Krycí vztah - Covering relation

The Hasseův diagram z napájecí sada ze tří prvků, částečně objednané podle zařazení.

v matematika, zvláště teorie objednávek, krycí vztah a částečně objednaná sada je binární relace který drží mezi srovnatelný prvky, které jsou bezprostředními sousedy. Krycí vztah se běžně používá ke grafickému vyjádření dílčího řádu pomocí Hasseův diagram.

Definice

Nechat ${displaystyle X}$ být soubor s částečnou objednávkou ${displaystyle leq}$.Jako obvykle, nechte ${displaystyle <}$ být vztah na ${displaystyle X}$ takhle ${displaystyle x$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle xleq y}$ a ${displaystyle xeq y}$.

Nechat ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$ být prvky ${displaystyle X}$.

Pak ${displaystyle y}$ kryty ${displaystyle x}$, psaný ${displaystyle xlessdot y}$,li ${displaystyle x$ a není tam žádný prvek ${displaystyle z}$ takhle ${displaystyle x$. Ekvivalentně ${displaystyle y}$ kryty ${displaystyle x}$ pokud interval ${displaystyle [x, y]}$ je sada dvou prvků ${displaystyle {x, y}}$.

Když ${displaystyle xlessdot y}$, říká se, že ${displaystyle y}$ je obálka ${displaystyle x}$. Někteří autoři také používají pojem kryt k označení jakéhokoli takového páru ${displaystyle (x, y)}$ v krycím vztahu.

Příklady

• Konečně lineárně uspořádáno nastavit {1, 2, ..., n}, i + 1 obálky i pro všechny i mezi 1 a n - 1 (a neexistují žádné další krycí vztahy).
• V Booleova algebra z napájecí sada sady Spodmnožina B z S pokrývá podmnožinu A z S kdyby a jen kdyby B se získává z A přidáním jednoho prvku, který není v A.
• v Youngova mříž, tvořený oddíly všech nezáporných celých čísel, oddíl λ pokrývá oddíl μ jen a jen pokud Mladý diagram z λ je získán z Youngova diagramu μ přidáním další buňky.
• Hasseův diagram zobrazující krycí vztah a Tamari mříž je kostra z spolupracovník.
• Krycí vztah jakékoli konečné distribuční mříž tvoří a střední graf.
• Na reálná čísla s obvyklou celkovou objednávkou ≤ je sada obalů prázdná: žádné číslo nepokrývá další.

Vlastnosti

• Pokud je částečně uspořádaná množina konečná, její krycí vztah je přechodná redukce vztahu dílčí objednávky. Takto částečně uspořádané množiny jsou proto zcela popsány jejich Hasseovými diagramy. Na druhou stranu v a hustý řád, tak jako racionální čísla se standardní objednávkou žádný prvek nepokrývá jiný.

Reference

• Knuth, Donald E. (2006), Umění počítačového programování, Svazek 4, Fascicle 4, Addison-Wesley, ISBN  0-321-33570-8.
• Stanley, Richard P. (1997), Enumerativní kombinatorika, 1 (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  0-521-55309-1.
• Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (2002), Úvod do mřížek a řádu (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  0-521-78451-4, LCCN  2001043910.