Schwarzovo lema - Schwarz lemma
Matematická analýza → Složitá analýza |
Složitá analýza |
---|
![]() |
Složitá čísla |
Složité funkce |
Základní teorie |
Teorie geometrických funkcí |
Lidé |
|
v matematika, Schwarzovo lema, pojmenoval podle Hermann Amandus Schwarz, je výsledkem v komplexní analýza o holomorfní funkce z otevřeno jednotka disku pro sebe. Lema je oslavována méně než silnější věty, například Riemannova věta o mapování, což pomáhá dokázat. Je to však jeden z nejjednodušších výsledků zachycujících tuhost holomorfních funkcí.
Tvrzení
Schwarz Lemma. Nechat být otevřený jednotka disku v složité letadlo soustředěný na původ a nechte být holomorfní mapa takhle a na .
Pak, a .
Navíc pokud pro některé nenulové nebo , pak pro některé s .[1]
Důkaz
Důkazem je přímá aplikace princip maximálního modulu na funkci
který je holomorfní na celém D, včetně původu (protože F je diferencovatelný v počátku a opravuje nulu). Teď když Dr = {z : |z| ≤ r} označuje uzavřený disk o poloměru r soustředěný na počátek, pak princip maximálního modulu znamená, že pro r <1, vzhledem k jakékoli z v Dr, tady existuje zr na hranici Dr takhle
Tak jako dostaneme .
Navíc předpokládejme, že |F(z)| = |z| pro některé nenulové z v D, nebo |F'(0) | = 1. Potom, |G(z) | = 1 v určitém okamžiku D. Takže podle principu maximálního modulu G(z) se rovná konstantě A takové, že |A| = 1. Proto, F(z) = az, podle přání.
Schwarz – Pickova věta
Varianta Schwarzova lemmatu, známá jako Schwarz – Pickova věta (po Georg Pick ), charakterizuje analytické automorfismy disku jednotky, tj. bijektivní holomorfní mapování disku jednotky k sobě:
Nechat F : D → D být holomorfní. Pak pro všechny z1, z2 ∈ D,
a pro všechny z ∈ D,
Výraz
je vzdálenost bodů z1, z2 v Poincarého metrika, tj. metrika v modelu disku Poincaré pro hyperbolická geometrie v dimenzi dva. Schwarz – Pickova věta pak v podstatě uvádí, že holomorfní mapa disku jednotky do sebe klesá vzdálenost bodů v Poincarého metrice. Pokud rovnost platí po celou dobu v jedné ze dvou nerovností výše (což je ekvivalentní tvrzení, že holomorfní mapa zachovává vzdálenost v Poincarého metrice), pak F musí být analytický automorfismus disku jednotky, daný a Möbiova transformace mapování disku jednotky na sebe.
Obdobné prohlášení o horní polorovina H lze provést následovně:
Nechat F : H → H být holomorfní. Pak pro všechny z1, z2 ∈ H,
To je snadný důsledek výše uvedené Schwarz – Pickovy věty: Je třeba si jen pamatovat, že Cayleyova transformace Ž(z) = (z − i)/(z + i) mapuje horní polorovinu H na disk jednotkyD. Pak mapa Ž ÓF ÓŽ−1 je holomorfní mapa z D naD. Použití věty Schwarz – Pick na této mapě a nakonec zjednodušení výsledků pomocí vzorce pro Ž, získáme požadovaný výsledek. Také pro všechny z ∈ H,
Pokud platí rovnost pro jeden nebo druhý výraz, pak F musí být Möbiova transformace se skutečnými koeficienty. To znamená, že pokud platí rovnost, pak
s A, b, C, d ∈ R, a inzerát − před naším letopočtem > 0.
Důkaz Schwarz – Pickovy věty
Důkaz Schwarz – Pickovy věty vyplývá ze Schwarzova lematu a ze skutečnosti, že a Möbiova transformace formuláře
mapuje kruh jednotky na sebe. Opravit z1 a definovat Möbiovy transformace
Od té doby M(z1) = 0 a Möbiova transformace je invertibilní, složení φ (F(M−1(z))) mapuje 0 až 0 a disk jednotky je mapován do sebe. Můžeme tedy použít Schwarzovo lemma, to znamená
Právě volám z2 = M−1(z) (který bude stále na disku jednotky) přináší požadovaný závěr
Abychom dokázali druhou část věty, uspořádáme levou stranu do rozdílového kvocientu a necháme z2 mají tendenci z1.
The Schwarz – Ahlfors – Pickova věta poskytuje analogickou větu o hyperbolických varietách.
De Brangesova věta, dříve známý jako Bieberbachova domněnka, je důležitým rozšířením lemmatu, které omezuje vyšší deriváty F v případě 0 F je injekční; to je jednomocný.
The Koebeho věta 1/4 poskytuje související odhad v případě, že F je univalentní.
Reference
- ^ Věta 5,34 palce Rodriguez, Jane P. Gilman, Irwin Kra, Rubi E. (2007). Komplexní analýza: v duchu Lipman Bers ([Online] ed.). New York: Springer. p. 95. ISBN 978-0-387-74714-9.
- Jurgen Jost, Kompaktní povrchy Riemann (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (Viz část 2.3)
- S. Dineen (1989). Schwarz Lemma. Oxford. ISBN 0-19-853571-6.
Tento článek obsahuje materiál ze Schwarzova lemmatu PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.