Pseudoholomorfní křivka - Pseudoholomorphic curve

v matematika, konkrétně v topologie a geometrie, a pseudoholomorfní křivka (nebo J-holomorfní křivka) je hladká mapa od a Riemannův povrch do téměř složité potrubí který uspokojuje Cauchy – Riemannova rovnice. Představený v roce 1985 Michail Gromov, pseudoholomorfní křivky od té doby revoluci ve studiu symplektická potrubí. Zejména vedou k Gromov – Wittenovy invarianty a Homologie Floer a hrají významnou roli v teorie strun.

Definice

Nechat ${ displaystyle X}$ být téměř složitým potrubím s téměř složitou strukturou ${ displaystyle J}$. Nechat ${ displaystyle C}$ být hladký Riemannův povrch (také nazývaný a složitá křivka ) se složitou strukturou ${ displaystyle j}$. A pseudoholomorfní křivka v ${ displaystyle X}$ je mapa ${ displaystyle f: C až X}$ který splňuje Cauchy-Riemannovu rovnici

${ displaystyle { bar { částečné}} _ {j, J} f: = { frac {1} {2}} (df + J circ df circ j) = 0.}$

Od té doby ${ displaystyle J ^ {2} = - 1}$, tato podmínka je ekvivalentní k

${ Displaystyle J Circ df = df Circ j,}$

což jednoduše znamená, že rozdíl ${ displaystyle df}$ je komplexně lineární, to znamená, ${ displaystyle J}$ mapuje každý tečný prostor

${ displaystyle T_ {x} f (C) subseteq T_ {x} X}$

pro sebe. Z technických důvodů je často vhodnější zavést nějaký nehomogenní výraz ${ displaystyle nu}$ a studovat mapy splňující narušenou Cauchy-Riemannovu rovnici

${ displaystyle { bar { částečné}} _ {j, J} f = nu.}$

Pseudoholomorfní křivku splňující tuto rovnici lze nazvat konkrétněji a ${ displaystyle (j, J, nu)}$-holomorfní křivka. Porucha ${ displaystyle nu}$ se někdy předpokládá, že je generován a Hamiltonian (zejména v Floerově teorii), ale obecně to tak nemusí být.

Pseudoholomorfní křivka je ze své definice vždy parametrizována. V aplikacích se člověk často skutečně zajímá o neparametrizované křivky, což znamená vložené (nebo ponořené) dvě podmanifoldy ${ displaystyle X}$, takže jeden odchází reparametrizací domény, která zachová příslušnou strukturu. Například v případě invariantů Gromov – Witten uvažujeme pouze Zavřeno domén ${ displaystyle C}$ stálého rodu ${ displaystyle g}$ a představujeme ${ displaystyle n}$ označené body (nebo propíchnutí) zapnuto ${ displaystyle C}$. Jakmile se prorazí Eulerova charakteristika ${ displaystyle 2-2g-n}$ je negativní, existuje pouze konečně mnoho holomorfních reparametrizací ${ displaystyle C}$ které zachovávají označené body. Křivka domény ${ displaystyle C}$ je prvkem Deligne – Mumfordův modul prostor křivek.

Analogie s klasickými Cauchy-Riemannovými rovnicemi

Klasický případ nastane, když ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle C}$ jsou oba jednoduše komplexní číslo letadlo. Ve skutečných souřadnicích

${ displaystyle j = J = { begin {bmatrix} 0 & -1 1 & 0 end {bmatrix}},}$

a

${ displaystyle df = { begin {bmatrix} du / dx & du / dy dv / dx & dv / dy end {bmatrix}},}$

kde ${ displaystyle f (x, y) = (u (x, y), v (x, y))}$. Po vynásobení těchto matic ve dvou různých řádech člověk okamžitě vidí, že rovnice

${ Displaystyle J Circ df = df Circ j}$

výše je ekvivalentní klasickým Cauchy-Riemannovým rovnicím

${ displaystyle { begin {cases} du / dx = dv / dy dv / dx = -du / dy. end {cases}}}$

Aplikace v symplektické topologii

I když je lze definovat pro jakýkoli téměř složitý variet, pseudoholomorfní křivky jsou obzvláště zajímavé, když ${ displaystyle J}$ interaguje s a symlektická forma ${ displaystyle omega}$. Téměř složitá struktura ${ displaystyle J}$ se říká, že je ${ displaystyle omega}$-krotit kdyby a jen kdyby

${ displaystyle omega (v, Jv)> 0}$

pro všechny nenulové tangenciální vektory ${ displaystyle v}$. Zkrocení znamená, že vzorec

${ displaystyle (v, w) = { frac {1} {2}} vlevo ( omega (v, Jw) + omega (w, Jv) vpravo)}$

definuje a Riemannova metrika na ${ displaystyle X}$. Gromov to ukázal ${ displaystyle omega}$, prostor ${ displaystyle omega}$-krotit ${ displaystyle J}$ je neprázdné a smluvní. Tuto teorii použil k prokázání věta o nestlačení týkající se symplektických vložení koulí do válců.

Gromov to ukázal jistý modulové prostory pseudoholomorfních křivek (splňujících další stanovené podmínky) jsou kompaktní, a popsal způsob, jakým mohou pseudoholomorfní křivky degenerovat, když se předpokládá pouze konečná energie. (Podmínka konečné energie platí zejména pro křivky s pevnou třídou homologie v symplektickém potrubí, kde J je ${ displaystyle omega}$-krotit nebo ${ displaystyle omega}$-kompatibilní). Tento Gromovova věta o kompaktnosti, nyní velmi zobecněný pomocí stabilní mapy, umožňuje definici Gromov – Wittenových invariantů, které počítají pseudoholomorfní křivky v symplektických varietách.

Ke konstrukci se také používají kompaktní prostory modulů pseudoholomorfních křivek Homologie Floer, který Andreas Floer (a pozdější autoři obecněji) dokazovali slavnou domněnku Vladimir Arnol'd o počtu pevných bodů Hamiltonovské toky.

Aplikace ve fyzice

V teorii řetězců typu II se uvažuje o povrchech vysledovaných řetězci, které se pohybují po cestách v a Calabi – Yau 3krát. V návaznosti na cesta integrální formulace z kvantová mechanika, jeden si přeje vypočítat určité integrály v prostoru všech těchto povrchů. Protože takový prostor je nekonečně rozměrný, nejsou tyto integrály cest obecně matematicky dobře definovány. Nicméně pod Zvrat lze odvodit, že povrchy jsou parametrizovány pseudoholomorfními křivkami, a tak se integrály cesty redukují na integrály přes modulové prostory pseudoholomorfních křivek (nebo spíše stabilních map), které jsou konečně trojrozměrné. Například v teorii řetězců IIA uzavřeného typu jsou tyto integrály přesně tím Gromov – Wittenovy invarianty.

Viz také

• Holomorfní křivka

Reference

• Dusa McDuff a Dietmar Salamon, J-holomorfní křivky a symmplektická topologiePublikace kolokvia Americké matematické společnosti, 2004. ISBN  0-8218-3485-1.
• Michail Leonidovič Gromov, Pseudo holomorfní křivky v symplektických varietách. Inventiones Mathematicae sv. 82, 1985, str. 307-347.
• Donaldson, Simon K. (Říjen 2005). „Co je to ... pseudoholomorfní křivka?“ (PDF ). Oznámení Americké matematické společnosti. 52 (9): 1026–1027. Citováno 2008-01-17.