Asférický prostor - Aspherical space

v topologie, obor matematiky, an asférický prostor je topologický prostor se vším homotopické skupiny ${displaystyle pi _ {n} (X)}$ rovno 0, když ${displaystyle n> 1}$.

Pokud někdo pracuje s CW komplexy lze tuto podmínku přeformulovat: asférický CW komplex je CW komplex, jehož univerzální kryt je smluvní. Smluvnost univerzálního krytí je ve skutečnosti stejná Whiteheadova věta, jako asférickost toho. A je to aplikace přesná sekvence fibrace že vyšší homotopické skupiny prostoru a jeho univerzální obal jsou stejné. (Stejným argumentem, pokud E je prostor spojený s cestou a ${displaystyle pcolon E o B}$ je jakýkoli krycí mapa, pak E je asférický, právě když B je asférický.)

Každý asférický prostor X je podle definice an Eilenberg – MacLaneův prostor typu ${displaystyle K (G, 1)}$, kde ${displaystyle G = pi _ {1} (X)}$ je základní skupina z X. Rovněž z definice je asférický prostor a třídicí prostor pro svou základní skupinu (považovanou za a topologická skupina když obdařen diskrétní topologie ).

Příklady

• Použitím druhé z výše uvedených definic snadno vidíme, že všechny orientovatelné kompaktní povrchy rodu většího než 0 jsou asférické (protože jako univerzální kryt mají buď euklidovskou rovinu, nebo hyperbolickou rovinu).
• Z toho vyplývá, že všechny neorientovatelné povrchy, kromě skutečných projektivní rovina, jsou také asférické, protože mohou být pokryty orientovatelným povrchem rodu 1 nebo vyšším.
• Podobně, a produkt libovolného počtu kruhy je asférický. Jako každé úplné, Riemannovo ploché potrubí.
• Žádný hyperbolický 3-potrubí je podle definice pokryto hyperbolickým 3prostorem H³, proto asférický. Jako každý jiný n- potrubí, jehož univerzální krycí prostor je hyperbolický n-prostor Hⁿ.
• Nechat X = G/K. být Riemannovský symetrický prostor negativního typu a Γ být mříž v G na které působí svobodně X. Pak místně symetrický prostor ${displaystyle Gamma ackslash G / K}$ je asférický.
• The Bruhat – prsa budova jednoduché algebraická skupina nad polem s a diskrétní ocenění je asférický.
• Doplněk a uzel v S³ je asférický, podle koule věta
• Metrické prostory s nepozitivním zakřivením ve smyslu Aleksandr D. Aleksandrov (lokálně CAT (0) mezery ) jsou asférické. V případě Riemannovy rozdělovače, vyplývá to z Cartan – Hadamardova věta, který byl zobecněn na geodetické metrické prostory podle Michail Gromov a Werner Ballmann. Tato třída asférických prostorů zahrnuje všechny dříve uvedené příklady.
• Žádný nilmanifold je asférický.

Symplekticky asférické potrubí

V kontextu symplektická potrubí, význam „asférický“ je trochu jiný. Konkrétně říkáme, že symplektický variet (M, ω) je symplekticky asférický právě tehdy, když

${displaystyle int _ {S ^ {2}} f ^ {*} omega = langle c_ {1} (TM), f _ {*} [S ^ {2}] úhel = 0}$

pro každé průběžné mapování

${displaystyle fcolon S ^ {2} o M,}$

kde ${displaystyle c_ {1} (TM)}$ označuje první Třída Chern z téměř složitá struktura který je kompatibilní s ω.

Podle Stokesova věta, vidíme, že symplektická potrubí, která jsou asférická, jsou také symplekticky asférická potrubí. Existují však symlekticky asférická potrubí, která nejsou asférickými prostory.^[1]

Některé odkazy^[2] zrušte požadavek C₁ v jejich definici „symplectically asférický“. Je však běžnější, když se symplektická potrubí uspokojující pouze tento slabší stav nazývají „slabě přesná“.

Viz také

• Acyklický prostor
• Základní potrubí
• Whitehead domněnka

Poznámky

Reference

• Bridson, Martin R .; Haefliger, André, Metrické prostory pozitivního zakřivení. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer-Verlag, Berlín, 1999. xxii + 643 stranISBN  3-540-64324-9 PAN1744486

externí odkazy

• Asférické rozdělovače na atlasu potrubí.