Produkt Blaschke - Blaschke product - Wikipedia

v komplexní analýza, Produkt Blaschke je ohraničený analytická funkce v disku otevřené jednotky konstruovaném tak, aby měl nuly v (konečné nebo nekonečné) posloupnosti předepsané komplexní čísla

A₀, A₁, ...

uvnitř jednotka disku.

Produkt Blaschke, B (z), přidružený k 50 náhodně vybraným bodům na jednotkovém disku. ${ displaystyle zeta = e ^ {2 pi i / 3}}$. B (z) je reprezentován jako a Matplotlib spiknutí s použitím verze Barvení domény metoda.

Výrobky Blaschke představila společnost Wilhelm Blaschke  (1915 ). Jsou příbuzní Odolné prostory.

Definice

Posloupnost bodů ${ displaystyle (a_ {n})}$ Uvnitř disku jednotky se říká, že uspokojuje Stav Blaschke když

${ displaystyle sum _ {n} (1- | a_ {n} |) < infty.}$

Vzhledem k posloupnosti dodržující Blaschkeovu podmínku je produkt Blaschke definován jako

${ displaystyle B (z) = prod _ {n} B (a_ {n}, z)}$

s faktory

${ displaystyle B (a, z) = { frac {| a |} {a}} ; { frac {a-z} {1 - { overline {a}} z}}}$

pokud A ≠ 0. Tady ${ displaystyle { overline {a}}}$ je komplexní konjugát z A. Když A = 0 záběrů B(0,z) = z.

Produkt Blaschke B(z) definuje analytickou funkci na disku otevřené jednotky a nulu přesně na A_n (s multiplicita počítáno): navíc je ve třídě Hardy ${ displaystyle H ^ { infty}}$.^[1]

Posloupnost A_n splnění výše uvedeného kritéria konvergence se někdy nazývá a Blaschkeova sekvence.

Szegőova věta

Věta o Gábor Szegő uvádí, že pokud F je v ${ displaystyle H ^ {1}}$, Hardy prostor s integrovatelnou normou, a pokud F není identicky nula, pak nuly z F (jistě spočítatelné do počtu) splňují podmínku Blaschke.

Konečné produkty Blaschke

Konečné produkty Blaschke lze charakterizovat (jako analytické funkce na disku jednotky) následujícím způsobem: Předpokládejme, že F je analytická funkce na disku otevřené jednotky tak, že F lze rozšířit na nepřetržitou funkci na disku uzavřené jednotky

${ displaystyle { overline { Delta}} = {z v mathbb {C} , | , | z | leq 1 }}$

který mapuje kruh jednotky k sobě. Pak ƒ se rovná konečnému produktu Blaschke

${ displaystyle B (z) = zeta prod _ {i = 1} ^ {n} left ({{z-a_ {i}} přes {1 - { overline {a_ {i}}} z }} vpravo) ^ {m_ {i}}}$

kde ζ leží na jednotkovém kruhu a m_i je multiplicita nuly A_i, |A_i| <1. Zejména pokud ƒ splňuje výše uvedenou podmínku a nemá v jednotkovém kruhu žádné nuly ƒ je konstantní (tato skutečnost je také důsledkem maximální princip pro harmonické funkce, aplikované na protokol harmonických funkcí (|ƒ(z)|)).

Viz také

• Hardy prostor
• Produkt Weierstrass

Reference

• W. Blaschke, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen Berichte Math.-Phys. Kl., Sächs. Gesell. der Wiss. Leipzig, 67 (1915), str. 194–200
• Peter Colwell, Produkty Blaschke - ohraničené analytické funkce (1985), University of Michigan Press, Ann Arbor, 140 stran. ISBN  0-472-10065-3
• Conway, John B. Funkce komplexní proměnné II. Postgraduální texty z matematiky. 159. Springer-Verlag. str. 273–274. ISBN  0-387-94460-5.
• Tamrazov, P.M. (2001) [1994], "Produkt Blaschke", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS