H náměstí - H square

v matematika a teorie řízení, H²nebo H-čtverec je Hardy prostor se čtvercovou normou. Je to podprostor L² prostor, a je tedy a Hilbertův prostor. Jedná se zejména o reprodukce jádra Hilbertova prostoru.

Na kruhu jednotky

Obecně platí, že prvky L² na jednotkové kružnici jsou dány vztahem

${displaystyle sum _ {n = -infty} ^ {infty} a_ {n} e ^ {invarphi}}$

zatímco prvky H² jsou dány

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} a_ {n} e ^ {invarphi}.}$

Projekce z L² na H² (nastavením A_n = 0 kdy n <0) je ortogonální.

V polorovině

The Laplaceova transformace ${displaystyle {mathcal {L}}}$ dána

${displaystyle [{mathcal {L}} f] (s) = int _ {0} ^ {infty} e ^ {- st} f (t) dt}$

lze chápat jako lineární operátor

${displaystyle {mathcal {L}}: L ^ {2} (0, infty) o H ^ {2} left (mathbb {C} ^ {+} ight)}$

kde ${displaystyle L ^ {2} (0, infty)}$ je sada čtvercově integrovatelný funkce na kladném řádku reálného čísla a ${displaystyle mathbb {C} ^ {+}}$ je pravá polovina komplexní roviny. Je to více; to je izomorfismus v tom, že je to invertibilní, a to izometrické, v tom, že uspokojuje

${displaystyle | {mathcal {L}} f | _ {H ^ {2}} = {sqrt {2pi}} | f | _ {L ^ {2}}.}$

Laplaceova transformace je „polovinou“ Fourierovy transformace; z rozkladu

${displaystyle L ^ {2} (mathbb {R}) = L ^ {2} (- infty, 0) oplus L ^ {2} (0, infty)}$

jeden pak získá ortogonální rozklad z ${displaystyle L ^ {2} (mathbb {R})}$ do dvou Hardyho prostor

${displaystyle L ^ {2} (mathbb {R}) = H ^ {2} vlevo (mathbb {C} ^ {-} ight) oplus H ^ {2} vlevo (mathbb {C} ^ {+} ight). }$

To je v zásadě Paley-Wienerova věta.

Viz také

• H_∞

Reference

• Jonathan R. Partington, „Lineární operátoři a lineární systémy, analytický přístup k teorii řízení“, Studentské texty London Mathematical Society 60(2004) Cambridge University Press, ISBN  0-521-54619-2.