Maximální funkce - Maximal function

Maximální funkce se objevují v mnoha formách v harmonická analýza (oblast matematika ). Jedním z nejdůležitějších z nich je Hardy – Littlewood maximální funkce. Hrají důležitou roli při porozumění například vlastnostem diferencovatelnosti funkcí, singulárních integrálů a parciálních diferenciálních rovnic. Často poskytují hlubší a jednodušší přístup k porozumění problémům v těchto oblastech než jiné metody.

Hardy-Littlewood maximální funkce

V jejich původním příspěvku G.H. Hardy a J.E. Littlewood vysvětlil jejich maximální nerovnost v jazyce kriket průměry. Vzhledem k funkci F definováno dne Rⁿ, bezkoncentrovaná maximální funkce Hardy – Littlewood Mf z F je definován jako

{displaystyle (Mf) (x) = sup _ {xin B} {frac {1} {| B |}} int _ {B} | f |}

u každého X v Rⁿ. Zde je supremum převzato nad koulemi B v Rⁿ které obsahují bod X a |B| označuje opatření z B (v tomto případě násobek poloměru koule zvednutý k síle n). Lze také studovat soustředěnou maximální funkci, kde je supremum převzato těsně nad koulemi B které mají střed X. V praxi je mezi nimi malý rozdíl.

Základní vlastnosti

Následující příkazy jsou ústřední pro užitečnost maximálního operátora Hardy – Littlewood.^[1]

(a) Pro F ∈ L^str(Rⁿ) (1 ≤ str ≤ ∞), Mf je konečný téměř všude.
(b) Pokud F ∈ L¹(Rⁿ), pak existuje a C takové, že pro všechna α> 0

{displaystyle | {x: (Mf) (x)> alpha} | leq {frac {c} {alpha}} int _ {mathbf {R} ^ {n}} | f |.}

(c) Pokud F ∈ L^str(Rⁿ) (1 < str ≤ ∞), pak Mf ∈ L^str(Rⁿ) a

{displaystyle | Mf | _ {L ^ {p}} leq A | f | _ {L ^ {p}},}

kde A záleží jen na str a C.

Vlastnosti (b) se nazývají slabý typ vazby Mf. Pro integrovatelnou funkci odpovídá elementární Markovova nerovnost; nicméně, Mf není nikdy integrovatelný, pokud F = 0 téměř všude, takže důkaz slabé vazby (b) pro Mf vyžaduje méně elementární argument z teorie geometrických měr, jako je Vitalijní krycí lemma. Vlastnost (c) říká operátor M je omezen na L^str(Rⁿ); je jasně pravda, kdy str = ∞, protože nemůžeme vzít průměr omezené funkce a získat hodnotu větší než největší hodnota funkce. Vlastnost (c) pro všechny ostatní hodnoty str lze z těchto dvou skutečností odvodit pomocí argument interpolace.

Stojí za zmínku, že (c) neplatí pro str = 1. To lze snadno dokázat výpočtem Mχ, kde χ je charakteristická funkce jednotkové koule se středem v počátku.

Aplikace

Hardy-Littlewood maximální operátor se objevuje na mnoha místech, ale některé z jeho nejpozoruhodnějších použití jsou v důkazech Lebesgueova věta o diferenciaci a Fatouova věta a v teorii singulární integrální operátory.

Non-tangenciální maximální funkce

Non-tangenciální maximální funkce přebírá funkci F definované v horní polovině roviny

{displaystyle mathbf {R} _ {+} ^ {n + 1}: = left {(x, t): xin mathbf {R} ^ {n}, t> 0ight}}

a vytvoří funkci F* definováno dne Rⁿ prostřednictvím výrazu

{displaystyle F ^ {*} (x) = sup _ {| x-y |

Všimněte si, že pro pevné X, sada ${displaystyle {(y, t): | x-y |$ je kužel v ${displaystyle mathbf {R} _ {+} ^ {n + 1}}$ s vrcholem v (X, 0) a osa kolmá k hranici Rⁿ. Takže netangenciální maximální operátor jednoduše převezme nadřazenost funkce F přes kužel s vrcholem na hranici Rⁿ.

Aproximace identity

Jedna obzvláště důležitá forma funkcí F ve které je důležité studium netangenciální maximální funkce je tvořeno z aproximace identity. To znamená, že opravíme integrovatelnou hladkou funkci Φ Rⁿ takhle

{displaystyle int _ {mathbf {R} ^ {n}} Phi = 1}

a nastavit

{displaystyle Phi _ {t} (x) = t ^ {- n} Phi ({frac {x} {t}})}

pro t > 0. Poté definujte

{displaystyle F (x, t) = rychlý Phi _ {t} (x): = int _ {mathbf {R} ^ {n}} f (x-y) Phi _ {t} (y), dy.}

Jeden může ukázat^[1] že

{displaystyle sup _ {t> 0} | rychlý Phi _ {t} (x) | leq (Mf) (x) int _ {mathbf {R} ^ {n}} Phi}

a následně to získat ${displaystyle fast Phi _ {t} (x)}$ konverguje k F v L^str(Rⁿ) pro všechny 1 ≤ str <∞. Takový výsledek lze použít k prokázání, že harmonické prodloužení L^str(Rⁿ) funkce do horní poloviny roviny konverguje netangenciálně k této funkci. Obecnějších výsledků lze dosáhnout tam, kde je Laplacian nahrazen eliptickým operátorem podobnými technikami.

Navíc s některými vhodnými podmínkami na ${displaystyle Phi}$ , jeden to může dostat

{displaystyle F ^ {*} (x) leq C (Mf) (x)}

.

Ostrá maximální funkce

Pro lokálně integrovatelnou funkci F na Rⁿ, ostrá maximální funkce ${displaystyle f ^ {ostrý}}$ je definován jako

{displaystyle f ^ {sharp} (x) = sup _ {xin B} {frac {1} {| B |}} int _ {B} | f (y) -f_ {B} |, dy}

pro každého X v Rⁿ, kde je supremum převzato nad všemi míčky (pěkné) B a ${displaystyle f_ {B}}$ je integrální průměr z ${displaystyle f}$ přes míč ${displaystyle B}$ .^[2]

Ostrou funkci lze použít k získání bodové nerovnosti týkající se singulární integrály. Předpokládejme, že máme operátora T který je ohraničen L²(Rⁿ), takže máme

{displaystyle | T (f) | _ {L ^ {2}} leq C | f | _ {L ^ {2}},}

pro všechny hladké a kompaktně podporované F. Předpokládejme také, že si toho můžeme uvědomit T jako konvoluce proti jádru K. v tom smyslu, že kdykoli F a G jsou plynulé a mají disjunktní podporu

{displaystyle int g (x) T (f) (x), dx = iint g (x) K (x-y) f (y), dy, dx.}

Nakonec předpokládáme velikost a hladkost jádra K.:

{displaystyle | K (x-y) -K (x) | leq C {frac {| y | ^ {gamma}} {| x | ^ {n + gamma}}},}

když ${displaystyle | x | geq 2 | y |}$ . Pak na pevnou r > 1, máme

{displaystyle (T (f)) ^ {ostrý} (x) leq C (M (| f | ^ {r})) ^ {frac {1} {r}} (x)}

pro všechny X v Rⁿ.^[1]

Maximální funkce v ergodické teorii

Nechat ${displaystyle (X, {mathcal {B}}, m)}$ být prostorem pravděpodobnosti a T : X → X endomorfismus zachovávající míru X. Maximální funkce F ∈ L¹(X,m) je

{displaystyle f ^ {*} (x): = sup _ {ngeq 1} {frac {1} {n}} součet _ {i} ^ {n-1} | f (T ^ {i} (x)) |.}

Maximální funkce F ověří slabou vazbu analogicky k Hardy – Littlewood maximální nerovnost:

{displaystyle mleft ({xin X: f ^ {*} (x)> alpha} ight) leq {frac {| f | _ {1}} {alpha}},}

to je přepracování maximální ergodická věta.

Martingale maximální funkce

Li ${displaystyle {f_ {n}}}$ je martingale, můžeme definovat maximální funkci martingalu podle ${displaystyle f ^ {*} (x) = sup _ {n} | f_ {n} (x) |}$ . Li ${displaystyle f (x) = lim _ {nightarrow infty} f_ {n} (x)}$ existuje mnoho výsledků, které platí v klasickém případě (např. omezenost v ${displaystyle L ^ {p}, 1$ a slabí ${displaystyle L ^ {1}}$ nerovnost) držet s ohledem na ${displaystyle f}$ a ${displaystyle f ^ {*}}$ .^[3]

Reference

L. Grafakos, Klasická a moderní Fourierova analýza, Pearson Education, Inc., New Jersey, 2004
E. Stein, Harmonická analýza, Princeton University Press, 1993
E. Stein, Singulární integrály a vlastnosti odlišitelnosti funkcí, Princeton University Press, 1971
E. Stein, Témata harmonické analýzy související s teorií Littlewood-Paley, Princeton University Press, 1970

Poznámky

^ ^A ^b ^C Stein, Elias (1993). "Harmonická analýza". Princeton University Press.
^ Grakakos, Loukas (2004). „7“. Klasická a moderní Fourierova analýza. New Jersey: Pearson Education, Inc.
^ Stein, Elias M. (2004). „Kapitola IV: Obecná teorie Littlewood-Paley“. Témata harmonické analýzy související s teorií Littlewood-Paley. Princeton, New Jersey: Princeton University Press.

[bible-1] A ^b ^C Stein, Elias (1993). "Harmonická analýza". Princeton University Press.

[grafakos-2] Grakakos, Loukas (2004). „7“. Klasická a moderní Fourierova analýza. New Jersey: Pearson Education, Inc.

[3] Stein, Elias M. (2004). „Kapitola IV: Obecná teorie Littlewood-Paley“. Témata harmonické analýzy související s teorií Littlewood-Paley. Princeton, New Jersey: Princeton University Press.

[1]

[2]

[3]