Hecke algebra lokálně kompaktní skupiny - Hecke algebra of a locally compact group

V matematice, a Hecke algebra a místně kompaktní skupina je algebra bi-invariantních měr pod konvoluce.

Definice

Nechť (G,K.) být pár skládající se z a unimodulární lokálně kompaktní topologická skupina G a uzavřená podskupina K. z G. Pak prostor bi-K.-invariantní spojité funkce z kompaktní podpora

C[K.\G/K.]

může být obdařen strukturou asociativní algebry v rámci operace konvoluce. Tato algebra je označena

H(G//K.)

a zavolal Hecke prsten páru (G,K.). Pokud začneme s Gelfandův pár pak se výsledná algebra ukáže jako komutativní.

Příklady

SL (2)

Zejména to platí, když

G = SL_n(Q_str) a K. = SL_n(Z_str)

a reprezentace odpovídajícího komutativního Heckeho prstenu byly studovány pomocí Ian G. Macdonald.

GL (2)

Na druhou stranu v případě

G = GL₂(Q) a K. = GL₂(Z)

máme klasická Hecke algebra, což je komutativní kruh Operátoři Hecke v teorii modulární formy.

Iwahori

Případ vedoucí k Iwahori – Hecke algebra konečné skupiny Weyl je, když G je konečný Skupina Chevalley přes konečné pole s str^k prvky a B je jeho Podskupina Borel. Iwahori ukázal, že Hecke prsten

H(G//B)

se získává z obecné Hecke algebry H_q z Weylova skupina Ž z G specializací neurčitého q druhé algebry na str^kmohutnost konečného pole. George Lusztig poznamenal v roce 1984 (Znaky redukčních skupin nad konečným polem, xi, poznámka pod čarou):

Myslím, že by bylo nejvhodnější říkat to Iwahori algebra, ale jméno Hecke ring (nebo algebra), které dal sám Iwahori, se používá téměř 20 let a je pravděpodobně příliš pozdě to změnit.

Iwahori a Matsumoto (1965) zvažovali případ, kdy G je skupina bodů a reduktivní algebraická skupina přes non-archimedean místní pole F, jako Q_str, a K. je to, co se nyní nazývá Podskupina Iwahori z G. Výsledný Heckův kruh je izomorfní s Heckovou algebrou afinní Weylova skupina z G, nebo afinní Hecke algebra, kde neurčitý q se specializuje na mohutnost zbytkové pole z F.

Viz také

• Skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny

Reference

• Shimura (1971). Úvod do aritmetické teorie automorfních funkcí (Brožované vydání). Princeton University Press. ISBN  978-0-691-08092-5.