Wirtingerovy deriváty - Wirtinger derivatives
v komplexní analýza jednoho a několik složitých proměnných, Wirtingerovy deriváty (někdy také nazývané Operátoři Wirtinger[1]), pojmenoval podle Wilhelm Wirtinger který je představil v roce 1927 v průběhu studia na teorie funkcí několika komplexních proměnných, jsou operátory částečných diferenciálů prvního řádu, které se chovají velmi podobně jako běžné deriváty s ohledem na jednoho skutečná proměnná, pokud se použije na holomorfní funkce, antiholomorfní funkce nebo jednoduše diferencovatelné funkce na složité domény. Tito provozovatelé povolují stavbu a diferenciální počet pro takové funkce, které jsou zcela analogické s běžným diferenciálním počtem pro funkce reálných proměnných.[2]
Historické poznámky
Počátky (1899–1911): dílo Henriho Poincarého
Wirtingerovy deriváty byly použity v komplexní analýza alespoň v novinách (Poincaré 1899 ), jak stručně poznamenal Cherry & Ye (2001, str. 31) a do Remmert (1991, s. 66–67).[3] Ve třetím odstavci jeho článku z roku 1899 ve skutečnosti[4] Henri Poincaré nejprve definuje komplexní proměnná v a jeho komplexní konjugát jak následuje
Poté napíše rovnici definující funkce volá biharmonique,[5] dříve napsáno pomocí částečné derivace s respektem k nemovitý proměnné s v rozmezí od 1 do , přesně následujícím způsobem[6]
To znamená, že implicitně použil definice 2 níže: k tomu stačí porovnat rovnice 2 a 2 'z (Poincaré 1899, str. 112). Zdá se, že tento dokument si nevšimli první badatelé v EU teorie funkcí několika komplexních proměnných: v novinách Levi-Civita (1905), Levi (1910) (a Levi 1911 ) a Amoroso (1912) vše zásadní operátory částečných diferenciálů teorie jsou vyjádřeny přímo pomocí částečné derivace respekt k nemovitý a imaginární části z komplexní proměnné zapojen. V dlouhém průzkumném příspěvku od Osgood (1966) (poprvé publikováno v roce 1913),[7] částečné derivace s ohledem na každého komplexní proměnná a holomorfní funkce několika komplexních proměnných se zdá být míněn jako formální deriváty: ve skutečnosti kdy Osgood vyjádřit pluriharmonický operátor[8] a Operátor Levi, řídí se zavedenou praxí Amoroso, Levi a Levi-Civita.
Práce Dimitrie Pompeiu v letech 1912 a 1913: nová formulace
Podle Henrici (1993, str. 294), byl učiněn nový krok v definici pojmu Dimitrie Pompeiu: v novinách (Pompeiu 1912 ), daný a komplex oceněn diferencovatelná funkce (ve smyslu skutečná analýza ) jednoho komplexní proměnná definované v sousedství daného směřovat definuje areolární derivát jako následující omezit
kde je hranice a disk poloměru zcela obsažené v doména definice z tj. jeho ohraničení kruh.[9] Jedná se evidentně o alternativní definici Wirtingerovy derivační úcty k komplexní konjugát proměnná:[10] je to obecnější, protože, jak poznamenal Henrici (1993, str. 294), limit může existovat pro funkce, které nejsou rovnoměrné rozlišitelný na [11] Podle Fichera (1969, str. 28), první identifikovat areolární derivát jako slabý derivát v smysl pro Soboleva byl Ilia Vekua.[12] Ve svém následujícím příspěvku Pompeiu (1913) používá tento nově definovaný koncept k zavedení svého zobecnění Cauchyho integrální vzorec, nyní volal Cauchy – Pompeiuův vzorec.
Práce Wilhelma Wirtingera
První systematické zavedení Wirtingerových derivátů se zdá být kvůli Wilhelm Wirtinger v novinách Wirtinger 1926 za účelem zjednodušení výpočtu množství vyskytujících se v teorie funkcí několika komplexních proměnných: v důsledku zavedení těchto diferenciální operátory, forma všech diferenciálních operátorů běžně používaných v teorii, jako je Operátor Levi a Cauchy – Riemannův operátor, je podstatně zjednodušena a následně lépe zpracována. Příspěvek je záměrně psán z formálního hlediska, tj. Bez důsledného odvození odvozených vlastností.
Formální definice
Přes jejich všudypřítomné použití[13] zdá se, že neexistuje žádný text, který by uváděl všechny vlastnosti Wirtingerových derivátů: krátkým kurzem jsou však poměrně úplné odkazy vícerozměrná komplexní analýza podle Andreotti (1976, s. 3–5),[14] the monografie z Gunning & Rossi (1965, s. 3–6),[15] a monografie Kaup a Kaup (1983, str. 2,4)[16] které jsou použity jako obecné odkazy v této a následujících částech.
Funkce jedné komplexní proměnné
Definice 1. Zvažte složité letadlo Wirtingerovy deriváty jsou definovány následovně lineární operátory částečných diferenciálů prvního řádu:
Je zřejmé, že přirozené doména definice těchto parciálních diferenciálních operátorů je prostor funkce na doména ale protože tito operátoři jsou lineární a mít konstantní koeficienty, lze je snadno rozšířit na všechny prostor z zobecněné funkce.
Funkce n > 1 komplexní proměnná
Definice 2. Zvažte euklidovský prostor na komplexní pole Wirtingerovy deriváty jsou definovány následovně lineární operátory částečných diferenciálů prvního řádu:
Pokud jde o Wirtingerovy deriváty pro funkce jedné komplexní proměnné, přirozené doména definice těchto parciálních diferenciálních operátorů je opět prostorem funkce na doména a znovu, protože tito operátoři jsou lineární a mít konstantní koeficienty, lze je snadno rozšířit na všechny prostor z zobecněné funkce.
Základní vlastnosti
V této a následujících částech se předpokládá, že je komplexní vektor a to kde jsou skutečné vektory, s n ≥ 1: také se předpokládá, že podmnožina lze považovat za doména v nemovitý euklidovský prostor nebo v jeho izomorfní komplex protějšek Všechny důkazy jsou snadnými důsledky definice 1 a definice 2 a odpovídající vlastnosti deriváty (obyčejný nebo částečný ).
Linearita
Lemma 1. Li a jsou komplexní čísla, pak pro platí následující rovnosti
Pravidlo produktu
Lemma 2. Li pak pro the produktové pravidlo drží
Tato vlastnost naznačuje, že Wirtingerovy deriváty jsou derivace z abstraktní algebra úhlu pohledu, přesně jako obyčejný deriváty jsou.
Řetězové pravidlo
Tato vlastnost má pro funkce jedné a dvě různé formy několik složitých proměnných: pro n > 1 případ, k vyjádření řetězové pravidlo v celé své obecnosti je třeba zvážit dva domén a a dva mapy a mít přirozené hladkost požadavky.[17]
Funkce jedné komplexní proměnné
Lemma 3.1 Li a pak řetězové pravidlo drží
Funkce n > 1 komplexní proměnná
Lemma 3.2 Li a pak pro následující forma řetězové pravidlo drží
Časování
Lemma 4. Li pak pro platí následující rovnosti
Viz také
Poznámky
- ^ Viz reference Fichera 1986, str. 62 a Kracht & Kreyszig 1988, str. 10.
- ^ Některé základní vlastnosti Wirtingerových derivátů jsou stejné jako vlastnosti charakterizující obyčejné (nebo částečné) deriváty a používá se pro konstrukci obvyklých diferenciální počet.
- ^ Odkaz na práci Poincaré 1899 z Henri Poincaré přesně uvádí Cherry & Ye (2001), zatímco Reinhold Remmert neuvádí žádný odkaz na podporu svého tvrzení.
- ^ Viz odkaz (Poincaré 1899, str. 111–114)
- ^ Tyto funkce jsou přesné pluriharmonické funkce a operátor lineárního diferenciálu jejich definování, tj. operátor v rovnici 2 z (Poincaré 1899, str. 112), je přesně to n-dimenzionální pluriharmonický operátor.
- ^ Viz (Poincaré 1899, str. 112), rovnice 2 ': Všimněte si, že v celém příspěvku symbol se používá k označení částečná diferenciace respekt k danému proměnná, místo nyní běžného symbolu ∂.
- ^ Opravené Doverské vydání papíru (Osgood 1913 ) obsahuje mnoho důležitých historických informací o časném vývoji EU teorie funkcí několika komplexních proměnných, a je proto užitečným zdrojem.
- ^ Vidět Osgood (1966, s. 23–24): zvědavě volá Cauchy – Riemannovy rovnice tuto sadu rovnic.
- ^ Toto je definice daná Henrici (1993, str. 294) ve svém přístupu k Pompeiuova práce: tak jako Fichera (1969, str. 27) poznámky, původní definice Pompeiu (1912) nevyžaduje doména z integrace být a kruh. Podívejte se na záznam areolární derivát pro další informace.
- ^ Viz část "Formální definice "tohoto záznamu.
- ^ Viz problém 2 v Henrici 1993, str. 294 pro jeden příklad takové funkce.
- ^ Podívejte se také na vynikající knihu od Vekua (1962, str. 55), Věta 1.31: Pokud zobecněný derivát , p> 1, pak funkce má téměř všude v derivát ve smyslu Pompeiu, přičemž druhý se rovná Zobecněný derivát ve smyslu Sobolev .
- ^ S přidělením konceptu nebo bez něj Wilhelm Wirtinger: viz například známá monografie Hörmander 1990, str. 1,23.
- ^ V tomto kurzu přednášky, Aldo Andreotti používá vlastnosti Wirtingerových derivátů k prokázání uzavření z algebra z holomorfní funkce jistě operace: tento účel je společný pro všechny odkazy uvedené v této části.
- ^ Toto je klasická práce na teorie funkcí několika komplexních proměnných zabývající se hlavně jeho teoretický svazek aspekty: v úvodních částech jsou však představeny Wirtingerovy deriváty a několik dalších analytických nástrojů a je popsána jejich aplikace v teorii.
- ^ V této práci autoři dokazují některé vlastnosti Wirtingerových derivátů i pro obecný případ funkce: v tomto jediném aspektu je jejich přístup odlišný od přístupu přijatého jinými autory uvedenými v této části a možná úplnější.
- ^ Vidět Kaup a Kaup 1983, str. 4 a také Gunning 1990, str. 5: Střelba považuje obecný případ funkce ale jen pro p = 1. Odkazy Andreotti 1976, str. 5 a Gunning & Rossi 1965, str. 6, jak již bylo uvedeno, zvažte pouze holomorfní mapy s p = 1: výsledné vzorce jsou však formálně velmi podobné.
Reference
Historické odkazy
- Amoroso, Luigi (1912), „Sopra un problema al contorno“, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (v italštině), 33 (1): 75–85, doi:10.1007 / BF03015289, JFM 43.0453.03. "Na problému mezní hodnoty„(volný překlad názvu) je první práce, kde je soubor (poměrně komplikovaných) nezbytných a dostatečných podmínek pro řešení řešitelnosti Dirichletův problém pro holomorfní funkce několika proměnných je dáno.
- Cherry, W .; Ye, Z. (2001), Nevanlinnova teorie distribuce hodnot: druhá hlavní věta a její chybové termíny, Springer Monografie z matematiky, Berlín: Springer Verlag, str. XII + 202, ISBN 978-3-540-66416-1, PAN 1831783, Zbl 0981.30001.
- Fichera, Gaetano (1969), „Derivata areolare e funzioni a variazione limitata“, Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées (v italštině), XIV (1): 27–37, PAN 0265616, Zbl 0201.10002. "Areolární derivace a funkce omezené variace"(bezplatný anglický překlad názvu) je důležitým referenčním článkem v teorii areolární deriváty.
- Levi, Eugenio Elia (1910), „Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse“, Annali di Matematica Pura ed Applicata, s. III (v italštině), XVII (1): 61–87, doi:10.1007 / BF02419336, JFM 41.0487.01. "Studie základních singulárních bodů analytických funkcí dvou nebo více komplexních proměnných"(Anglický překlad názvu) je důležitým příspěvkem v teorie funkcí několika komplexních proměnných, kde je problém určit, jaký druh nadpovrch může být hranice a doména holomorfie.
- Levi, Eugenio Elia (1911), „Sulle ipersuperficie dello spazio a 4 dimensioni che possono essere frontiera del campo di esistenza di una funzione analitica di due variabili complesse“, Annali di Matematica Pura ed Applicata, s. III (v italštině), XVIII (1): 69–79, doi:10.1007 / BF02420535, JFM 42.0449.02. "Na hyperplochy 4-dimenzionálního prostoru, který může být hranicí domény existence analytické funkce dvou komplexních proměnných"(Anglický překlad názvu) je dalším důležitým příspěvkem v teorie funkcí několika komplexních proměnných, další zkoumání teorie začala v (Levi 1910 ).
- Levi-Civita, Tullio (1905), „Sulle funzioni di due o più variabili complesse“, Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 5 (v italštině), XIV (2): 492–499, JFM 36.0482.01. "O funkcích dvou nebo více komplexních proměnných"(bezplatný anglický překlad názvu) je první prací, která je dostatečnou podmínkou pro řešení řešitelnosti Cauchyho problém pro holomorfní funkce několika komplexních proměnných je dáno.
- Osgood, William Fogg (1966) [1913], Témata v teorii funkcí několika komplexních proměnných (nezkrácené a opravené vydání), New York: Doveru, str. IV + 120, JFM 45.0661.02, PAN 0201668, Zbl 0138.30901.
- Peschl, Ernst (1932), „Über die Krümmung von Niveaukurven bei der konformen Abbildung einfachzusammenhängender Gebiete auf das Innere eines Kreises. Eine Verallgemeinerung eines Satzes von E. Study.“, Mathematische Annalen (v němčině), 106: 574–594, doi:10.1007 / BF01455902, JFM 58.1096.05, PAN 1512774, Zbl 0004.30001, Dostupné v DigiZeitschriften.
- Poincaré, H. (1899), „Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes“, Acta Mathematica (francouzsky), 22 (1): 89–178, doi:10.1007 / BF02417872, JFM 29.0370.02.
- Pompeiu, D. (1912), „Sur une classe de fonctions d'une variable complexe“, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (francouzsky), 33 (1): 108–113, doi:10.1007 / BF03015292, JFM 43.0481.01.
- Pompeiu, D. (1913), „Sur une classe de fonctions d'une variable complexe et sur certaines équations intégrales“, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (francouzsky), 35 (1): 277–281, doi:10.1007 / BF03015607.
- Vekua, I.N. (1962), Zobecněné analytické funkceMezinárodní série monografií z čisté a aplikované matematiky, 25, Londýn – Paříž – Frankfurt: Pergamon Press, str. xxx + 668, PAN 0150320, Zbl 0100.07603
- Wirtinger, Wilhelm (1926), „Zur formalen Theorie der Funktionen von mehr komplexen Veränderlichen“, Mathematische Annalen (v němčině), 97: 357–375, doi:10.1007 / BF01447872, JFM 52.0342.03, Dostupné v DigiZeitschriften. V tomto důležitém článku Wirtinger představuje několik důležitých konceptů v teorie funkcí několika komplexních proměnných, jmenovitě Wirtingerovy deriváty a tangenciální Cauchy-Riemannova podmínka.
Vědecké odkazy
- Andreotti, Aldo (1976), Introduzione all'analisi complessa (Lezioni tenute nel febbraio 1972) Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni (v italštině), 24, Řím: Accademia Nazionale dei Lincei, str. 34, archivovány od originál dne 03.03.2012, vyvoláno 2010-08-28. Úvod do komplexní analýzy je krátký kurz v teorii funkcí několika komplexních proměnných, který se konal v únoru 1972 na Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni "Beniamino Segre".
- Fichera, Gaetano (1986), „Unification of global and local existence theorems for holomorphic functions of several complex variables“, Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 8, 18 (3): 61–83, PAN 0917525, Zbl 0705.32006.
- Gunning, Robert C.; Rossi, Hugo (1965), Analytické funkce několika komplexních proměnných Série Prentice-Hall v moderní analýze, Englewoodské útesy, N.J .: Prentice-Hall, str. xiv + 317, ISBN 9780821869536, PAN 0180696, Zbl 0141.08601.
- Gunning, Robert C. (1990), Úvod do holomorfních funkcí několika proměnných. Svazek I: Teorie funkcí, Wadsworth & Brooks / Cole Mathematics Series, Belmont, Kalifornie: Wadsworth & Brooks / Cole, str. Xx + 203, ISBN 0-534-13308-8, PAN 1052649, Zbl 0699.32001.
- Henrici, Peter (1993) [1986], Aplikovaná a výpočetní komplexní analýza, svazek 3, Wiley Classics Library (dotisk ed.), New York – Chichester – Brisbane – Toronto – Singapur: John Wiley & Sons, str. X + 637, ISBN 0-471-58986-1, PAN 0822470, Zbl 1107.30300.
- Hörmander, Larsi (1990) [1966], Úvod do komplexní analýzy v několika proměnnýchMatematická knihovna v Severním Holandsku, 7 (3. (revidované) vydání), Amsterdam – Londýn – New York – Tokio: Severní Holandsko, ISBN 0-444-88446-7, PAN 1045639, Zbl 0685.32001.
- Kaup, Ludger; Kaup, Burchard (1983), Holomorfní funkce několika proměnných, de Gruyter Studium matematiky, 3, Berlín – New York: Walter de Gruyter, str. XV + 349, ISBN 978-3-11-004150-7, PAN 0716497, Zbl 0528.32001.
- Kracht, Manfred; Kreyszig, Erwin (1988), Metody komplexní analýzy v parciálních diferenciálních rovnicích a aplikacích, Kanadská matematická společnost Série monografií a pokročilých textů, New York – Chichester – Brisbane – Toronto – Singapur: John Wiley & Sons, str.xiv + 394, ISBN 0-471-83091-7, PAN 0941372, Zbl 0644.35005.
- Martinelli, Enzo (1984), Zavedení prvků pro všechny teorii delle funkcí pro variabilní soulad s particolare riguardo alle rappresentazioni integrali Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni (v italštině), 67, Řím: Accademia Nazionale dei Lincei, str. 236 + II, archivovány od originál dne 27.09.2011, vyvoláno 2010-08-24. "Základní seznámení s teorií funkcí komplexních proměnných se zvláštním zřetelem na integrální reprezentace"(Anglický překlad názvu) jsou poznámky z kurzu vydané nakladatelstvím Accademia Nazionale dei Lincei, kterou držel Martinelli, když byl “Profesor Linceo".
- Remmert, Reinhold (1991), Teorie komplexních funkcí, Postgraduální texty z matematiky, 122 (Čtvrté opravené vydání z roku 1998), New York – Berlín – Heidelberg – Barcelona – Hongkong – Londýn – Milán – Paříž – Singapur – Tokio: Springer Verlag, str. xx + 453, ISBN 0-387-97195-5, PAN 1084167, Zbl 0780.30001 ISBN 978-0-387-97195-7. Učebnice o komplexní analýza včetně mnoha historických poznámek na toto téma.
- Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse - Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma (v italštině), Padova: CEDAM - Casa Editrice Dott. Antonio Milani, str. XIV + 255, Zbl 0094.28002. Poznámky z kurzu pořádaného Francescem Severim v Istituto Nazionale di Alta Matematica (který v současné době nese jeho jméno), obsahující přílohy Enza Martinelliho, Giovanni Battisty Rizza a Mario Benedicty. Anglický překlad názvu zní: - "Přednášky o analytických funkcích několika komplexních proměnných - přednáška v letech 1956–57 na Istituto Nazionale di Alta Matematica v Římě".