Částečně objednaná skupina - Partially ordered group
v abstraktní algebra, a částečně objednaná skupina je skupina (G, +) vybavené a částečná objednávka „≤“ to je překlad-invariantní; jinými slovy, „≤“ má tu vlastnost, že pro všechny A, b, a G v G, pokud A ≤ b pak A + G ≤ b + G a G + A ≤ G + b.
Prvek X z G je nazýván pozitivní prvek pokud 0 ≤ X. Sada prvků 0 ≤ X je často označován G+a nazývá se to pozitivní kužel G. Takže máme A ≤ b kdyby a jen kdyby -A + b ∈ G+.
Podle definice můžeme snížit částečné pořadí na monadickou vlastnost: A ≤ b právě tehdy, když 0 ≤ -A + b.
Pro obecnou skupinu G, existence kladného kuželu určuje objednávku na G. Skupina G je částečně uspořádaná skupina právě tehdy, pokud existuje podmnožina H (který je G+) z G takové, že:
- 0 ∈ H
- -li A ∈ H a b ∈ H pak A + b ∈ H
- -li A ∈ H pak -X + A + X ∈ H pro každého X z G
- -li A ∈ H a -A ∈ H pak A = 0
Částečně objednaná skupina G s pozitivním kuželem G+ se říká, že je neperforované -li n · G ∈ G+ pro nějaké kladné celé číslo n naznačuje G ∈ G+. Být neperforovaný znamená, že v kladném kuželu není žádná „mezera“ G+.
Pokud je pořadí ve skupině a lineární pořadí, pak se říká, že je lineárně uspořádaná skupina Pokud je objednávka ve skupině a mřížkový řád, tj. kterékoli dva prvky mají nejméně horní mez, pak je to a mřížkově uspořádaná skupina (krátce l-skupina, ačkoli obvykle vysázejí s a skript l: skupina)).
A Skupina Riesz je neperforovaná částečně uspořádaná skupina s vlastností o něco slabší, než je mřížková uspořádaná skupina. Skupina Riesz jmenovitě vyhovuje Rieszova interpolační vlastnost: pokud X1, X2, y1, y2 jsou prvky G a Xi ≤ yj, pak existuje z ∈ G takhle Xi ≤ z ≤ yj.
Li G a H jsou dvě částečně uspořádané skupiny, mapa z G na H je morfismus částečně uspořádaných skupin pokud je to obojí skupinový homomorfismus a a monotónní funkce. Částečně uspořádané skupiny spolu s touto představou morfismu tvoří a kategorie.
Při definici se používají částečně uspořádané skupiny ocenění z pole.
Příklady
- Celá čísla
- An uspořádaný vektorový prostor je částečně uspořádaná skupina
- A Rieszův prostor je mřížkově uspořádaná skupina
- Typickým příkladem částečně uspořádané skupiny je Zn, kde je skupinová operace komponentním sčítáním, a napíšeme (A1,...,An) ≤ (b1,...,bn) kdyby a jen kdyby Ai ≤ bi (v obvyklém pořadí celých čísel) pro všechny i = 1,..., n.
- Obecněji, pokud G je částečně uspořádaná skupina a X je nějaká sada, pak sada všech funkcí z X na G je opět částečně uspořádaná skupina: všechny operace se provádějí po částech. Navíc každý podskupina z G je částečně uspořádaná skupina: zdědí objednávku od G.
- Li A je přibližně konečně-rozměrná C * -algebra, nebo obecněji, pokud A je tedy stabilně konečná jednotná C * -algebra K.0 (A) je částečně objednaný abelianská skupina. (Elliott, 1976)
Viz také
- Částečně objednaný prsten
- Lineárně uspořádaná skupina
- Cyklicky uspořádaná skupina
- Integrovaná uzavřená objednaná skupina
Reference
- M. Anderson a T. Feil, Mřížkové uspořádané skupiny: úvodD. Reidel, 1988.
- M. R. Darnel, Teorie skupin mřížkových řádů, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 187, Marcel Dekker, 1995.
- L. Fuchs, Částečně objednané algebraické systémy, Pergamon Press, 1963.
- A. M. W. Glass, Objednané permutační skupiny, London Math. Soc. Lecture Notes Series 55, Cambridge U. Press, 1981.
- V. M. Kopytov a A. I. Kokorin (překlad D. Louvish), Plně objednané skupiny, Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
- V. M. Kopytov a N. Ya. Medveděv, Správně uspořádané skupiny„Sibiřská škola algebry a logiky, kancelář poradců, 1996.
- V. M. Kopytov a N. Ya. Medveděv, Teorie skupin mřížkových řádů, Mathematics and its Applications 307, Kluwer Academic Publishers, 1994.
- R. B. Mura a A. Rhemtulla, Objednatelné skupiny, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 27, Marcel Dekker, 1977.
- T.S. Blyth, Mřížky a uspořádané algebraické struktury, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5, kap. 9.
- G.A. Elliott, O klasifikaci indukčních limitů sekvencí poloprostorových konečných dimenzionálních algeber, J. Algebra, 38 (1976) 29-44.