Nerozložitelné kontinuum - Indecomposable continuum

První čtyři fáze konstrukce rukojeti lopaty jako hranice řady vnořených křižovatek

v bodová topologie, an nerozložitelné kontinuum je kontinuum to je nerozložitelné, to znamená, že jej nelze vyjádřit jako spojení kteréhokoli z jeho dvou správně subkontinua. V roce 1910 L. E. J. Brouwer byl první, kdo popsal nerozložitelné kontinuum.

Indecomposable kontinua byly použity topology jako zdroj protiklady. Vyskytují se také v dynamické systémy.

Definice

A kontinuum ${ displaystyle C}$ je neprázdné kompaktní připojeno metrický prostor. Oblouk, n-koule a Hilbertova kostka jsou příklady cesta připojena kontinua; the sinusová křivka topologa a Varšavský kruh jsou příklady nespojovaných souvislostí. A subkontinuum ${ displaystyle C '}$ kontinua ${ displaystyle C}$ je uzavřená, propojená podmnožina ${ displaystyle C}$ . Prostor je nedegenerovat pokud se nerovná jednomu bodu. Kontinuum ${ displaystyle C}$ je rozložitelný pokud existují dvě subkontinua ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ z ${ displaystyle C}$ takhle ${ displaystyle A neq C}$ a ${ displaystyle B neq C}$ ale ${ displaystyle A pohár B = C}$ . Kontinuum, které není rozložitelné, je nerozložitelné kontinuum. Kontinuum ${ displaystyle C}$ ve kterém je každé subkontinuum nerozložitelné dědičně nerozložitelný. A skladatel nerozložitelného kontinua ${ displaystyle C}$ je maximální množina, ve které jakékoli dva body leží v nějakém správném subkontinuu ${ displaystyle C}$ . Kontinuum ${ displaystyle C}$ je neredukovatelné mezi ${ displaystyle c}$ a ${ displaystyle c '}$ -li ${ displaystyle c, c ' v C}$ a žádné řádné subkontinuum neobsahuje oba body. Nerozložitelné kontinuum je neredukovatelné mezi kterýmikoli dvěma body.^[1]

Dějiny

Pátá etapa jezer Wada

V roce 1910 L. E. J. Brouwer popsal nerozložitelné kontinuum, které vyvrátilo domněnku, kterou vytvořil Arthur Moritz Schoenflies že společná hranice dvou otevřených, spojených, disjunktních sad zapadá ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ bylo spojení dvou uzavřených, spojených správných podmnožin.^[2] Zygmunt Janiszewski popsal více takových nerozložitelných kontinu, včetně verze rukojeti lopaty. Janiszewski se však zaměřil na neredukovatelnost těchto kontinu. V roce 1917 Kunizo Yoneyama popsal Jezera Wada (pojmenoval podle Takeo Wada ), jejichž společná hranice je nerozložitelná. Ve 20. letech 20. století začala studovat nerozložitelná kontinua Varšavská matematická škola v Fundamenta Mathematicae spíše kvůli nim, než jako patologické protiklady. Stefan Mazurkiewicz byl první, kdo dal definici nerozložitelnosti. V roce 1922 Bronisław Knaster popsal pseudo-oblouk, první nalezený příklad dědičně nerozložitelného kontinua.^[3]

Příklad rukojeti lopaty

Indecomposable kontinua jsou často konstruovány jako limit posloupnosti vnořených křižovatek, nebo (obecněji) jako inverzní limit posloupnosti kontinua. Buckethandle, neboli Brouwer – Janiszewski – Knasterovo kontinuum, se často používá jako nejjednodušší příklad nerozložitelného kontinua a lze jej tak konstruovat (viz vpravo nahoře). Případně si vezměte Cantor ternární sada ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ promítnut do intervalu ${ displaystyle [0,1]}$ z ${ displaystyle x}$ -osa v rovině. Nechat ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {0}}$ být rodinou půlkruhů nad ${ displaystyle x}$ - osa se středem ${ displaystyle (1 / 2,0)}$ a se zapnutými koncovými body ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ (což je v tomto bodě symetrické). Nechat ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {1}}$ být rodinou půlkruhů pod ${ displaystyle x}$ -osa se středem středu intervalu ${ displaystyle [2 / 3,1]}$ as koncovými body v ${ displaystyle { mathcal {C}} cap [2 / 3,1]}$ . Nechat ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {i}}$ být rodinou půlkruhů pod ${ displaystyle x}$ -osa se středem středu intervalu ${ displaystyle [2/3 ^ {i}, 3/3 ^ {i}]}$ as koncovými body v ${ displaystyle { mathcal {C}} cap [2/3 ^ {i}, 3/3 ^ {i}]}$ . Pak spojení všech takových ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {i}}$ je rukojeť lopaty.^[4]

Rukojeť lopaty nepřipouští žádný příčný Borel, to znamená, že neexistuje Sada Borel obsahující přesně jeden bod od každého skladatele.

Vlastnosti

V jistém smyslu jsou „většina“ kontinua nerozložitelná. Nechat ${ displaystyle M}$ být ${ displaystyle n}$ -buňka s metrický ${ displaystyle d}$ , ${ displaystyle 2 ^ {M}}$ soubor všech neprázdných uzavřených podmnožin ${ displaystyle M}$ , a ${ displaystyle C (M)}$ the hyperprostor všech připojených členů ${ displaystyle 2 ^ {M}}$ vybavené Hausdorffova metrika ${ displaystyle H_ {d}}$ definován ${ displaystyle H_ {d} (A, B) = max { sup {d (a, B): a v A }, sup {d (b, A): b v B } }}$ . Pak sada nedegenerovatelné nerozložitelné subkontinuy ${ displaystyle M}$ je hustý v ${ displaystyle C (M)}$ .

V dynamických systémech

V roce 1932 George Birkhoff popsal svou „pozoruhodnou uzavřenou křivku“, homeomorfismus prstence, který obsahoval invariantní kontinuum. Marie Charpentierová ukázal, že toto kontinuum bylo nerozložitelné, první spojení od nerozložitelného kontinua k dynamickým systémům. Neměnná sada jistého Smalela mapa podkovy je rukojeť lopaty. Marcy Barge a další intenzivně studovali nerozložitelná kontinua v dynamických systémech.^[5]

Viz také

Nerozložitelnost
Jezera Wada, tři otevřené podmnožiny roviny, jejíž hranice je nerozložitelným kontinuem
Solenoid
Sierpinski koberec

Reference

^ Nadler, Sam (2017). Teorie kontinua: Úvod. CRC Press. ISBN 9781351990530.
^ Brouwer, L. E. J. (1910), „Zur Analysis Situs“ (PDF), Mathematische Annalen, 68 (3): 422–434, doi:10.1007 / BF01475781
^ Cook, Howard; Ingram, William T .; Kuperberg, Krystyna; Lelek, Andrew; Minc, Piotr (1995). Continua: S Houston Problem Book. CRC Press. p. 103. ISBN 9780824796501.
^ Ingram, W. T .; Mahavier, William S. (2011). Inverzní limity: Od Continuy po Chaos. Springer Science & Business Media. p. 16. ISBN 9781461417972.
^ Kennedy, Judy (1. prosince 1993). "Jak vznikají nerozložitelná kontinua v dynamických systémech". Annals of the New York Academy of Sciences. 704 (1): 180–201. doi:10.1111 / j.1749-6632.1993.tb52522.x. ISSN 1749-6632.

externí odkazy

Solecki, S. (2002). "Deskriptivní teorie množin v topologii". In Hušek, M .; van Mill, J. (eds.). Nedávný pokrok v obecné topologii II. Elsevier. 506–508. ISBN 978-0-444-50980-2.
Casselman, Bill (2014), „O obálce“ (PDF), Oznámení AMS, 61: 610, 676 vysvětluje Brouwerův obraz jeho nerozložitelného kontinua, které se objevuje na přední kryt deníku.

[1] Nadler, Sam (2017). Teorie kontinua: Úvod. CRC Press. ISBN 9781351990530.

[2] Brouwer, L. E. J. (1910), „Zur Analysis Situs“ (PDF), Mathematische Annalen, 68 (3): 422–434, doi:10.1007 / BF01475781

[3] Cook, Howard; Ingram, William T .; Kuperberg, Krystyna; Lelek, Andrew; Minc, Piotr (1995). Continua: S Houston Problem Book. CRC Press. p. 103. ISBN 9780824796501.

[4] Ingram, W. T .; Mahavier, William S. (2011). Inverzní limity: Od Continuy po Chaos. Springer Science & Business Media. p. 16. ISBN 9781461417972.

[5] Kennedy, Judy (1. prosince 1993). "Jak vznikají nerozložitelná kontinua v dynamických systémech". Annals of the New York Academy of Sciences. 704 (1): 180–201. doi:10.1111 / j.1749-6632.1993.tb52522.x. ISSN 1749-6632.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]