Třída skupin - Class of groups

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet produkt věnce jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

A třída skupin je soubor teoretické sbírky skupiny uspokojení majetku, že pokud G je ve sbírce, pak je každá skupina isomorfní G je také ve sbírce. Tento koncept vznikl z nutnosti pracovat s hromadou skupin splňujících určité speciální vlastnosti (například konečnost nebo komutativita). Od té doby teorie množin nepřipouští „soubor všech skupin“, je nutné pracovat s obecnějším pojmem třída.

Definice

A třída skupin ${ displaystyle { mathfrak {X}} ~}$ je sbírka skupin takových, že pokud ${ displaystyle G v { mathfrak {X}} ~}$ a ${ displaystyle G cong H ~}$ pak ${ displaystyle H v { mathfrak {X}} ~}$. Skupiny ve třídě ${ displaystyle { mathfrak {X}} ~}$ jsou označovány jako ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$-skupiny.

Pro skupinu skupin ${ displaystyle { mathfrak {I}} ~}$, označujeme ${ displaystyle ({ mathfrak {I}})}$ nejmenší třída skupin obsahujících ${ displaystyle { mathfrak {I}}}$. Zejména pro skupinu ${ displaystyle G}$, ${ displaystyle (G)}$ označuje jeho třídu izomorfismu.

Příklady

Nejběžnější příklady tříd skupin jsou:

• ${ displaystyle emptyset}$: prázdná třída skupin
• ${ displaystyle { mathfrak {C}}}$: třída cyklické skupiny.
• ${ displaystyle { mathfrak {A}} ~}$: třída abelianské skupiny.
• ${ displaystyle { mathfrak {U}} ~}$: třída konečných supersolvable groups
• ${ displaystyle { mathfrak {N}} ~}$: třída nilpotentní skupiny
• ${ displaystyle { mathfrak {S}} ~}$: třída konečných řešitelné skupiny
• ${ displaystyle { mathfrak {I}} ~}$: třída konečných jednoduché skupiny
• ${ displaystyle { mathfrak {E}} ~}$: třída konečné skupiny
• ${ displaystyle { mathfrak {G}} ~}$: třída všech skupin

Produkt tříd skupin

Vzhledem ke dvěma třídám skupin ${ displaystyle { mathfrak {X}} ~}$ a ${ displaystyle { mathfrak {Y}} ~}$ je definován produkt tříd

${ displaystyle { mathfrak {X}} { mathfrak {Y}} ~ = (G | G { text {má normální podskupinu}} N v { mathfrak {X}} { text {s}} G / N in { mathfrak {Y}})}$

Tato konstrukce nám umožňuje rekurzivně definovat síla třídy nastavením

${ displaystyle { mathfrak {X}} ^ {0} = (1)}$ a ${ displaystyle { mathfrak {X}} ^ {n} = { mathfrak {X}} ^ {n-1} { mathfrak {X}}}$

Je třeba poznamenat, že tohle binární operace na třídě tříd skupin není ani jeden asociativní ani komutativní. Zvažte například střídavá skupina stupně 4 (a pořadí 12); tato skupina patří do třídy ${ displaystyle ({ mathfrak {C}} { mathfrak {C}}) { mathfrak {C}}}$ protože má jako podskupinu skupinu ${ displaystyle V_ {4}}$ kterému patří ${ displaystyle { mathfrak {C}} { mathfrak {C}}}$ a navíc ${ displaystyle A_ {4} / V_ {4} cong C_ {3}}$ který je v ${ displaystyle { mathfrak {C}}}$. nicméně ${ displaystyle A_ {4}}$ nemá žádnou netriviální normální cyklickou podskupinu, takže ${ displaystyle A_ {4} not in { mathfrak {C}} ({ mathfrak {C}} { mathfrak {C}})}$. Pak ${ displaystyle { mathfrak {C}} ({ mathfrak {C}} { mathfrak {C}}) not = ({ mathfrak {C}} { mathfrak {C}}) { mathfrak {C }}}$.

Z definice je to však přímé, že pro všechny tři třídy skupin ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$, ${ displaystyle { mathfrak {Y}}}$, a ${ displaystyle { mathfrak {Z}}}$,

${ displaystyle { mathfrak {X}} ({ mathfrak {Y}} { mathfrak {Z}}) subseteq ({ mathfrak {X}} { mathfrak {Y}}) { mathfrak {Z} }}$

Mapy tříd a uzavírací operace

A mapa třídy C je mapa, která přiřazuje třídu skupin ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ do jiné třídy skupin ${ displaystyle c { mathfrak {X}}}$. Mapa třídy je považována za operaci uzavření, pokud splňuje další vlastnosti:

1. C je expanzivní: ${ displaystyle { mathfrak {X}} subseteq c { mathfrak {X}}}$
2. C je idempotentní: ${ displaystyle c { mathfrak {X}} = c (c { mathfrak {X}})}$
3. C je monotónní: Pokud ${ displaystyle { mathfrak {X}} subseteq { mathfrak {Y}}}$ pak ${ displaystyle c { mathfrak {X}} subseteq c { mathfrak {Y}}}$

Mezi nejběžnější příklady operací uzavírání patří:

• ${ displaystyle S { mathfrak {X}} = (G | G leq H, H v { mathfrak {X}})}$
• ${ displaystyle Q { mathfrak {X}} = (G | { text {existuje}} H v { mathfrak {X}} { text {a epimorfismus z}} H { text {to}} G)}$
• ${ displaystyle N_ {0} { mathfrak {X}} = (G | { text {existuje}} K_ {i} (i = 1, cdots, r) { text {subnormální v}} G { text {with}} K_ {i} in { mathfrak {X}} { text {and}} G = langle K_ {1}, cdots, K_ {r} rangle)}$
• ${ displaystyle R_ {0} { mathfrak {X}} = (G | { text {existuje}} N_ {i} (i = 1, cdots, r) { text {normální v}} G { text {with}} G / N_ {i} in { mathfrak {X}} { text {and}} bigcap limits _ {i = 1} ^ {r} Ni = 1)}$
• ${ displaystyle S_ {n} { mathfrak {X}} = (G | G { text {je podnormální v}} H { text {pro některé}} H v { mathfrak {X}})}$

Reference

• Ballester-Bolinches, Adolfo; Ezquerro, Luis M. (2006), Třídy konečných skupin, Matematika a její aplikace (Springer), 584, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-1-4020-4718-3, PAN  2241927
• Doerk, Klaus; Hawkes, Trevor (1992), Konečné rozpustné skupiny, de Gruyter Expositions in Mathematics, 4, Berlín: Walter de Gruyter & Co., ISBN  978-3-11-012892-5, PAN  1169099

Viz také

Formace