Homotopy vlákno - Homotopy fiber

v matematika, zvláště teorie homotopy, vlákno homotopy (někdy nazývané mapovací vlákno)^[1] je součástí konstrukce, která sdružuje a fibrace libovolně spojitá funkce z topologické prostory F : A → B. to je dvojí do mapovací kužel.

Zejména vzhledem k takové mapě definujte prostor mapovací cesty E_F být párem (A, str) kde A ∈ A a str : [0,1] → B je taková cesta str(0) = F(A). Dáme E_F topologii tím, že jí dáte subprostorovou topologii jako podmnožinu A × B^Já (kde B^Já je prostor cest dovnitř B který jako funkční prostor má kompaktně otevřená topologie ). Pak mapa E_F → B dána (A, str) ⟼ str(1) je fibrace. Dále E_F je ekvivalent homotopy na A takto: Vložit A jako podprostor E_F podle A ⟼ (A, str_A) kde str_A je konstantní cesta v F(A). Pak E_F deformace se stáhne do tohoto podprostoru uzavřením cest.

Vlákno této fibrace (které je dobře definované až do homotopické ekvivalence) je homotopy vlákno F_F, kterou lze definovat jako množinu všech (A, str) s A ∈ A a str : [0,1] → B takovou cestu str(0) = F(A) a str(1) = b₀, kde b₀ ∈ B je nějaký pevný základní bod B.

Ve zvláštním případě, že původní mapa F byla fibrace s vláknem F, potom homotopická ekvivalence A → E_F výše bude mapa fibrací přes B. To vyvolá jejich morfismus dlouhé přesné sekvence z homotopické skupiny, ze kterého (použitím Pět Lemma, jak se to dělá v Sekvence puppe ) je vidět, že na mapě F → F_F je slabá rovnocennost. Výše uvedená konstrukce tedy reprodukuje stejný typ homotopy, pokud již existuje.

Homotopy vlákno je dvojí k mapovací kužel, stejně jako prostor mapovací cesty je dvojí mapovací válec.^[2]

Viz také

• Kvazi-fibrace

Reference

• Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0.