Atom (teorie objednávek) - Atom (order theory)
V matematický pole teorie objednávek prvek A a částečně objednaná sada s nejmenší prvek 0 je atom -li 0 < A a není X takhle 0 < X < A.
Ekvivalentně lze definovat atom jako prvek, který je minimální mezi nenulovými prvky nebo alternativně prvek, který kryty nejmenší prvek 0.
Atomové uspořádání
 Obr: mříž dělitelů 4, s objednávkou "je dělitel z„, je atomový, přičemž 2 je jediným atomem. Není atomistický, protože 4 nelze získat jako nejmenší společný násobek atomů. |
 Obr. 1: napájecí sada sady {X, y, z} s objednávkou "je podmnožina z"je atomistická částečně uspořádaná množina: každou členskou množinu lze získat jako svaz ze všech jedináček sady pod ním. |
Nechť <: označuje krycí vztah v částečně uspořádané množině.
Částečně uspořádaná sada s nejmenším prvkem 0 je atomový pokud každý prvek b > 0 má atom A pod ním, to znamená, že jsou některé A takhle b ≥ A :> 0. Každá konečná částečně objednaná sada s 0 je atomová, ale množina nezáporných reálná čísla (seřazeno obvyklým způsobem) není atomový (a ve skutečnosti nemá žádné atomy).
Částečně objednaná sada je relativně atomová (nebo silně atomový) pokud pro všechny A < b existuje prvek C takhle A <: C ≤ b nebo ekvivalentně, pokud každý interval [A, b] je atomová. Každá relativně atomová částečně uspořádaná množina s nejmenším prvkem je atomová. Každý konečný poset je relativně atomový.
Částečně uspořádaná sada s nejmenším prvkem 0 je nazýván atomistický pokud je každý prvek nejmenší horní mez sady atomů. Lineární řád se třemi prvky není atomistický (viz obr. 2).
Atomy v částečně uspořádaných množinách jsou abstraktní zobecnění singletons v teorie množin (viz obr. 1). Atomicita (vlastnost bytí atomová) poskytuje abstraktní zevšeobecnění v kontextu teorie objednávek možnosti vybrat prvek z neprázdné množiny.
Coatoms
Podmínky coatom, coatomic, a coatomistic jsou definovány duálně. Tedy v částečně objednané sadě s největší prvek 1, říká to jeden
- A coatom je prvek, na který se vztahuje 1,
- sada je coatomic pokud každý b < 1 má coatom C nad ním a
- sada je coatomistic pokud je každý prvek největší dolní mez sady coatomů.
Reference
- Davey, B. A .; Priestley, H. A. (2002), Úvod do mřížek a řádu, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1