Cauchy – Riemannovy rovnice - Cauchy–Riemann equations

Vizuální znázornění vektoru X v doméně vynásobeného komplexním číslem z, poté mapovaného f, oproti tomu, že je mapováno f a poté vynásobeno z poté. Pokud oba způsobí, že bod skončí na stejném místě pro všechny X a z, pak f splňuje podmínku Cauchy-Riemann

V oblasti komplexní analýza v matematika, Cauchy – Riemannovy rovnice, pojmenoval podle Augustin Cauchy a Bernhard Riemann, se skládají z a Systém ze dvou parciální diferenciální rovnice které spolu s určitými kritérii kontinuity a diferencovatelnosti tvoří nezbytnou a dostatečnou podmínku pro a komplexní funkce být komplexní diferencovatelné, to znamená, holomorfní. Tento systém rovnic se poprvé objevil v práci Jean le Rond d'Alembert (d'Alembert 1752 ). Později, Leonhard Euler připojil tento systém k analytické funkce (Euler 1797 ). Cauchy (1814) pak použil tyto rovnice ke konstrukci své teorie funkcí. Riemannova disertační práce (Riemann 1851 ) o teorii funkcí se objevil v roce 1851.

Cauchy-Riemannovy rovnice na dvojici reálných funkcí dvou reálných proměnných u(X,y) a proti(X,y) jsou dvě rovnice:

{ displaystyle { begin {aligned} (1a) qquad & { frac { částečné u} { částečné x}} = { frac { částečné v} { částečné y}} [6pt] ( 1b) qquad & { frac { částečné u} { částečné y}} = - { frac { částečné v} { částečné x}} konec {zarovnáno}}}

Typicky u a proti jsou považovány za nemovitý a imaginární části respektive a komplex -hodnota funkce jedné komplexní proměnné z = X + iy, F(X + iy) = u(X,y) + iproti(X,y). Předpokládejme to u a proti jsou skutečné-rozlišitelný v bodě v otevřená podmnožina z ℂ, které lze považovat za funkce od ℝ² do ℝ. To znamená, že částečné deriváty u a proti existují (i když nemusí být spojité) a můžeme aproximovat malé variace F lineárně. Pak F = u + iproti je komplexní-rozlišitelný v tomto bodě právě tehdy, pokud jsou dílčí deriváty u a proti uspokojit Cauchy – Riemannovy rovnice (1a) a (1b) v tomto bodě. Samotná existence parciálních derivací splňujících Cauchy-Riemannovy rovnice nestačí k zajištění komplexní diferencovatelnosti v tomto bodě. To je nutné u a proti být skutečně diferencovatelné, což je silnější podmínka než existence parciálních derivací, ale obecně slabší než kontinuální diferencovatelnost.

Holomorphy je vlastnost komplexní funkce rozlišitelnosti v každém bodě otevřené a propojené podmnožiny ℂ (toto se nazývá a doména v ℂ). V důsledku toho můžeme tvrdit, že komplexní funkce F, jehož skutečné a imaginární části u a proti jsou skutečně rozlišitelné funkce, je holomorfní jestliže a pouze tehdy, jsou rovnice (1a) a (1b) v celém rozsahu splněny doména máme co do činění. Holomorfní funkce jsou analytické a naopak. To znamená, že při komplexní analýze je funkce, která je komplexně diferencovatelná v celé doméně (holomorfní), stejná jako analytická funkce. To neplatí pro skutečné rozlišitelné funkce.

Jednoduchý příklad

Předpokládejme to ${ displaystyle z = x + iy}$ . Funkce s komplexní hodnotou ${ displaystyle f (z) = z ^ {2}}$ je kdykoli odlišitelný $z$ v komplexní rovině.

{ displaystyle f (z) = (x + iy) ^ {2} = x ^ {2} -y ^ {2} + 2ixy}

Skutečná část ${ displaystyle u (x, y)}$ a imaginární část ${ displaystyle v (x, y)}$ jsou

{ displaystyle { begin {zarovnáno} u (x, y) & = x ^ {2} -y ^ {2} v (x, y) & = 2xy end {zarovnáno}}}

a jejich dílčí deriváty jsou

{ displaystyle u_ {x} = 2x; quad u_ {y} = - 2y; quad v_ {x} = 2y; quad v_ {y} = 2x}

Vidíme, že Cauchy-Riemannovy rovnice jsou skutečně splněny, ${ displaystyle u_ {x} = v_ {y}}$ a ${ displaystyle u_ {y} = - v_ {x}}$ .

Interpretace a přeformulování

Rovnice jsou jedním ze způsobů pohledu na podmínku funkce, která má být diferencovatelná ve smyslu komplexní analýza: jinými slovy zapouzdřují pojem funkce komplexní proměnné pomocí konvenčních diferenciální počet. V teorii existuje několik dalších hlavních způsobů pohledu na tuto představu a překlad podmínky do jiného jazyka je často nutný.

Konformní mapování

Nejprve mohou být Cauchy-Riemannovy rovnice psány ve složité formě

(2)

{ displaystyle {i { dfrac { částečné f} { částečné x}}} = { dfrac { částečné f} { částečné y}}.}

V této formě rovnice strukturálně odpovídají podmínce, že Jacobian matrix je ve formě

{ displaystyle { begin {pmatrix} a & -b b & ; ; a end {pmatrix}},}

kde ${ displaystyle a = částečné u / částečné x = částečné v / částečné y}$ a ${ displaystyle b = částečné v / částečné x = - částečné u / částečné y}$ . Maticí této formy je maticová reprezentace komplexního čísla. Geometricky je taková matice vždy složení a otáčení s škálování, a zejména zachovává úhly. Jakobián funkce F(z) vezme infinitezimální úsečky na křižovatce dvou křivek v z a otočí je na odpovídající segmenty v F(z). V důsledku toho funkce splňující Cauchy-Riemannovy rovnice s nenulovou derivací zachovává úhel mezi křivkami v rovině. To znamená, že Cauchy – Riemannovy rovnice jsou podmínkou pro fungování funkce konformní.

Navíc, protože složení konformní transformace s jinou konformní transformací je také konformní, musí složení řešení Cauchy – Riemannových rovnic s konformní mapou samo o sobě vyřešit Cauchy – Riemannovy rovnice. Cauchy-Riemannovy rovnice jsou tedy konformně invariantní.

Komplexní rozlišitelnost

Předpokládejme to

{ displaystyle f (z) = u (z) + i cdot v (z)}

je funkcí komplexního čísla ${ displaystyle z = x + iy}$ . Pak komplexní derivát ${ displaystyle f}$ v určitém okamžiku ${ displaystyle z_ {0}}$ je definováno

{ displaystyle lim _ { podmnožina {h in mathbb {C}} {h až 0}} { frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h }} = f '(z_ {0})}

pokud tento limit existuje.

Pokud tento limit existuje, lze jej vypočítat tak, že limit vezmeme jako ${ displaystyle h to 0}$ podél skutečné osy nebo imaginární osy; v obou případech by měl poskytnout stejný výsledek. Když se člověk přiblíží ke skutečné ose, najde

{ displaystyle lim _ { podmnožina {h in mathbb {R}} {h až 0}} { frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h }} = { frac { částečné f} { částečné x}} (z_ {0}).}

Na druhou stranu, blížící se podél imaginární osy,

{ displaystyle lim _ { podmnožina { eta in mathbb {R}} { eta na 0}} { frac {f (z_ {0} + i eta) -f (z_ {0} )} {i eta}} = { frac {1} {i}} { frac { částečný f} { částečný y}} (z_ {0}).}

Rovnost derivace F podél dvou os je

{ displaystyle i { frac { částečné f} { částečné x}} (z_ {0}) = { frac { částečné f} { částečné y}} (z_ {0}),}

což jsou Cauchy-Riemannovy rovnice (2) v boděz₀.

Naopak, pokud F : ℂ → ℂ je funkce, která je diferencovatelná, když je považována za funkci na ℝ², pak F je komplexně diferencovatelný právě tehdy, pokud platí Cauchy-Riemannovy rovnice. Jinými slovy, pokud u a v jsou skutečné rozlišitelné funkce dvou reálných proměnných, samozřejmě u + iv je (komplexně oceněná) skutečně diferencovatelná funkce, ale u + iv je komplexně diferencovatelný právě tehdy, pokud platí Cauchy-Riemannovy rovnice.

Ve skutečnosti, po Rudin (1966), předpokládejme F je komplexní funkce definovaná v otevřené množině Ω ⊂ ℂ. Pak, psaní z = X + iy pro každého z ∈ Ω, lze také považovat Ω za otevřenou podmnožinu ℝ², a F jako funkce dvou reálných proměnných X a y, který mapuje Ω ⊂ ℝ² do ℂ. Uvažujeme Cauchy-Riemannovy rovnice v z = z₀. Takže předpokládejme F je diferencovatelný v z₀, jako funkce dvou reálných proměnných od Ω do ℂ. To odpovídá existenci následující lineární aproximace

{ displaystyle f (z_ {0} + Delta z) -f (z_ {0}) = f_ {x} , Delta x + f_ {y} , Delta y + eta ( Delta z) , Delta z ,}

kde z = X + iy a η(Δz) → 0 jako Δz → 0. Od té doby ${ displaystyle Delta z + Delta { bar {z}} = 2 , Delta x}$ a ${ displaystyle Delta z- Delta { bar {z}} = 2i , Delta y}$ , výše lze přepsat jako

{ displaystyle Delta f (z_ {0}) = { frac {f_ {x} -if_ {y}} {2}} , Delta z + { frac {f_ {x} + if_ {y}} {2}} , Delta { bar {z}} + eta ( Delta z) , Delta z ,}

Definování dvou Wirtingerovy deriváty tak jako

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné z}} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné} { částečné x}} - i { frac { částečné} { částečné y}} pravé), ; ; ; { frac { částečné} { částečné { bar {z}}}} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné} { částečné x}} + i { frac { částečné} { částečné y}} vpravo),}

v limitu ${ displaystyle Delta z rightarrow 0, Delta { bar {z}} rightarrow 0}$ výše uvedená rovnost může být zapsána jako

{ displaystyle left. { frac {df} {dz}} right | _ {z = z_ {0}} = left. { frac { parciální f} { parciální z}} right | _ {z = z_ {0}} + vlevo. { frac { částečné f} { částečné { bar {z}}}} pravé | _ {z = z_ {0}} cdot { frac { d { bar {z}}} {dz}} + eta ( Delta z), ; ; ; ; ( Delta z neq 0).}

Nyní zvažte potenciální hodnoty ${ displaystyle d { bar {z}} / dz}$ když je limit přijat na počátku. Pro z podél skutečné linie, ${ displaystyle { bar {z}} = z}$ aby ${ displaystyle d { bar {z}} / dz = 1}$ . Podobně pro čistě imaginární z my máme ${ displaystyle d { bar {z}} / dz = -1}$ takže hodnota ${ displaystyle d { bar {z}} / dz}$ není v počátku dobře definována. Je snadné to ověřit ${ displaystyle d { bar {z}} / dz}$ není v žádném komplexu dobře definována z, proto F je komplexně diferencovatelný v z₀ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle left ( částečný f / částečný { bar {z}} pravý) = 0}$ na ${ displaystyle z = z_ {0}}$ . Ale toto je přesně Cauchy – Riemannova rovnice F je diferencovatelný v z₀ právě když Cauchy – Riemannovy rovnice držíz₀.

Nezávislost komplexního konjugátu

Výše uvedený důkaz naznačuje další interpretaci Cauchy-Riemannových rovnic. The komplexní konjugát z z, označeno ${ displaystyle { bar {z}}}$ , je definováno

{ displaystyle { overline {x + iy}}: = x-iy}

opravdu X a y. Cauchy-Riemannovy rovnice lze potom zapsat jako jednu rovnici

(3)

{ displaystyle { dfrac { částečné f} { částečné { bar {z}}}} = 0}

pomocí Wirtingerova derivace s ohledem na konjugovanou proměnnou. V této formě lze Cauchy-Riemannovy rovnice interpretovat jako tvrzení, že F je nezávislý na proměnné ${ displaystyle { bar {z}}}$ . Proto můžeme analytické funkce považovat za skutečné funkce jeden komplexní proměnná na rozdíl od složitých funkcí dva reálné proměnné.

Fyzická interpretace

Obrysový graf páru u a proti splnění Cauchy-Riemannovy rovnice. Zjednodušuje (proti = const, red) jsou kolmé na ekvipotenciály (u = const, modrá). Bod (0,0) je stacionární bod potenciálního toku, kde se setkává šest proudnic, a šest ekvipotenciálů také splňuje a rozděluje úhly tvořené proudnicemi.

Standardní fyzikální interpretace Cauchy-Riemannova rovnic sahající až k Riemannově práci na teorii funkcí (viz Klein 1893 ) je to u představuje a rychlostní potenciál nestlačitelného stálý tok tekutin v letadle a proti je jeho funkce streamu. Předpokládejme, že dvojice (dvakrát spojitě diferencovatelných) funkcí ${ displaystyle u, v}$ splňuje Cauchy-Riemannovy rovnice. Vezmeme u být potenciálem rychlosti, což znamená, že si představujeme tok tekutiny v rovině tak, že vektor rychlosti tekutiny v každém bodě roviny se rovná spád z u, definován

{ displaystyle nabla u = { frac { částečné u} { částečné x}} mathbf {i} + { frac { částečné u} { částečné y}} mathbf {j}}

Jeden to ukazuje tím, že podruhé diferencuje Cauchy-Riemannovy rovnice u řeší Laplaceova rovnice:

{ displaystyle { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} u} { částečné y ^ {2}}} = 0 .}

To znamená u je harmonická funkce. To znamená, že divergence gradientu je nula, takže tekutina je nestlačitelná.

Funkce proti také splňuje Laplaceovu rovnici podobnou analýzou. Rovnice Cauchy – Riemann také naznačují, že Tečkovaný produkt ${ displaystyle nabla u cdot nabla v = 0}$ . To znamená, že gradient u musí ukazovat podél ${ displaystyle v = { text {const}}}$ křivky; tak to jsou zefektivňuje toku. The ${ displaystyle u = { text {const}}}$ křivky jsou ekvipotenciální křivky toku.

Holomorfní funkci lze proto vizualizovat vykreslením dvou rodin křivky úrovně ${ displaystyle u = { text {const}}}$ a ${ displaystyle v = { text {const}}}$ . Blízké body, kde je gradient u (nebo ekvivalentně proti) není nula, tyto rodiny tvoří ortogonální rodina křivek. V místech, kde ${ displaystyle nabla u = 0}$ , stacionární body toku, ekvipotenciální křivky ${ displaystyle u = { text {const}}}$ protínají. Proudy se také protínají ve stejném bodě a rozdělují úhly tvořené ekvipotenciálními křivkami.

Harmonické vektorové pole

Další interpretaci Cauchy-Riemannových rovnic lze nalézt v Pólya & Szegő (1978). Předpokládejme to u a proti uspokojit Cauchy-Riemannovy rovnice v otevřené podmnožině ℝ², a zvážit vektorové pole

{ displaystyle { bar {f}} = { begin {bmatrix} u - v end {bmatrix}}}

považován za (skutečný) dvousložkový vektor. Potom to tvrdí druhá Cauchy-Riemannova rovnice (1b) ${ displaystyle { bar {f}}}$ je irrotační (své kučera je 0):

{ displaystyle { frac { částečné (-v)} { částečné x}} - { frac { částečné u} { částečné y}} = 0.}

První Cauchy-Riemannova rovnice (1a) tvrdí, že vektorové pole je solenoidní (nebo divergence -volný, uvolnit):

{ displaystyle { frac { částečné u} { částečné x}} + { frac { částečné (-v)} { částečné y}} = 0.}

Vzhledem k příslušně Greenova věta a věta o divergenci, takové pole je nutně a konzervativní jeden a je prostý zdrojů nebo propadů, jejichž čistý tok se rovná nule skrz jakoukoli otevřenou doménu bez děr. (Tato dvě pozorování se v sobě spojují jako skutečná a imaginární část Cauchyho integrální věta.) V dynamika tekutin, takové vektorové pole je a potenciální tok (Chanson 2007 ). v magnetostatika, taková vektorová pole modelují statický magnetické pole v oblasti roviny neobsahující žádný proud. v elektrostatika, modelují statická elektrická pole v oblasti roviny bez elektrického náboje.

Tuto interpretaci lze ekvivalentně zopakovat v jazyce diferenciální formy. Dvojice u,proti uspokojit Cauchy-Riemannovy rovnice právě tehdy, když jeden formulář ${ displaystyle v , dx + u , dy}$ je obojí Zavřeno a zakryté (A harmonická diferenciální forma ).

Zachování složité struktury

Další formulace Cauchy-Riemannovy rovnice zahrnuje složitá struktura v rovině, dané

{ displaystyle J = { begin {bmatrix} 0 & -1 1 & 0 end {bmatrix}}.}

Jedná se o složitou strukturu ve smyslu čtverce J je zápor matice identity 2 × 2: ${ displaystyle J ^ {2} = - I}$ . Jak je uvedeno výše, pokud u(X,y),proti(X,y) jsou dvě funkce v rovině, řečeno

{ displaystyle f (x, y) = { begin {bmatrix} u (x, y) v (x, y) end {bmatrix}}.}

The Jacobian matrix z F je matice parciálních derivací

{ displaystyle Df (x, y) = { begin {bmatrix} { dfrac { částečné u} { částečné x}} & { dfrac { částečné u} { částečné y}} [5 bodů] { dfrac { částečné v} { částečné x}} & { dfrac { částečné v} { částečné y}} konec {bmatrix}}}

Pak dvojice funkcí u, proti splňuje Cauchy-Riemannovy rovnice právě tehdy, když je matice 2 × 2 Df dojíždí s J (Kobayashi & Nomizu 1969, Návrh IX.2.2)

Tato interpretace je užitečná v symplektická geometrie, kde je výchozím bodem pro studium pseudoholomorfní křivky.

Další zastoupení

Další reprezentace Cauchy-Riemannovy rovnice občas vznikají v jiných souřadnicové systémy. Pokud (1a) a (1b) platí pro rozlišitelnou dvojici funkcí u a proti, tak to udělejte

{ displaystyle { frac { částečné u} { částečné n}} = { frac { částečné v} { částečné s}}, quad { frac { částečné v} { částečné n}} = - { frac { částečné u} { částečné s}}}

pro jakýkoli souřadnicový systém (n(X, y), s(X, y)) takové, že dvojice (∇n, ∇s) je ortonormální a pozitivně orientovaný. V důsledku toho zejména v systému souřadnic daných polárním znázorněním z = r E^iθ, rovnice pak mají podobu

{ displaystyle { částečné u nad částečné r} = {1 nad r} { částečné v přes částečné theta}, quad { částečné v přes částečné r} = - {1 přes r} { částečné u nad částečné theta}.}

Kombinace těchto do jedné rovnice pro F dává

{ displaystyle { částečné f nad částečné r} = {1 nad ir} { částečné f nad částečné theta}.}

Nehomogenní Cauchy-Riemannovy rovnice se skládají ze dvou rovnic pro dvojici neznámých funkcí u(X,y) a proti(X,y) dvou reálných proměnných

{ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečné u} { částečné x}} - { frac { částečné v} { částečné y}} & = alpha (x, y) [ 4pt] { frac { částečné u} { částečné y}} + { frac { částečné v} { částečné x}} & = beta (x, y) end {zarovnáno}}}

pro některé dané funkce α (X,y) a β (X,y) definované v otevřené podmnožině ℝ². Tyto rovnice jsou obvykle spojeny do jedné rovnice

{ displaystyle { frac { částečné f} { částečné { bar {z}}}} = varphi (z, { bar {z}})}

kde F = u + iproti a φ = (α + iβ)/2.

Li φ je C^k, pak je nehomogenní rovnice výslovně řešitelná v jakékoli ohraničené doméně D, za předpokladu φ je kontinuální na uzavření z D. Opravdu tím Cauchyho integrální vzorec,

{ displaystyle f left ( zeta, { bar { zeta}} right) = { frac {1} {2 pi i}} iint _ {D} varphi left (z, { lišta {z}} vpravo) , { frac {dz klín d { bar {z}}} {z- zeta}}}

pro všechny ζ ∈ D.

Zobecnění

Goursatova věta a její zobecnění

Předpokládejme to F = u + iproti je komplexní funkce, která je rozlišitelný jako funkce F : ℝ² → ℝ². Pak Goursat věta tvrdí to F je analytický v otevřené komplexní doméně Ω právě tehdy, pokud splňuje Cauchy-Riemannovu rovnici v doméně (Rudin 1966, Věta 11.2). Zejména nepřetržitá rozlišitelnost F není třeba předpokládat (Dieudonné 1969, §9.10, př. 1).

Hypotézy Goursatovy věty mohou být významně oslabeny. Li F = u + iproti je spojitá v otevřené množině Ω a částečné derivace z F s ohledem na X a y existují v Ω a uspokojí tedy Cauchy – Riemannovy rovnice v celém Ω F je holomorfní (a tedy analytický). Tento výsledek je Looman – Menchoffova věta.

Hypotéza, že F dodržovat Cauchy-Riemannovy rovnice v celé doméně Ω je zásadní. Je možné sestrojit spojitou funkci splňující Cauchy-Riemannovy rovnice v bodě, která však v bodě není analytická (např. F(z) = z⁵ / | z |⁴). Podobně je zapotřebí kromě Cauchy-Riemannových rovnic (například kontinuity) ještě nějaký další předpoklad, jak ukazuje následující příklad (Looman 1923, str. 107)

{ displaystyle f (z) = { begin {cases} exp left (-z ^ {- 4} right) & { text {if}} z not = 0 0 & { text {if }} z = 0 end {cases}}}

který splňuje Cauchyho-Riemannovy rovnice všude, ale nedokáže být spojitý v z = 0.

Pokud však funkce splňuje Cauchy-Riemannovy rovnice v otevřené množině v a slabý smysl, pak je funkce analytická. Přesněji (Gray & Morris 1978, Věta 9):

Li F(z) je lokálně integrovatelný v otevřené doméně Ω ⊂ ℂ a slabě splňuje Cauchy-Riemannovy rovnice, pak F souhlasí téměř všude s analytickou funkcí v Ω.

Toto je ve skutečnosti zvláštní případ obecnějšího výsledku pravidelnosti řešení hypoelliptický parciální diferenciální rovnice.

Několik proměnných

V teorii existují příslušně zobecněné Cauchy-Riemannovy rovnice několik složitých proměnných. Tvoří významné předurčený systém PDE. To se děje pomocí přímé generalizace Wirtingerův derivát, kde je požadováno, aby příslušná funkce měla (částečnou) Wirtingerovu derivaci s ohledem na každou komplexní proměnnou zmizet.

Složité diferenciální formy

Jak je často formulováno, operátor d-bar

{ displaystyle { bar { částečné}}}

ničí holomorfní funkce. To nejpříměji zobecňuje formulaci

{ displaystyle { parciální f nad parciální { bar {z}}} = 0,}

kde

{ displaystyle { částečné f nad částečné { bar {z}}} = {1 nad 2} vlevo ({ částečné f přes částečné x} + i { částečné f přes částečné y }že jo).}

Bäcklundova transformace

Zobrazeno jako konjugovat harmonické funkce, Cauchy-Riemannovy rovnice jsou jednoduchým příkladem a Bäcklundova transformace. Složitější, obecně nelineární Bäcklundovy transformace, jako například v sine-Gordonova rovnice, mají velký zájem o teorii solitony a integrovatelné systémy.

Definice v Cliffordově algebře

v Cliffordova algebra komplexní číslo ${ displaystyle z = x + iy}$ je reprezentován jako ${ displaystyle z equiv x + Iy}$ kde ${ displaystyle I equiv sigma _ {1} sigma _ {2}}$ . Základní derivační operátor v Cliffordově algebře z Složitá čísla je definován jako ${ displaystyle nabla equiv sigma _ {1} částečné _ {x} + sigma _ {2} částečné _ {y}}$ . Funkce ${ displaystyle f = u + Iv}$ je považována za analytickou právě tehdy, když ${ displaystyle nabla f = 0}$ , které lze vypočítat následujícím způsobem:

{ displaystyle { begin {aligned} 0 & = nabla f = ( sigma _ {1} částečné _ {x} + sigma _ {2} částečné _ {y}) (u + sigma _ {1} sigma _ {2} v) [4pt] & = sigma _ {1} částečné _ {x} u + underbrace { sigma _ {1} sigma _ {1} sigma _ {2}} _ {= sigma _ {2}} částečné _ {x} v + sigma _ {2} částečné _ {y} u + podprsenka { sigma _ {2} sigma _ {1} sigma _ {2 }} _ {= - sigma _ {1}} částečné _ {y} v = 0 konec {zarovnáno}}}

Seskupení podle ${ displaystyle sigma _ {1}}$ a ${ displaystyle sigma _ {2}}$ :

{ displaystyle nabla f = sigma _ {1} ( částečné _ {x} u- částečné _ {y} v) + sigma _ {2} ( částečné _ {x} v + částečné _ {y } u) = 0 Leftrightarrow { begin {cases} částečné _ {x} u- částečné _ {y} v = 0 [4pt] částečné _ {x} v + částečné _ {y} u = 0 end {cases}}}

Od nynějška v tradiční notaci:

{ displaystyle { begin {cases} { dfrac { částečné u} { částečné x}} = { dfrac { částečné v} { částečné y}} [12pt] { dfrac { částečné u } { částečné y}} = - { dfrac { částečné v} { částečné x}} konec {případů}}}

Konformní mapování ve vyšších dimenzích

Nechť Ω je otevřená množina v euklidovském prostoru ℝⁿ. Rovnice pro mapování zachovávající orientaci ${ displaystyle f: Omega to mathbb {R} ^ {n}}$ být a konformní mapování (tj. zachování úhlu)

{ displaystyle Df ^ { mathsf {T}} Df = ( det (Df)) ^ {2 / n} I}

kde Df je jakobiánská matice s transpozicí ${ displaystyle Df ^ { mathsf {T}}}$ , a Já označuje matici identity (Iwaniec & Martin 2001, str. 32). Pro $n = 2$ , tento systém je ekvivalentní se standardními Cauchy-Riemannovými rovnicemi komplexních proměnných a řešením jsou holomorfní funkce. V dimenzi $n > 2$ , toto je ještě někdy nazýváno Cauchy-Riemannovým systémem a Liouvilleova věta znamená, za předpokladu vhodných předpokladů plynulosti, že každé takové mapování je a Möbiova transformace.

Viz také

Reference

Ahlfors, Larsi (1953), Složitá analýza (3. vyd.), McGraw Hill (publikováno 1979), ISBN 0-07-000657-1.
d'Alembert, Jean (1752), Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides, Paříž.
Cauchy, Augustin L. (1814), Mémoire sur les intégrales définies, Oeuvres doplňuje ser. 1, 1, Paříž (publikováno 1882), str. 319–506
Chanson, H. (2007), „Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange.“ ('Potenciál rychlosti v reálných tokech tekutin: příspěvek Josepha-Louise Lagrangeova.') ", Časopis La Houille Blanche, 5: 127–131, doi:10,1051 / lhb: 2007072, ISSN 0018-6368.
Dieudonné, Jean Alexandre (1969), Základy moderní analýzy, Academic Press.
Euler, Leonhard (1797), „Ulterior disquisitio de formulis integratedibus imaginariis“, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 10: 3–19
Gray, J. D .; Morris, S. A. (1978), „Kdy je funkce, která vyhovuje analytické rovnici Cauchy-Riemannovy rovnice?“, Americký matematický měsíčník (publikováno v dubnu 1978), 85 (4): 246–256, doi:10.2307/2321164, JSTOR 2321164.
Klein, Felix (1893), K Riemannově teorii algebraických funkcí a jejich integrálů, Cambridge: MacMillan a Bowes; přeložila Frances Hardcastle.
Iwaniec, T; Martin, G (2001), Teorie geometrických funkcí a nelineární analýza, Oxford.
Looman, H. (1923), „Über die Cauchy – Riemannschen Differentialgleichungen“, Göttinger Nachrichten: 97–108.
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969), Základy diferenciální geometrie, svazek 2Wiley.
Pólya, Georgi; Szegő, Gábor (1978), Problémy a věty v analýze ISpringer, ISBN 3-540-63640-4
Riemann, Bernhard (1851), „Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse“, in H. Weber (ed.), Riemannova gesammelte matematika. Werke, Dover (publikováno 1953), s. 3–48
Rudin, Walter (1966), Skutečná a komplexní analýza (3. vyd.), McGraw Hill (publikováno 1987), ISBN 0-07-054234-1.
Solomentsev, E.D. (2001) [1994], „Cauchy – Riemannovy podmínky“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Stewart, Iane; Vysoký, David (1983), Komplexní analýza (1. vyd.), CUP (publikováno 1984), ISBN 0-521-28763-4.