Metrický tenzor popisující konstantní záporné (hyperbolické) zakřivení
v matematika , Poincarého metrika , pojmenoval podle Henri Poincaré , je metrický tenzor popisující dvourozměrný povrch konstantní záporné zakřivení . Jedná se o přirozenou metriku běžně používanou v různých výpočtech v hyperbolická geometrie nebo Riemannovy povrchy .
Existují tři ekvivalentní reprezentace běžně používané v dvourozměrném hyperboliku geometrie . Jedním z nich je Poincarého polorovinový model , definující model hyperbolického prostoru na internetu horní polorovina . The Poincaré model disku definuje model hyperbolického prostoru na internetu jednotka disku . Disk a horní polovina roviny jsou spojeny pomocí a konformní mapa , a izometrie jsou dány Möbiovy transformace . Třetí zastoupení je na propíchnutý disk , kde vztahy pro q-analogy jsou někdy vyjádřeny. Níže jsou uvedeny různé formy.
Přehled metrik na Riemannově povrchu Metrika na komplexní rovině může být obecně vyjádřena ve formě
d s 2 = λ 2 ( z , z ¯ ) d z d z ¯ { displaystyle ds ^ {2} = lambda ^ {2} (z, { overline {z}}) , dz , d { overline {z}}} kde λ je skutečná, pozitivní funkce z { displaystyle z} z ¯ { displaystyle { overline {z}}}
l ( y ) = ∫ y λ ( z , z ¯ ) | d z | { displaystyle l ( gamma) = int _ { gamma} lambda (z, { overline {z}}) , | dz |} Plocha podmnožiny komplexní roviny je dána vztahem
Plocha ( M ) = ∫ M λ 2 ( z , z ¯ ) i 2 d z ∧ d z ¯ { displaystyle { text {Area}} (M) = int _ {M} lambda ^ {2} (z, { overline {z}}) , { frac {i} {2}} , dz klín d { overline {z}}} kde ∧ { displaystyle klín} vnější produkt slouží ke konstrukci objemová forma . Determinant metriky se rovná λ 4 { displaystyle lambda ^ {4}} λ 2 { displaystyle lambda ^ {2}} d X ∧ d y { displaystyle dx klín dy}
d z ∧ d z ¯ = ( d X + i d y ) ∧ ( d X − i d y ) = − 2 i d X ∧ d y . { Displaystyle dz wedge d { overline {z}} = (dx + i , dy) wedge (dx-i , dy) = - 2i , dx wedge dy.} Funkce Φ ( z , z ¯ ) { displaystyle Phi (z, { overline {z}})} potenciál metriky -li
4 ∂ ∂ z ∂ ∂ z ¯ Φ ( z , z ¯ ) = λ 2 ( z , z ¯ ) . { displaystyle 4 { frac { částečné} { částečné z}} { frac { částečné} { částečné { overline {z}}}} Phi (z, { overline {z}}) = lambda ^ {2} (z, { overline {z}}).} The Operátor Laplace – Beltrami darováno
Δ = 4 λ 2 ∂ ∂ z ∂ ∂ z ¯ = 1 λ 2 ( ∂ 2 ∂ X 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) . { displaystyle Delta = { frac {4} { lambda ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné z}} { frac { částečné} { částečné { overline {z} }}} = { frac {1} { lambda ^ {2}}} vlevo ({ frac { částečné ^ {2}} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2}} { částečné y ^ {2}}} vpravo).} Gaussian zakřivení metriky je dáno
K. = − Δ log λ . { displaystyle K = - Delta log lambda. ,} Toto zakřivení je polovina Ricciho skalární zakřivení .
Izometrie zachovávají úhly a délky oblouku. Na Riemannově povrchu jsou izometrie identické se změnami souřadnic: to znamená, že operátor Laplace – Beltrami i zakřivení jsou pod izometrií neměnné. Tak například nechme S být Riemannovým povrchem s metrikou λ 2 ( z , z ¯ ) d z d z ¯ { displaystyle lambda ^ {2} (z, { overline {z}}) , dz , d { overline {z}}} T být Riemannovým povrchem s metrikou μ 2 ( w , w ¯ ) d w d w ¯ { displaystyle mu ^ {2} (w, { overline {w}}) , dw , d { overline {w}}}
F : S → T { displaystyle f: S až T ,} s F = w ( z ) { displaystyle f = w (z)}
μ 2 ( w , w ¯ ) ∂ w ∂ z ∂ w ¯ ∂ z ¯ = λ 2 ( z , z ¯ ) { displaystyle mu ^ {2} (w, { overline {w}}) ; { frac { parciální w} { parciální z}} { frac { parciální { overline {w}}} { částečné { overline {z}}}} = lambda ^ {2} (z, { overline {z}})} Zde požadavek, že mapa je konformní, není nic jiného než prohlášení
w ( z , z ¯ ) = w ( z ) , { displaystyle w (z, { overline {z}}) = w (z),} to je
∂ ∂ z ¯ w ( z ) = 0. { displaystyle { frac { částečné} { částečné { overline {z}}}} w (z) = 0.} Metrický a objemový prvek v rovině Poincaré The Poincaré metrický tenzor v Poincarého polorovinový model je uveden na horní polorovina H tak jako
d s 2 = d X 2 + d y 2 y 2 = d z d z ¯ y 2 { displaystyle ds ^ {2} = { frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {y ^ {2}}} = { frac {dz , d { overline {z}}} {y ^ {2}}}} kde píšeme d z = d X + i d y . { displaystyle dz = dx + i , dy.} SL (2,R ) . To znamená, že pokud napíšeme
z ′ = X ′ + i y ′ = A z + b C z + d { displaystyle z '= x' + iy '= { frac {az + b} {cz + d}}} pro A d − b C = 1 { displaystyle ad-bc = 1}
X ′ = A C ( X 2 + y 2 ) + X ( A d + b C ) + b d | C z + d | 2 { displaystyle x '= { frac {ac (x ^ {2} + y ^ {2}) + x (reklama + bc) + bd} {| cz + d | ^ {2}}}} a
y ′ = y | C z + d | 2 . { displaystyle y '= { frac {y} {| cz + d | ^ {2}}}.} Infinitezimální transformace jako
d z ′ = d z ( C z + d ) 2 { displaystyle dz '= { frac {dz} {(cz + d) ^ {2}}}} a tak
d z ′ d z ¯ ′ = d z d z ¯ | C z + d | 4 { displaystyle dz'd { overline {z}} '= { frac {dz , d { overline {z}}} {| cz + d | ^ {4}}}} čímž je jasné, že metrický tenzor je pod SL (2,R ).
Invariant objemový prvek darováno
d μ = d X d y y 2 . { displaystyle d mu = { frac {dx , dy} {y ^ {2}}}.} Metrika je dána vztahem
ρ ( z 1 , z 2 ) = 2 tanh − 1 | z 1 − z 2 | | z 1 − z 2 ¯ | { displaystyle rho (z_ {1}, z_ {2}) = 2 tanh ^ {- 1} { frac {| z_ {1} -z_ {2} |} {| z_ {1} - { přetáhnout {z_ {2}}} |}}} ρ ( z 1 , z 2 ) = log | z 1 − z 2 ¯ | + | z 1 − z 2 | | z 1 − z 2 ¯ | − | z 1 − z 2 | { displaystyle rho (z_ {1}, z_ {2}) = log { frac {| z_ {1} - { overline {z_ {2}}} | + | z_ {1} -z_ {2 } |} {| z_ {1} - { overline {z_ {2}}} | - | z_ {1} -z_ {2} |}}} pro z 1 , z 2 ∈ H . { displaystyle z_ {1}, z_ {2} in mathbb {H}.}
Další zajímavou formu metriky lze uvést ve smyslu křížový poměr z 1 , z 2 , z 3 { displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}} z 4 { displaystyle z_ {4}} zhutněná komplexní rovina C ^ = C ∪ { ∞ } , { displaystyle { hat { mathbb {C}}} = mathbb {C} pohár { infty },}
( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) = ( z 1 − z 3 ) ( z 2 − z 4 ) ( z 1 − z 4 ) ( z 2 − z 3 ) . { displaystyle (z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = { frac {(z_ {1} -z_ {3}) (z_ {2} -z_ {4} )} {(z_ {1} -z_ {4}) (z_ {2} -z_ {3})}}.} Pak je metrika dána vztahem
ρ ( z 1 , z 2 ) = log ( z 1 , z 2 ; z 1 × , z 2 × ) . { displaystyle rho (z_ {1}, z_ {2}) = log left (z_ {1}, z_ {2}; z_ {1} ^ { times}, z_ {2} ^ { times }že jo).} Tady, z 1 × { displaystyle z_ {1} ^ { times}} z 2 × { displaystyle z_ {2} ^ { times}} z 1 { displaystyle z_ {1}} z 2 { displaystyle z_ {2}} z 1 { displaystyle z_ {1}} z 1 × { displaystyle z_ {1} ^ { times}} z 2 { displaystyle z_ {2}}
The geodetika pro tento metrický tenzor jsou kruhové oblouky kolmé ke skutečné ose (půlkruhy, jejichž počátek je na skutečné ose) a přímé svislé čáry končící na skutečné ose.
Konformní mapa roviny na disk Horní polovina roviny může být mapováno konformně do jednotka disku s Möbiova transformace
w = E i ϕ z − z 0 z − z 0 ¯ { displaystyle w = e ^ {i phi} { frac {z-z_ {0}} {z - { overline {z_ {0}}}}}} kde w je bod na disku jednotky, který odpovídá bodu z v horní polovině roviny. V tomto mapování konstanta z 0 může to být jakýkoli bod v horní polovině roviny; bude namapován na střed disku. Skutečná osa ℑ z = 0 { displaystyle Im z = 0} | w | = 1. { displaystyle | w | = 1.} ϕ { displaystyle phi}
Kanonické mapování je
w = i z + 1 z + i { displaystyle w = { frac {iz + 1} {z + i}}} který trvá i do středu disku a 0 do spodní části disku.
Metrický a objemový prvek na disku Poincaré The Poincaré metrický tenzor v Poincaré model disku je uveden na otevřeném místě jednotka disku
U = { z = X + i y : | z | = X 2 + y 2 < 1 } { displaystyle U = left {z = x + iy: | z | = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} <1 right }} podle
d s 2 = 4 ( d X 2 + d y 2 ) ( 1 − ( X 2 + y 2 ) ) 2 = 4 d z d z ¯ ( 1 − | z | 2 ) 2 . { displaystyle ds ^ {2} = { frac {4 (dx ^ {2} + dy ^ {2})} {(1- (x ^ {2} + y ^ {2})) ^ {2} }} = { frac {4dz , d { overline {z}}} {(1- | z | ^ {2}) ^ {2}}}.} Prvek hlasitosti je dán vztahem
d μ = 4 d X d y ( 1 − ( X 2 + y 2 ) ) 2 = 4 d X d y ( 1 − | z | 2 ) 2 . { displaystyle d mu = { frac {4dx , dy} {(1- (x ^ {2} + y ^ {2})) ^ {2}}} = { frac {4dx , dy} {(1- | z | ^ {2}) ^ {2}}}.} Poincarého metrika je dána vztahem
ρ ( z 1 , z 2 ) = 2 tanh − 1 | z 1 − z 2 1 − z 1 z 2 ¯ | { displaystyle rho (z_ {1}, z_ {2}) = 2 tanh ^ {- 1} vlevo | { frac {z_ {1} -z_ {2}} {1-z_ {1} { overline {z_ {2}}}}} vpravo |} pro z 1 , z 2 ∈ U . { displaystyle z_ {1}, z_ {2} v U.}
Geodetikou pro tento metrický tenzor jsou kruhové oblouky, jejichž koncové body jsou kolmé k hranici disku. Geodetické toky na disku Poincaré jsou Anosov teče ; tento článek rozvíjí notaci pro takové toky.
Model s propíchnutým diskem J-invariant v propíchnutých souřadnicích disku; tj. jako funkce jména.
J-invariant v souřadnicích disku Poincare; Všimněte si, že tento disk je otočen o 90 stupňů od kanonických souřadnic uvedených v tomto článku
Druhé společné mapování horní polorovina na disk je q-mapování
q = exp ( i π τ ) { displaystyle q = exp (i pi tau)} kde q je ne já a τ je poměr poloviny období :
τ = ω 2 ω 1 { displaystyle tau = { frac { omega _ {2}} { omega _ {1}}}} V zápisu předchozích částí je τ souřadnice v horní polorovině ℑ τ > 0 { displaystyle Im tau> 0} q = 0 není v obraz mapy.
Poincaréova metrika v horní polorovině indukuje metriku na q-disku
d s 2 = 4 | q | 2 ( log | q | 2 ) 2 d q d q ¯ { displaystyle ds ^ {2} = { frac {4} {| q | ^ {2} ( log | q | ^ {2}) ^ {2}}} dq , d { overline {q} }} Potenciál metriky je
Φ ( q , q ¯ ) = 4 log log | q | − 2 { displaystyle Phi (q, { overline {q}}) = 4 log log | q | ^ {- 2}} Schwarzovo lema Poincarého metrika je zmenšující se vzdálenost na harmonický funkce. Toto je rozšíření Schwarzovo lema , nazvaný Schwarz – Ahlfors – Pickova věta .
Viz také Reference Hershel M. Farkas a Irwin Kra, Riemannovy povrchy (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4. Jurgen Jost, Kompaktní povrchy Riemann (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (Viz část 2.3) . Svetlana Katok , Fuchsijské skupiny (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Poskytuje jednoduchý a snadno čitelný úvod.) 
