MV-algebra - MV-algebra

v abstraktní algebra, větev čistého matematika, an MV-algebra je algebraická struktura s binární operace ${ displaystyle oplus}$ , a unární provoz ${ displaystyle neg}$ a konstanta ${ displaystyle 0}$ , uspokojující určité axiomy. MV-algebry jsou algebraická sémantika z Łukasiewiczova logika; písmena MV odkazují na mnoho ceněný logika z Łukasiewicz. MV-algebry se shodují s třídou ohraničeného komutativu BCK algebry.

Definice

An MV-algebra je algebraická struktura ${ displaystyle langle A, oplus, lnot, 0 rangle,}$ skládající se z

A neprázdný soubor ${ displaystyle A,}$
A binární operace ${ displaystyle oplus}$ na ${ displaystyle A,}$
A unární provoz ${ displaystyle lnot}$ na ${ displaystyle A,}$ a
konstanta ${ displaystyle 0}$ označující pevnou živel z ${ displaystyle A,}$

který splňuje následující identity:

${ displaystyle (x oplus y) oplus z = x oplus (y oplus z),}$
${ displaystyle x oplus 0 = x,}$
${ Displaystyle x oplus y = y oplus x,}$
${ displaystyle lnot lnot x = x,}$
${ Displaystyle x oplus lnot 0 = nnota 0,}$ a
${ Displaystyle lnot ( lnot x oplus y) oplus y = lnot ( lnot y oplus x) oplus x.}$

Na základě prvních tří axiomů ${ displaystyle langle A, oplus, 0 rangle}$ je komutativní monoidní. Být definován identitami, MV-algebry tvoří a odrůda algeber. Rozmanitost MV-algeber je podrodinou odrůdy BL -algebry a obsahuje vše Booleovy algebry.

MV-algebra může být ekvivalentně definována (Hájek 1998) jako předletový komutativní ohraničený integrál reziduovaná mříž ${ displaystyle langle L, klín, vee, otimes, rightarrow, 0,1 rangle}$ uspokojení další identity ${ displaystyle x vee y = (x rightarrow y) rightarrow y.}$

Příklady MV-algeber

Jednoduchý číselný příklad je ${ displaystyle A = [0,1],}$ s operacemi ${ Displaystyle x oplus y = min (x + y, 1)}$ a ${ displaystyle lnot x = 1-x.}$ V matematické fuzzy logice se této MV-algebře říká standardní MV-algebra, protože tvoří standardní sémantiku skutečné hodnoty Łukasiewiczova logika.

The triviální MV-algebra má jediný prvek 0 a operace definované jediným možným způsobem, ${ displaystyle 0 oplus 0 = 0}$ a ${ displaystyle lnot 0 = 0.}$

The dvouprvkový MV-algebra je ve skutečnosti dvouprvková booleovská algebra ${ displaystyle {0,1 },}$ s ${ displaystyle oplus}$ shodující se s Booleovou disjunkcí a ${ displaystyle lnot}$ s booleovskou negací. Ve skutečnosti přidání axiomu ${ displaystyle x oplus x = x}$ k axiómům definujícím MV-algebru vede k axiomatizaci booleovských algeber.

Pokud místo toho přidaný axiom je ${ Displaystyle x oplus x oplus x = x oplus x}$ , pak axiomy definují MV₃ algebra odpovídající tříhodnotové Łukasiewicz logice Ł₃^{[Citace je zapotřebí ]}. Další konečné lineárně uspořádané MV-algebry se získají omezením vesmíru a operací standardní MV-algebry na množinu ${ displaystyle n}$ ekvidistantní reálná čísla mezi 0 a 1 (obě jsou zahrnuta), tj. množina ${ displaystyle {0,1 / (n-1), 2 / (n-1), tečky, 1 },}$ který je uzavřen v rámci operací ${ displaystyle oplus}$ a ${ displaystyle lnot}$ standardní MV-algebry; tyto algebry se obvykle označují jako MV_n.

Dalším důležitým příkladem je Changova MV-algebra, skládající se pouze z nekonečných čísel (s typ objednávky ω) a jejich ko-infinitezimály.

Chang také z libovolné sestrojil MV-algebru úplně objednaná abelianská skupina G fixací kladného prvku u a definování segmentu [0, u] tak jako { X ∈ G | 0 ≤ X ≤ u }, který se stane MV-algebrou s X ⊕ y = min (u, X + y) a ¬X = u − X. Chang dále ukázal, že každá lineárně uspořádaná MV-algebra je izomorfní s MV-algebrou vytvořenou ze skupiny tímto způsobem.

D. Mundici rozšířil výše uvedenou konstrukci na abelian mřížkově uspořádané skupiny. Li G je taková skupina se silnou (řádovou) jednotkou u, pak „jednotkový interval“ { X ∈ G | 0 ≤ X ≤ u } může být vybaven ¬X = u − X, X ⊕ y = u ∧_G (x + y) a X ⊗ y = 0 ∨_G (X + y − u). Tato konstrukce zakládá a kategorická rovnocennost mezi mřížovitě uspořádanými abelianskými skupinami se silnou jednotkou a MV-algebrami.

An efektová algebra to je mřížkové uspořádání a má Rieszova vlastnost rozkladu je MV-algebra. Naopak, každá MV-algebra je mřížkově uspořádaná efektová algebra s vlastností Rieszova rozkladu.^[1]

Vztah k logice Łukasiewicz

C. C. Chang vymyslel MV-algebry ke studiu mnohocenné logiky, představil Jan Łukasiewicz v roce 1920. Zejména MV-algebry tvoří algebraická sémantika z Łukasiewiczova logika, jak je popsáno níže.

Vzhledem k MV-algebře A, an A-ocenění je homomorfismus z algebry výrokové vzorce (v jazyce skládajícím se z ${ displaystyle oplus, lnot,}$ a 0) do A. Vzorce mapované na 1 (tj. Na ${ displaystyle lnot}$ 0) pro všechny A-hodnocení jsou volána A-tautologie. Je-li použita standardní MV-algebra nad [0,1], určuje soubor všech [0,1] -tautologií tzv. Nekonečnou hodnotu Łukasiewiczova logika.

Changova věta o úplnosti (1958, 1959) uvádí, že jakákoli rovnice MV-algebry, která se drží ve standardní MV-algebře v intervalu [0,1], bude platit v každé MV-algebře. Algebraicky to znamená, že standardní MV-algebra generuje rozmanitost všech MV-algeber. Ekvivalentně Changova věta o úplnosti říká, že MV-algebry charakterizují nekonečně hodnotné Łukasiewiczova logika, definovaný jako soubor [0,1] -tautologií.

Způsob, jakým [0,1] MV-algebra charakterizuje všechny možné MV-algebry, se vyrovná známému faktu, že identity držící v dvouprvková booleovská algebra držet všechny možné booleovské algebry. Kromě toho MV-algebry charakterizují nekonečně cenné Łukasiewiczova logika analogickým způsobem Booleovy algebry charakterizovat klasiku bivalentní logika (vidět Lindenbaum – Tarski algebra ).

V roce 1984 představili Font, Rodriguez a Torrens Wajsbergova algebra jako alternativní model pro Łukasiewiczovou logiku s nekonečnou hodnotou. Wajsbergovy algebry a MV-algebry jsou obdobně ekvivalentní.^[2]

MV_n-algebry

Ve 40. letech 20. století Grigore Moisil představil své Łukasiewicz – Moisil algebry (LM_n-algebry) v naději na dávání algebraická sémantika pro (konečně) n-hodnota Łukasiewiczova logika. V roce 1956 to však Alan Rose objevil n ≥ 5, algebra Łukasiewicz – Moisil ne Modelka Łukasiewicz n-hodnotová logika. Ačkoli C. C. Chang publikoval svoji MV-algebru v roce 1958, jedná se o věrný model pouze pro ℵ₀-hodnota (nekonečně mnoho) Logika Łukasiewicz – Tarski. Pro axiomaticky komplikovanější (konečně) n- oceněné logiky Łukasiewicz, vhodné algebry byly publikovány v roce 1977 autorem Revaz Grigolia a zavolal MV_n-algebry.^[3] MV_n-algebry jsou podtřídou LM_n-algebry; zařazení je přísné pro n ≥ 5.^[4]

MV_n-algebry jsou MV-algebry, které splňují některé další axiomy, stejně jako n-hodnota Łukasiewicz logics have additional axioms added to the ℵ₀-hodnotová logika.

V roce 1982 Roberto Cignoli zveřejnil několik dalších omezení, která přidala do LM_n-algebry poskytují správné modely pro n-hodnota Łukasiewicz logika; Cignoli zavolal svůj objev správné n-ceněné Łukasiewiczovy algebry.^[5] LM_n-algebry, které jsou také MV_n-algebry jsou přesně Cignoliho správné n-hodnota Łukasiewiczových algeber.^[6]

Vztah k funkční analýze

MV-algebry byly příbuzné Daniele Mundici na přibližně konečně-rozměrné C * -algebry vytvořením bijektivní korespondence mezi všemi třídami izomorfismu přibližně konečně-dimenzionálních C * -algeber s mřížkově uspořádanou dimenzionální skupinou a všemi třídami izomorfismu spočetných MV algeber. Mezi příklady této korespondence patří:

Počitatelná MV algebra	přibližně konečně-rozměrná C * -algebra
{0, 1}	ℂ
{0, 1/n, ..., 1 }	M_n(ℂ), tj. n×n složité matice
konečný	konečně-dimenzionální
booleovský	komutativní

V softwaru

Existuje několik rámců implementujících fuzzy logiku (typ II) a většina z nich implementuje to, čemu se říká a multi-adjoint logika. To není nic jiného než implementace MV-algebry.

Reference

^ Foulis, D. J. (2000-10-01). "MV a Heyting Effect Algebras". Základy fyziky. 30 (10): 1687–1706. doi:10.1023 / A: 1026454318245. ISSN 1572-9516. S2CID 116763476.
^ „s odvoláním na J. M. Font, A. J. Rodriguez, A. Torrens,„ Wajsberg Algebras “, Stochastica, VIII, 1, 5-31, 1984 " (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 10. 8. 2014. Citováno 2014-08-21.
^ Lavinia Corina Ciungu (2013). Nekomutativní logické algebry s více hodnotami. Springer. str. vii – viii. ISBN 978-3-319-01589-7.
^ Iorgulescu, A .: Spojení mezi MV_n-algebry a n-hodnota Łukasiewicz – Moisil algebry — I. Diskrétní matematika. 181, 155–177 (1998) doi:10.1016 / S0012-365X (97) 00052-6
^ R. Cignoli, správná n-Valued Łukasiewicz Algebras jako S-Algebras z Łukasiewicz n-Valued Propositional Calculi, Studia Logica, 41, 1982, 3-16, doi:10.1007 / BF00373490
^ „Archivovaná kopie“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 10. 8. 2014. Citováno 2014-08-21.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)

Chang, C. C. (1958) „Algebraická analýza mnohohodnotných logik“ Transakce Americké matematické společnosti 88: 476–490.
------ (1959) „Nový důkaz úplnosti Lukasiewiczových axiomů,“ Transakce Americké matematické společnosti 88: 74–80.
Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I. M. L., Mundici, D. (2000) Algebraické základy mnohonásobného uvažování. Kluwer.
Di Nola A., Lettieri A. (1993) „Ekvivalentní charakterizace všech odrůd MV-algeber,“ Journal of Algebra 221: 463–474 doi: 10.1006 / jabr.1999.7900.
Hájek, Petr (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer.
Mundici, D .: Interpretace AF C * -algeber v Łukasiewiczově sentenciálním počtu. J. Funct. Anální. 65, 15–63 (1986) doi:10.1016/0022-1236(86)90015-7

Další čtení

Daniele Mundici, MV-ALGEBRAS. Krátký návod
D. Mundici (2011). Pokročilý Łukasiewiczův počet a MV-algebry. Springer. ISBN 978-94-007-0839-6.
Mundici, D. C * -algebry tříhodnotové logiky. Logic Colloquium ’88, Sborník z Kolokvia konaného v Padově 61–77 (1989). doi:10.1016 / s0049-237x (08) 70262-3
Cabrer, L. M. & Mundici, D. Stone-Weierstrassova věta pro MV-algebry a unitální groups-skupiny. Journal of Logic and Computation (2014). doi:10.1093 / logcom / exu023
Olivia Caramello, Anna Carla Russo (2014) Morita-ekvivalence mezi MV-algebrami a abelianskými ℓ-skupinami se silnou jednotkou

externí odkazy

Stanfordská encyklopedie filozofie: "Mnohocenná logika "-podle Siegfried Gottwald.

[1] Foulis, D. J. (2000-10-01). "MV a Heyting Effect Algebras". Základy fyziky. 30 (10): 1687–1706. doi:10.1023 / A: 1026454318245. ISSN 1572-9516. S2CID 116763476.

[2] „s odvoláním na J. M. Font, A. J. Rodriguez, A. Torrens,„ Wajsberg Algebras “, Stochastica, VIII, 1, 5-31, 1984 " (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 10. 8. 2014. Citováno 2014-08-21.

[Ciungu2013-3] Lavinia Corina Ciungu (2013). Nekomutativní logické algebry s více hodnotami. Springer. str. vii – viii. ISBN 978-3-319-01589-7.

[4] Iorgulescu, A .: Spojení mezi MV_n-algebry a n-hodnota Łukasiewicz – Moisil algebry — I. Diskrétní matematika. 181, 155–177 (1998) doi:10.1016 / S0012-365X (97) 00052-6

[5] R. Cignoli, správná n-Valued Łukasiewicz Algebras jako S-Algebras z Łukasiewicz n-Valued Propositional Calculi, Studia Logica, 41, 1982, 3-16, doi:10.1007 / BF00373490

[6] „Archivovaná kopie“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 10. 8. 2014. Citováno 2014-08-21.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]