Mezní střední kmitání - Bounded mean oscillation

v harmonická analýza v matematika, funkce omezená střední oscilace, také známý jako a Funkce BMO, je funkce se skutečnou hodnotou jehož střední oscilace je omezená (konečná). Prostor funkcí omezená střední oscilace (BMO), je funkční prostor že v určitém přesném smyslu hraje stejnou roli v teorii Odolné prostory H^str že prostor L^∞ z v zásadě omezené funkce hraje v teorii L^str-prostory: také se tomu říká John – Nirenbergův prostor, po Fritz John a Louis Nirenberg kdo ji představil a studoval poprvé.

Historická poznámka

Podle Nirenberg (1985, str. 703 a str. 707),^[1] prostor funkcí omezené střední oscilace zavedl John (1961, s. 410–411) v souvislosti se studiem mapování od a ohraničená množina Ω patřící Rⁿ do Rⁿ a odpovídající problémy vyplývající z teorie pružnosti, právě z konceptu elastické napětí: základní notaci představil v těsně následujícím příspěvku autor John & Nirenberg (1961),^[2] kde bylo prokázáno několik vlastností těchto funkčních prostorů. Dalším důležitým krokem ve vývoji teorie byl důkaz od Charles Fefferman^[3] z dualita mezi BMO a Hardy prostor H¹, v uvedeném článku Fefferman & Stein 1972: konstruktivní důkaz tohoto výsledku, zavedení nových metod a zahájení dalšího vývoje teorie, poskytl Akihito Uchiyama.^[4]

Definice

Definice 1. The střední oscilace a lokálně integrovatelná funkce u přes hyperkrychle^[5] Q v Rⁿ je definována jako hodnota následujícího integrální:

${displaystyle {frac {1} {| Q |}} int _ {Q} | u (y) -u_ {Q} |, mathrm {d} y}$

kde

• |Q| je objem z Q, tj. jeho Lebesgueovo opatření
• u_Q je průměrná hodnota u na krychli Q, tj.

${displaystyle u_ {Q} = {frac {1} {| Q |}} int _ {Q} u (y), mathrm {d} y.}$

Definice 2. A Funkce BMO je lokálně integrovatelná funkce u jehož střední oscilace supremum, převzal soubor všech kostky Q obsaženo v Rⁿ, je konečný.

Poznámka 1. Supremum střední oscilace se nazývá Norma BMO z u.^[6] a je označen ||u||_BMO (a v některých případech se také označuje ||u||_∗).

Poznámka 2. Použití kostky Q v Rⁿ jako integrace domén na kterém střední oscilace je počítáno, není povinné: Wiegerinck (2001) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFWiegerinck2001 (Pomoc) používá koule místo toho a, jak poznamenal Stein (1993, str. 140), přičemž přitom má naprosto rovnocennou definici funkce vzniká omezená střední oscilace.

Zápis

• Všeobecně přijímaná notace používaná pro sadu funkcí BMO v dané doméně Ω je BMO(Ω): když Ω = Rⁿ, BMO(Rⁿ) je jednoduše symbolizováno jako BMO.
• The Norma BMO dané funkce BMO u je označeno ||u||_BMO: v některých případech se také označuje jako ||u||_∗.

Základní vlastnosti

Funkce BMO jsou lokální str–Integrable

Funkce BMO jsou lokální L^str pokud 0 < str <∞, ale nemusí být místně ohraničené. Ve skutečnosti to můžeme dokázat pomocí nerovnosti podle Johna-Nirenberga

${displaystyle | u | _ {BMO} simeq sup _ {Q} vlevo ({frac {1} {| Q |}} int _ {Q} | u-u_ {Q} | ^ {p} dxight) ^ {1 / p}}$.

BMO je Banachův prostor

Konstantní funkce mají nulovou střední oscilaci, proto se funkce liší pro konstantu C > 0 může sdílet stejnou normovanou hodnotu BMO, i když jejich rozdíl není nula téměř všude. Proto funkce ||u||_BMO je správně normou na kvocientový prostor funkcí BMO modulo prostor konstantní funkce na uvažované doméně.

Průměry sousedních kostek jsou srovnatelné

Jak název napovídá, průměr nebo průměr funkce v BMO moc neosciluje, když ji počítáme přes kostky blízko sebe v poloze a měřítku. Přesně, pokud Q a R jsou dyadické kostky tak, aby se dotýkaly jejich hranice a délka strany Q není menší než polovina délky strany R (a naopak)

${displaystyle | f_ {R} -f_ {Q} | leq C | f | _ {BMO}}$

kde C > 0 je nějaká univerzální konstanta. Tato vlastnost je ve skutečnosti ekvivalentní s F být v BMO, tedy pokud F je lokálně integrovatelná funkce taková, že |F_R−F_Q| ≤ C pro všechny dyadické kostky Q a R sousedící ve smyslu popsaném výše a F je v dyadic BMO (kde supremum je převzato pouze nad dyadic kostkami Q), pak F je v BMO.^[7]

BMO je duální vektorový prostor H¹

Fefferman (1971) ukázal, že prostor BMO je duální H¹, Hardyho prostor s str = 1.^[8] Párování mezi F ∈ H¹ a G ∈ BMO je dáno

${displaystyle (f, g) = int _ {mathbb {R} ^ {n}} f (x) g (x), mathrm {d} x}$

ačkoli je při definování tohoto integrálu zapotřebí určité opatrnosti, protože se obecně absolutně nesbíhá.

Nerovnost podle Johna – Nirenberga

The Nerovnost podle Johna – Nirenberga je odhad, který určuje, do jaké míry se může funkce omezené střední oscilace odchýlit od svého průměru o určitou částku.

Prohlášení

Pro každého ${displaystyle fin operatorname {BMO} left (mathbb {R} ^ {n} ight)}$, existují konstanty ${displaystyle c_ {1}, c_ {2}> 0}$, tak, že pro jakoukoli kostku ${displaystyle Q}$ v ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$,

${displaystyle left | left {xin Q: | f-f_ {Q} |> lambda ight} ight | leq c_ {1} exp left (-c_ {2} {frac {lambda} {| f | _ {BMO}} } ight) | Q |.}$

Naopak, pokud tato nerovnost platí nade vše kostky s nějakou konstantou C namísto ||F||_BMO, pak F je v BMO s normou maximálně konstantní časy C.

Důsledek: vzdálenost v BMO do L^∞

John – Nirenbergova nerovnost může ve skutečnosti poskytnout více informací než jen BMO normu funkce. Pro lokálně integrovatelnou funkci F, nechť A(F) být infimal A> 0 pro které

${displaystyle sup _ {Qsubseteq mathbb {R} ^ {n}} {frac {1} {| Q |}} int _ {Q} e ^ {frac {| f-f_ {Q} |} {A}} mathrm {d} x$

To naznačuje nerovnost John – Nirenberg A(F) ≤ C ||F||_BMO pro nějakou univerzální konstantu C. Pro L^∞ funkce, ale výše uvedená nerovnost bude platit pro všechny A > 0. Jinými slovy, A(F) = 0 pokud F je v L^∞. Proto konstanta A(F) nám dává způsob měření, jak daleko je funkce v BMO od podprostoru L^∞. Toto tvrzení lze zpřesnit:^[9] existuje konstanta C, v závislosti pouze na dimenze n, tak, že pro jakoukoli funkci F ∈ BMO (Rⁿ) platí následující oboustranná nerovnost

${displaystyle {frac {1} {C}} A (f) leq inf _ {gin L ^ {infty}} | f-g | _ {BMO} leq CA (f).}$

Zobecnění a rozšíření

Prostory BMOH a BMOA

Když dimenze okolního prostoru je 1, prostor BMO lze považovat za a lineární podprostor z harmonické funkce na jednotka disku a hraje hlavní roli v teorii Odolné prostory: používáním definice 2, je možné definovat BMO (T) prostor na jednotkový kruh jako prostor funkce F : T → R takhle

${displaystyle {frac {1} {| I |}} int _ {I} | f (y) -f_ {I} |, mathrm {d} y$

tj. takové, že jeho střední oscilace přes každý oblouk I jednotkový kruh^[10] je omezený. Tady jako předtím F_Já je střední hodnota f nad obloukem I.

Definice 3. Analytická funkce na internetu jednotka disku údajně patří k Harmonické BMO nebo v BMOH prostor právě když je to Poissonův integrál BMO (T) funkce. Proto je BMOH prostorem všech funkcí u s formulářem:

${displaystyle u (a) = {frac {1} {2pi}} int _ {mathbf {T}} {frac {1- | a | ^ {2}} {| ae ^ {i heta} | ^ {2} }} f (e ^ {i heta}), mathrm {d} heta}$

vybavené normou:

${displaystyle | u | _ {BMOH} = sup _ {| a | <1} vlevo {{frac {1} {2pi}} int _ {mathbf {T}} {frac {1- | a | ^ {2} } {| ae ^ {i heta} | ^ {2}}} | f (e ^ {i heta}) - u (a) |, mathrm {d} heta ight}}$

Subprostor analytických funkcí patřících k BMOH se nazývá Analytický prostor BMO nebo BMOA prostor.

BMOA jako duální prostor H¹(D)

Charles Fefferman ve své původní práci dokázal, že skutečný prostor BMO je dvojí vůči skutečnému hodnotnému harmonickému Hardyho prostoru na svršku poloprostor Rⁿ × (0, ∞].^[11] V teorii komplexní a harmonické analýzy na disku jednotky je jeho výsledek uveden následovně.^[12] Nechat H^str(D) být analytik Hardy prostor na jednotka Disk. Pro str = 1 identifikujeme (H¹) * s BMOA spárováním F ∈ H¹(D) a G ∈ BMOA pomocí anti-lineární transformace T_G

${displaystyle T_ {g} (f) = lim _ {rightarrow 1} int _ {- pi} ^ {pi} {ar {g}} (e ^ {i heta}) f (re ^ {i heta}), mathrm {d} heta}$

Všimněte si, že ačkoli limit vždy existuje pro H¹ funkce f a T_G je prvkem dvojího prostoru (H¹) *, protože transformace je anti-lineární, nemáme izometrický izomorfismus mezi (H¹) * a BMOA. Pokud však vezmeme v úvahu určitý druh, lze získat izometrii prostor konjugovaných funkcí BMOA.

Prostor VMO

Prostor VMO funkcí mizející střední oscilace je uzavření v BMO spojitých funkcí, které mizí v nekonečnu. Lze jej také definovat jako prostor funkcí, jejichž „střední kmity“ na kostkách Q jsou nejen ohraničené, ale mají také tendenci se rovnoměrně vynulovat jako poloměr krychle Q má tendenci k 0 nebo ∞. Prostor VMO je jakýmsi Hardyho prostorovým analogem prostoru spojitých funkcí mizejících v nekonečnu, a zejména skutečného hodnotného harmonického Hardyho prostoru H¹ je duálem VMO.^[13]

Vztah k Hilbertově transformaci

Lokálně integrovatelná funkce F na R je BMO právě tehdy, když jej lze zapsat jako

${displaystyle f = f_ {1} + Hf_ {2} + alfa}$

kde F_i ∈ L^∞, α je konstanta a H je Hilbertova transformace.

Norma BMO je pak ekvivalentní infimu ${displaystyle | f_ {1} | _ {infty} + | f_ {2} | _ {infty}}$ přes všechna taková znázornění.

Podobně F je VMO právě tehdy, pokud jej lze ve výše uvedené formě reprezentovat pomocí F_i ohraničené rovnoměrně spojité funkce na R.^[14]

Dyadický prostor BMO

Nechat Δ označit množinu dyadické kostky v Rⁿ. Prostor dyadický BMO, napsáno BMO_d je prostor funkcí splňujících stejnou nerovnost jako u funkcí BMO, pouze to, že supremum je nad všemi dyadickými kostkami. Toto nadřazení je někdy označováno ||•||_BMOd.

Tento prostor správně obsahuje BMO. Zejména funkce log (x) χ_[0,∞) je funkce, která je v dyadickém BMO, ale ne v BMO. Pokud však funkce F je takový, že ||F(•−X)||_BMOd ≤ C pro všechny X v Rⁿ pro některé C > 0, pak pomocí třetinový trik F je také v BMO. V případě BMO zapnuto Tⁿ namísto Rⁿ, funkce F je takový, že ||F(•−X)||_BMOd ≤ C pro n + 1 vhodně zvoleno X, pak F je také v BMO. To znamená BMO (Tⁿ ) je průsečík n + 1 překladu dyadického BMO. Duality, H¹(Tⁿ ) je součet n + 1 překladu dyadické H¹.

Přestože dyadická BMO je mnohem užší třída než BMO, mnoho vět, které platí pro BMO, je mnohem jednodušší dokázat pro dyadickou BMO, a v některých případech lze obnovit původní věty BMO tak, že je nejprve prokážete ve speciálním dyadickém případě.^[15]

Příklady

Mezi příklady funkcí BMO patří:

• Všechny omezené (měřitelné) funkce. Li F je v L^∞, pak ||F||_BMO ≤ 2 || f ||_∞:^[16] konverzace však není pravdivá, jak ukazuje následující příklad.
• Protokol funkcí (|P|) pro libovolný polynom P to není identicky nula: zejména to platí pro |P(X)| = |X|.^[16]
• Li w je A_∞ hmotnost, poté se přihlaste (w) je BMO. Naopak, pokud F je tedy BMO E^δf je A_∞ váha pro δ> 0 dostatečně malá: tato skutečnost je důsledkem Nerovnost podle Johna – Nirenberga.^[17]

Poznámky

Reference