Eulerian poset - Eulerian poset

v kombinační matematika, an Eulerian poset je odstupňovaná poset ve kterém každý netriviální interval má stejný počet prvků sudé pozice jako liché pozice. Euleriánská poseta, která je a mříž je Eulerova mříž. Tyto objekty jsou pojmenovány po Leonhard Euler. Euleriánské mřížky se zobecňují obličejové mřížky z konvexní polytopes a hodně nedávného výzkumu bylo věnováno rozšiřování známých výsledků z polyedrická kombinatorika, například různá omezení na F- vektory konvexní jednoduché polytopy, k tomuto obecnějšímu nastavení.

Příklady

• The obličejová mříž a konvexní mnohostěn, skládající se z jeho tváří, spolu s nejmenším prvkem, prázdnou tváří a největším prvkem, samotným mnohostěnem, je euleriánská mřížka. Podmínka lichého a sudého vyplývá z Eulerův vzorec.
• Žádný zjednodušená zobecněná sféra homologie je euleriánská mříž.
• Nechat L být pravidelný buněčný komplex takové, že |L| je potrubí se stejnou Eulerovou charakteristikou jako koule stejné dimenze (tato podmínka je prázdná, pokud je dimenze lichá). Pak poset buněk L, nařízeno zahrnutím jejich uzávěrů, je Eulerian.
• Nechat Ž být Skupina coxeterů s Bruhatův řád. Pak (Ž, ≤) je euleriánská poseta.

Vlastnosti

• Definující podmínka euleriánské posety P lze rovnocenně vyjádřit z hlediska jeho Möbiova funkce:

${ displaystyle mu _ {P} (x, y) = (- 1) ^ {| y | - | x |} { text {pro všechny}} x leq y.}$

• Duál euleriánské posety, získaný obrácením částečného pořadí, je Eulerian.
• Richard Stanley definoval torický h-vektor a hodnocená poseta, který zobecňuje h-vektor zjednodušeného mnohostěnu.^[1] Dokázal, že Dehn – Sommervilleovy rovnice

${ displaystyle h_ {k} = h_ {d-k} ,}$

podržte libovolný euleriánský poset hodnosti d + 1.^[2] Avšak pro euleriánskou posetu vznikající z regulárního komplexu buněk nebo konvexního polytopu je torická h-vector neurčuje ani není určen počtem buněk nebo tváří různých dimenzí a torických h-vector nemá přímou kombinatorickou interpretaci.

Poznámky

Reference

• Richard P. Stanley, Enumerativní kombinatorika, Svazek 1. Cambridge University Press, 1997 ISBN  0-521-55309-1

Viz také

• Abstraktní mnohostěn
• Hvězdný produkt, metoda pro kombinování posetů při zachování Eulerianovy vlastnosti