Homotopy zvedání majetku - Homotopy lifting property

v matematika, zejména v teorie homotopy v rámci algebraická topologie, homotopy zvedací vlastnost (také známý jako instance správné zvedání majetku nebo pokrývající homotopický axiom) je technický stav na a spojitá funkce od a topologický prostor E do jiného, B. Je navržen tak, aby podporoval obraz E "výše" B povolením a homotopy odehrávající se v B být přesunut "nahoře" do E.

Například a krycí mapa má vlastnost unikátní místní zvedání cest k danému listu; jedinečnost spočívá v tom, že vlákna krycí mapy jsou diskrétní prostory. Vlastnost zvedání homotopy bude držet v mnoha situacích, jako je projekce v a vektorový svazek, svazek vláken nebo fibrace, kde není třeba žádný jedinečný způsob zvedání.

Formální definice

Předpokládejme, že od nynějška jsou všechny mapy spojité funkce z jednoho topologického prostoru do druhého. Vzhledem k mapě ${ displaystyle pi dvojtečka E až B}$a mezera ${ displaystyle X ,}$, říká to jeden ${ displaystyle (X, pi)}$ má vlastnost zvedání homotopy,^[1][2] nebo tak ${ displaystyle pi ,}$ má vlastnost zvedání homotopy s ohledem na ${ displaystyle X}$, pokud:

• pro všechny homotopy ${ displaystyle f tlustého střeva X krát [0,1] do B ,}$, a
• pro jakoukoli mapu ${ displaystyle { tilde {f}} _ {0} dvojtečka X až E}$ zdvihání ${ displaystyle f_ {0} = f | _ {X krát {0 }}}$ (tj. tak ${ displaystyle f_ {0} = pi circ { tilde {f}} _ {0} ,}$),

existuje homotopie ${ displaystyle { tilde {f}} tlustého střeva X krát [0,1] do E}$ zdvihání ${ displaystyle f ,}$ (tj. tak ${ displaystyle f = pi circ { tilde {f}} ,}$) který také uspokojuje ${ displaystyle { tilde {f}} _ {0} = { tilde {f}} | _ {X times {0 }} ,}$.

Následující diagram znázorňuje tuto situaci.

Vnější čtverec (bez tečkované šipky) dojíždí tehdy a jen tehdy, pokud jsou hypotézy zvedání majetku jsou pravdivé. Zvedání ${ displaystyle { tilde {f}}}$ odpovídá tečkované šipce, která umožňuje dojíždění diagramu. Tento diagram je dvojí ve srovnání s diagramem vlastnost rozšíření homotopy; tato dualita je volně označována jako Dualita Eckmann – Hilton.

Pokud na mapě ${ displaystyle pi ,}$ vyhovuje vlastnosti zvedání homotopy s ohledem na Všechno mezery X, pak ${ displaystyle pi ,}$ se nazývá a fibrace, nebo to někdo jednoduše říká ${ displaystyle pi ,}$ má vlastnost zvedání homotopy.

Toto je definice fibrace ve smyslu Witold Hurewicz, což je přísnější než fibrace ve smyslu Jean-Pierre Serre, pro které homotopy zvedání pouze pro ${ displaystyle X}$ A CW komplex je požadováno.

Zevšeobecnění: vlastnost prodloužení homotopy zvedání

Existuje společné zobecnění vlastnosti zvedání homotopy a vlastnost rozšíření homotopy. Vzhledem k dvojici mezer ${ displaystyle X supseteq Y}$, pro jednoduchost označujeme ${ displaystyle T colon = (X krát {0 }) pohár (Y krát [0,1]) subseteq X krát [0,1]}$. Vzhledem k tomu, navíc mapa ${ displaystyle pi dvojtečka E až B}$, říká to jeden ${ displaystyle (X, Y, pi)}$ má vlastnost prodloužení zvedání homotopy li:

• Pro všechny homotopy ${ displaystyle f tlustého střeva X krát [0,1] do B}$, a
• Pro jakékoli zvedání ${ displaystyle { tilde {g}} dvojtečka T až E}$ z ${ displaystyle g = f | _ {T}}$,

existuje homotopy ${ displaystyle { tilde {f}} tlustého střeva X krát [0,1] do E}$ který pokrývá ${ displaystyle f}$ (tj. takové, že ${ displaystyle pi { tilde {f}} = f}$) a rozšiřuje se ${ displaystyle { tilde {g}}}$ (tj. takové, že ${ displaystyle { tilde {f}} | _ {T} = { tilde {g}}}$).

Homotopická zvedací vlastnost ${ displaystyle (X, pi)}$ je získán tím, že ${ displaystyle Y = emptyset}$, aby ${ displaystyle T}$ výše je jednoduše ${ displaystyle X krát {0 }}$.

Vlastnost rozšíření homotopy z ${ displaystyle (X, Y)}$ je získán tím, že ${ displaystyle pi}$ být konstantní mapou, takže ${ displaystyle pi}$ je na každé mapě irelevantní E je triviálně výtah konstantní mapy do obrazového bodu ${ displaystyle pi}$.

Viz také

• Krycí prostor
• Fibrace

Poznámky

Reference

• Steenrod, Norman (1951). Topologie svazků vláken. Princeton: Princeton University Press. ISBN  0-691-00548-6.
• Hu, Sze-Tsen (1959). Teorie homotopy (Third Printing, 1965 ed.). New York: Academic Press Inc. ISBN  0-12-358450-7.
• Husemoller, Dale (1994). Svazky vláken (Třetí vydání.). New York: Springer. ISBN  978-0-387-94087-8.
• Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0.

externí odkazy

• A.V. Chernavskii (2001) [1994], "Krycí homotopy", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• homotopy zvedací vlastnost v nLab