběru A. Tento stav je znám jako měřidlo invariance.

Maxwellovy rovnice z hlediska vektorového potenciálu

Použití výše uvedené definice potenciálů a její aplikace na další dvě Maxwellovy rovnice (ty, které nejsou automaticky splněny) vede ke komplikované diferenciální rovnici, kterou lze zjednodušit pomocí Lorenzův rozchod kde A je vybrán k uspokojení:

${ displaystyle nabla cdot mathbf {A} + { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné phi} { částečné t}} = 0}$^[2]

Pomocí Lorenzova měřidla Maxwellovy rovnice lze psát kompaktně z hlediska potenciálu magnetického vektoru A a elektrický skalární potenciál ϕ:^[2]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} nabla ^ {2} phi - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} phi} { částečné t ^ {2}}} & = - { frac { rho} { epsilon _ {0}}} nabla ^ {2} mathbf {A} - { frac {1} {c ^ {2} }} { frac { částečné ^ {2} mathbf {A}} { částečné t ^ {2}}} & = - mu _ {0} mathbf {J} end {zarovnáno}}}$

V jiných měřidla, rovnice jsou různé. Jiný zápis pro zápis těchto stejných rovnic (pomocí čtyři vektory ) je zobrazen níže.

Výpočet potenciálů z distribucí zdrojů

Řešení Maxwellových rovnic v Lorenzově měřidle (viz Feynman^[2] a Jackson^[4]) s okrajovou podmínkou, že oba potenciály klesnou na nulu dostatečně rychle, když se blíží k nekonečnu, se nazývá retardované potenciály, což jsou magnetický vektorový potenciál A(r, t) a elektrický skalární potenciál ϕ(r, t) z důvodu aktuálního rozdělení proudová hustota J(r′, t′), hustota náboje ρ(r′, t′), a objem Ω, v rámci kterého ρ a J jsou nenulové alespoň někdy a na některých místech):

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {A} left ( mathbf {r}, t right) & = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} int _ { Omega} { frac { mathbf {J} left ( mathbf {r} ', t' right)} { left | mathbf {r} - mathbf {r} ' right |}} , mathrm {d} ^ {3} mathbf {r} ' phi left ( mathbf {r}, t right) & = { frac {1} {4 pi epsilon _ {0 }}} int _ { Omega} { frac { rho left ( mathbf {r} ', t' right)} { left | mathbf {r} - mathbf {r} ' right |}} , mathrm {d} ^ {3} mathbf {r} ' end {zarovnáno}}}$

kde pole na vektor polohy r a čas t se počítají ze zdrojů ve vzdálené poloze r′ V dřívější době t'. Místo r′ Je zdrojový bod v distribuci náboje nebo proudu (také integrační proměnná v objemu) Ω). Čím dříve t′ Se nazývá zpožděný čas a počítáno jako

${ displaystyle t '= t - { frac { left | mathbf {r} - mathbf {r}' right |} {c}}}$.

Existuje několik pozoruhodných věcí A a ϕ vypočteno tímto způsobem:

• (The Stav měřidla Lorenz ): ${ displaystyle nabla cdot mathbf {A} + { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné phi} { částečné t}} = 0}$ je spokojen.
• Pozice r, bod, ve kterém jsou hodnoty pro ϕ a A jsou nalezeny, vstupuje do rovnice pouze jako část skalární vzdálenosti od r′ Až r. Směr od r′ Až r nevstupuje do rovnice. Na zdrojovém bodě záleží jen na tom, jak daleko je.
• Používá integrand zpožděný čas, t'. To jednoduše odráží skutečnost, že změny ve zdrojích se šíří rychlostí světla. Proto hustota náboje a proudu ovlivňující elektrický a magnetický potenciál při r a t, ze vzdáleného umístění r′ Musí být také v určitou dobu t′.
• Rovnice pro A je vektorová rovnice. V kartézských souřadnicích se rovnice dělí na tři skalární rovnice:^[5]

  ${ displaystyle { begin {aligned} A_ {x} left ( mathbf {r}, t right) & = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} int _ { Omega} { frac {J_ {x} left ( mathbf {r} ', t' right)} { left | mathbf {r} - mathbf {r} ' right |}} , mathrm {d} ^ {3} mathbf {r} ' A_ {y} left ( mathbf {r}, t right) & = { frac { mu _ {0}} {4 pi }} int _ { Omega} { frac {J_ {y} left ( mathbf {r} ', t' right)} { left | mathbf {r} - mathbf {r} ' vpravo |}} , mathrm {d} ^ {3} mathbf {r} ' A_ {z} left ( mathbf {r}, t right) & = { frac { mu _ { 0}} {4 pi}} int _ { Omega} { frac {J_ {z} left ( mathbf {r} ', t' right)} { left | mathbf {r} - mathbf {r} ' right |}} , mathrm {d} ^ {3} mathbf {r}' end {zarovnáno}}}$

V této formě je snadné vidět, že součást A v daném směru závisí pouze na složkách J které jsou ve stejném směru. Pokud je proud veden dlouhým rovným drátem, A body ve stejném směru jako drát.

V jiných měřidlech vzorec pro A a ϕ je jiný; například viz Coulombův rozchod pro další možnost.

Vyobrazení A-pole

Zastupování Coulombův rozchod potenciál magnetického vektoru A, hustota magnetického toku Ba hustota proudu J pole kolem a toroidní induktor kruhového průřez. Silnější čáry označují siločáry s vyšší průměrnou intenzitou. Kruhy v průřezu jádra představují B- pole vycházející z obrázku plus znaménka plus B- pole jde do obrazu. ∇ ⋅ A = 0 bylo předpokládáno.

Viz Feynman^[6] pro zobrazení A pole kolem dlouhé tenké solenoid.

Od té doby

${ displaystyle nabla times mathbf {B} = mu _ {0} mathbf {J}}$

za předpokladu kvazi-statických podmínek, tj.

${ displaystyle { frac { částečné E} { částečné t}} rightarrow 0 , quad nabla times mathbf {A} = mathbf {B} ,,}$

čáry a obrysy A vztahovat k B jako linie a obrysy B vztahovat k j. Tedy zobrazení A pole kolem smyčky B tavidlo (jak by se vyrábělo v a toroidní induktor ) je kvalitativně stejný jako B pole kolem smyčky proudu.

Obrázek vpravo je umělcovým vyobrazením A pole. Silnější čáry označují cesty s vyšší průměrnou intenzitou (kratší cesty mají vyšší intenzitu, takže integrál cesty je stejný). Čáry jsou nakresleny tak, aby (esteticky) dodávaly obecný vzhled A-pole.

Kresba mlčky předpokládá ∇ ⋅ A = 0, platí za jednoho z následujících předpokladů:

• the Coulombův rozchod předpokládá se
• the Lorenzův rozchod předpokládá se a nedochází k žádnému rozdělení poplatků, ρ = 0,
• the Lorenzův rozchod se předpokládá a předpokládá se nulová frekvence
• the Lorenzův rozchod se předpokládá a nenulová frekvence, která je dostatečně nízká na to, aby se zanedbávala ${ displaystyle { frac {1} {c}} { frac { částečné phi} { částečné t}}}$ předpokládá se

Elektromagnetický čtyř potenciál

V kontextu speciální relativita, je přirozené spojit potenciál magnetického vektoru s (skalárním) elektrický potenciál do elektromagnetický potenciál, také zvaný čtyři potenciály.

Jednou z motivací k tomu je, že čtyřpotenciál je matematický čtyři-vektor. Pokud tedy použijeme standardní pravidla čtyřvektorové transformace, jsou elektrické a magnetické potenciály známé v jednom inerciálním referenčním rámci, lze je jednoduše vypočítat v jakémkoli jiném inerciálním referenčním rámci.

Další související motivací je, že obsah klasického elektromagnetismu lze psát stručnou a pohodlnou formou pomocí elektromagnetického čtyř potenciálu, zejména když Lorenzův rozchod se používá. Zejména v abstraktní indexová notace, soubor Maxwellovy rovnice (v Lorenzově rozchodu) může být napsáno (v Gaussovy jednotky ) jak následuje:

${ displaystyle { begin {aligned} částečné ^ { mu} A _ { mu} & = 0 Box A _ { mu} & = { frac {4 pi} {c}} J _ { mu} end {zarovnáno}}}$

kde □ je d'Alembertian a J je čtyřproudový. První rovnice je Stav měřidla Lorenz zatímco druhá obsahuje Maxwellovy rovnice. Čtyři-potenciál také hraje velmi důležitou roli v kvantová elektrodynamika.

Viz také

• Magnetický skalární potenciál
• Aharonov – Bohmův efekt
• Gluonové pole

Poznámky

Reference

• Duffin, W. J. (1990). Elektřina a magnetismus, čtvrté vydání. McGraw-Hill.

• Feynman, Richard P; Leighton, Robert B; Sands, Matthew (1964). Feynmanovy přednášky o 2. svazku fyziky. Addison-Wesley. ISBN  0-201-02117-X.

• Jackson, John David (1999), Klasická elektrodynamika (3. vyd.), John Wiley & Sons, ISBN  0-471-30932-X

• Kraus, John D. (1984), Elektromagnetické pole (3. vyd.), McGraw-Hill, ISBN  0-07-035423-5