Zpožděný potenciál - Retarded potential

Část série článků o
Elektromagnetismus
Elektřina Magnetismus Dějiny Učebnice
Elektrostatika Elektrický náboj Coulombův zákon Dirigent Hustota náboje Permitivita Elektrický dipólový moment Elektrické pole Elektrický potenciál Elektrický tok  / potenciální energie Elektrostatický výboj Gaussův zákon Indukce Izolátor Hustota polarizace Statická elektřina Triboelektřina
Magnetostatika Ampereův zákon Biot – Savartův zákon Gaussův zákon pro magnetismus Magnetické pole Magnetický tok Magnetický dipólový moment Magnetická propustnost Magnetický skalární potenciál Magnetizace Magnetomotorická síla Pravidlo pravé ruky
Elektrodynamika Lorentzův silový zákon Elektromagnetická indukce Faradayův zákon Lenzův zákon Zdvihový proud Potenciál magnetického vektoru Maxwellovy rovnice Elektromagnetické pole Elektromagnetický puls Elektromagnetická radiace Maxwellův tenzor Poyntingův vektor Liénard – Wiechertův potenciál Jefimenkovy rovnice Vířivý proud Londýnské rovnice Matematické popisy elektromagnetického pole
Elektrická síť Střídavý proud Kapacita Stejnosměrný proud Elektrický proud Elektrolýza Hustota proudu Joule topení Elektromotorická síla Impedance Indukčnost Ohmův zákon Paralelní obvod Odpor Rezonanční dutiny Sériový obvod Napětí Vlnovody
Koviantní formulace Elektromagnetický tenzor (tenzor napětí a energie ) Čtyřproudové Elektromagnetický čtyř potenciál
Vědci Ampér Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Jindřich Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Zpěvák Tesla Volta Weber

v elektrodynamika, retardované potenciály jsou elektromagnetické potenciály pro elektromagnetické pole generováno uživatelem časově proměnlivé elektrický proud nebo distribuce poplatků v minulosti. Pole se šíří na rychlost světla C, takže zpoždění spojování polí Příčina a následek v dřívějších a pozdějších dobách je důležitým faktorem: signálu trvá konečný čas, než se šíří z bodu v náboji nebo distribuci proudu (příčina) do jiného bodu v prostoru (kde se měří účinek), viz obrázek níže.^[1]

V rozchodu Lorenz

Vektory polohy r a r ' použité při výpočtu.

Výchozí bod je Maxwellovy rovnice v potenciální formulaci za použití Lorenzův rozchod:

${displaystyle Box varphi = {dfrac {ho} {epsilon _ {0}}} ,, quad Box mathbf {A} = mu _ {0} mathbf {J}}$

kde φ (r, t) je elektrický potenciál a A(r, t) je potenciál magnetického vektoru, pro libovolný zdroj hustota náboje ρ (r, t) a proudová hustota J(r, t), a ${displaystyle Box}$ je D'Alembertův operátor.^[2] Jejich řešení dává retardované potenciály níže (vše v SI jednotky ).

Pro pole závislá na čase

U polí závislých na čase jsou retardované potenciály:^[3][4]

${displaystyle mathrm {varphi} (mathbf {r}, t) = {frac {1} {4pi epsilon _ {0}}} int {frac {ho (mathbf {r} ', t_ {r})} {| mathbf {r} -mathbf {r} '|}}, mathrm {d} ^ {3} mathbf {r}'}$

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r}, t) = {frac {mu _ {0}} {4pi}} int {frac {mathbf {J} (mathbf {r} ', t_ {r})} { | mathbf {r} -mathbf {r} '|}}, mathrm {d} ^ {3} mathbf {r}',.}$

kde r je směřovat ve vesmíru, t je čas,

${displaystyle t_ {r} = t- {frac {| mathbf {r} -mathbf {r} '|} {c}}}$

je zpožděný čas a d³r ' je integrační opatření použitím r '.

Od φ (r, t) a A(r, t), pole E(r, t) a B(r, t) lze vypočítat pomocí definic potenciálů:

${displaystyle -mathbf {E} = abla varphi + {frac {částečná mathbf {A}} {částečná t}} ,, čtveřice mathbf {B} = abla imes mathbf {A},.}$

a to vede k Jefimenkovy rovnice. Odpovídající pokročilé potenciály mají stejnou formu, kromě pokročilého času

${displaystyle t_ {a} = t + {frac {| mathbf {r} -mathbf {r} '|} {c}}}$

nahradí retardovaný čas.

Ve srovnání se statickými potenciály pro časově nezávislá pole

V případě, že pole jsou časově nezávislá (elektrostatický a magnetostatický pole), časové deriváty v ${displaystyle Box}$ operátory polí jsou nulové a Maxwellovy rovnice se redukují na

${displaystyle abla ^ {2} varphi = - {dfrac {ho} {epsilon _ {0}}} ,, quad abla ^ {2} mathbf {A} = -mu _ {0} mathbf {J} ,,}$

kde ∇² je Laplacian, které mají podobu Poissonova rovnice ve čtyřech složkách (jedna pro φ a tři pro A) a řešení jsou:

${displaystyle mathrm {varphi} (mathbf {r}) = {frac {1} {4pi epsilon _ {0}}} int {frac {ho (mathbf {r} ')} {| mathbf {r} -mathbf {r } '|}}, mathrm {d} ^ {3} mathbf {r}'}$

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r}) = {frac {mu _ {0}} {4pi}} int {frac {mathbf {J} (mathbf {r} ')} {| mathbf {r} -mathbf {r} '|}}, mathrm {d} ^ {3} mathbf {r}',.}$

Ty také vyplývají přímo z retardovaných potenciálů.

V rozchodu Coulomb

V Coulombův rozchod, Maxwellovy rovnice jsou^[5]

${displaystyle abla ^ {2} varphi = - {dfrac {ho} {epsilon _ {0}}}}$

${displaystyle abla ^ {2} mathbf {A} - {dfrac {1} {c ^ {2}}} {dfrac {částečné ^ {2} mathbf {A}} {částečné t ^ {2}}} = - mu _ {0} mathbf {J} + {dfrac {1} {c ^ {2}}} abla vlevo ({dfrac {částečné varphi} {částečné t}} vpravo) ,,}$

ačkoli řešení kontrastují s výše uvedeným, protože A je retardovaný potenciál, přesto se φ mění okamžitě, dána:

${displaystyle varphi (mathbf {r}, t) = {dfrac {1} {4pi epsilon _ {0}}} int {dfrac {ho (mathbf {r} ', t)} {| mathbf {r} -mathbf { r} '|}} mathrm {d} ^ {3} mathbf {r}'}$

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r}, t) = {dfrac {1} {4pi varepsilon _ {0}}} abla imes int mathrm {d} ^ {3} mathbf {r '} int _ {0} ^ {| mathbf {r} -mathbf {r} '| / c} mathrm {d} t_ {r} {dfrac {t_ {r} mathbf {J} (mathbf {r'}, t-t_ {r}) } {| mathbf {r} -mathbf {r} '| ^ {3}}} imes (mathbf {r} -mathbf {r}') ,.}$

To představuje výhodu a nevýhodu Coulombova měřidla - φ lze snadno vypočítat z rozložení náboje ρ, ale A není tak snadno vypočítatelné z aktuální distribuce j. Pokud však požadujeme, aby potenciály mizely v nekonečnu, lze je vyjádřit úhledně z hlediska polí:

${displaystyle varphi (mathbf {r}, t) = {dfrac {1} {4pi}} int {dfrac {abla cdot mathbf {E} ({r} ', t)} {| mathbf {r} -mathbf {r } '|}} mathrm {d} ^ {3} mathbf {r}'}$

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r}, t) = {dfrac {1} {4pi}} int {dfrac {abla imes mathbf {B} ({r} ', t)} {| mathbf {r} - mathbf {r} '|}} mathrm {d} ^ {3} mathbf {r}'}$

V linearizované gravitaci

Zpožděný potenciál v linearizovaná obecná relativita je úzce analogický s elektromagnetickým případem. Tenzor obrácený stopou ${displaystyle {ilde {h}} _ {mu u} = h_ {mu u} - {frac {1} {2}} eta _ {mu u} h}$ hraje roli čtyřvektorového potenciálu, harmonický rozchod ${displaystyle {ilde {h}} ^ {mu u} {} _ {, mu} = 0}$ nahradí elektromagnetické Lorenzovo měřidlo, pole jsou rovnice ${displaystyle Box {ilde {h}} _ {mu u} = - 16pi GT_ {mu u}}$a řešení retardovaných vln je

${displaystyle {ilde {h}} _ {mu u} (mathbf {r}, t) = 4Gint {frac {T_ {mu u} (mathbf {r} ', t_ {r})} {| mathbf {r} -mathbf {r} '|}} mathrm {d} ^ {3} mathbf {r}'}$.^[6]

Výskyt a aplikace

Teorie mnoha těl, která zahrnuje průměr retardovaných a pokročilý Liénard – Wiechertovy potenciály je Teorie absorbérů Wheeler – Feynman také známá jako Wheeler – Feynmanova časově symetrická teorie.

Příklad

Potenciál náboje s rovnoměrnou rychlostí na přímce má inverze v bodě to je v poslední pozici. Potenciál se nemění ve směru pohybu.^[7]

Viz také

• Maxwellovy rovnice
• Liénard – Wiechertův potenciál
• Lenzův zákon

Reference