Harish-Chandras C-funkce - Harish-Chandras c-function - Wikipedia

v matematika, Harish-Chandra C-funkce je funkce související s operátor prolínání mezi dvěma hlavní série reprezentace, které se objevují v Plancherelův rozměr pro napůl jednoduché Lie skupiny. Harish-Chandra (1958a, 1958b ) zavedl speciální případ definovaný z hlediska asymptotického chování a zonální sférická funkce lži a Harish-Chandra (1970 ) představil obecnější C- volala funkce Harish-Chandra (zobecněný) C-funkce. Gindikin a Karpelevich (1962, 1969 ) představil Gindikin – Karpelevichův vzorec, produktový vzorec pro Harish-Chandra C-funkce.

Harish-Chandra C-funkce

Gindikin – Karpelevichův vzorec

Funkce c má zevšeobecnění C_w(λ) v závislosti na prvku w z Weylova skupina Jedinečný prvek největší délkys₀, je jedinečný prvek, který nese Weylovu komoru ${ displaystyle { mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}}$ na ${ displaystyle - { mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}}$ . Podle integrálního vzorce Harish-Chandry, C_s₀ je Harish-Chandra C-funkce:

{ displaystyle c ( lambda) = c_ {s_ {0}} ( lambda).}

The C-funkce jsou obecně definovány rovnicí

{ displaystyle displaystyle A (s, lambda) xi _ {0} = c_ {s} ( lambda) xi _ {0},}

kde ξ₀ je konstantní funkce 1 v L²(K./M). Vlastnost cocycle prolínácích se operátorů implikuje podobnou multiplikativní vlastnost pro C-funkce:

{ displaystyle c_ {s_ {1} s_ {2}} ( lambda) = c_ {s_ {1}} (s_ {2} lambda) c_ {s_ {2}} ( lambda)}

pokud

{ displaystyle ell (s_ {1} s_ {2}) = ell (s_ {1}) + ell (s_ {2}).}

Tím se snižuje výpočet C_s k případu, kdy s = s_α, odraz v (jednoduchém) kořenu α, tzv. „redukce prvního stupně“ z Gindikin & Karpelevič (1962). Ve skutečnosti integrál zahrnuje pouze uzavřenou připojenou podskupinu G^α odpovídá lži subalgebře generované ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { pm alpha}}$ kde α leží v Σ₀⁺. Pak G^α je skutečná polojediná Lieova skupina se skutečnou hodností jedna, tj. dim A^α = 1 a C_s je jen Harish-Chandra C-funkce G^α. V tomto případě C-funkce může být vypočítána přímo a je dána

{ displaystyle c_ {s _ { alpha}} ( lambda) = c_ {0} {2 ^ {- i ( lambda, alpha _ {0})} gama (i ( lambda, alpha _ { 0})) nad Gamma ({1 nad 2} ({1 nad 2} m _ { alpha} + 1 + i ( lambda, alpha _ {0})) Gamma ({1 nad 2} ({1 nad 2} m _ { alpha} + m_ {2 alpha} + i ( lambda, alpha _ {0}))}}}

kde

{ displaystyle c_ {0} = 2 ^ {m _ { alpha} / 2 + m_ {2 alpha}} gama vlevo ({1 nad 2} (m _ { alpha} + m_ {2 alpha} +1) vpravo)}

a α₀= α / 〈α, α〉.

Obecný vzorec Gindikin – Karpelevich pro C(λ) je bezprostředním důsledkem tohoto vzorce a multiplikativních vlastností C_s(λ) takto:

{ displaystyle c ( lambda) = c_ {0} prod _ { alpha in Sigma _ {0} ^ {+}} {2 ^ {- i ( lambda, alpha _ {0})} Gamma (i ( lambda, alpha _ {0})) over Gamma ({1 nad 2} ({1 nad 2} m _ { alpha} + 1 + i ( lambda, alpha _ {0})) Gamma ({1 nad 2} ({1 nad 2} m _ { alpha} + m_ {2 alpha} + i ( lambda, alpha _ {0}))}}}

kde konstanta C₀ je vybrán tak, aby C(–Iρ) = 1 (Helgason 2000, str. 447).

Plancherelův rozměr

The C-funkce se objeví v Plancherelova věta o sférických funkcích a míra Plancherel je 1 /C² krát Lebesgueovo opatření.

Zobecněná funkce C.

p-adic Lie skupiny

Existuje podobné C-funkce pro p-adické Lieovy skupiny. Macdonald (1968, 1971 ) a Langlands (1971) našel analogický produktový vzorec pro C-funkce a p- adic Lieova skupina.

Reference

Cohn, Leslie (1974), Analytická teorie funkce Harish-Chandra C.Přednášky z matematiky, 429, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0064335, PAN 0422509
Doran, Robert S .; Varadarajan, V. S., eds. (2000), „Matematické dědictví Harish-Chandry“, Sborník zvláštního zasedání AMS o teorii reprezentace a nekomutativní harmonické analýze, které se konalo na památku Harish-Chandry u příležitosti 75. výročí jeho narození, v Baltimore, MD, 9. – 10. Ledna 1998 Sborník sympozií z čisté matematiky, 68„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. xii + 551, ISBN 978-0-8218-1197-9, PAN 1767886
Gindikin, S. G .; Karpelevich, F. I. (1962), „Plancherelova míra pro symetrické Riemannovy prostory pozitivního zakřivení“, Sovětská matematika. Dokl., 3: 962–965, ISSN 0002-3264, PAN 0150239
Gindikin, S. G .; Karpelevich, F. I. (1969) [1966], „O integrálu spojeném s Riemannovými symetrickými prostory ne-pozitivního zakřivení“, Dvanáct článků o funkční analýze a geometrii Překlady Americké matematické společnosti, 85, str. 249–258, ISBN 978-0-8218-1785-8, PAN 0222219
Harish-Chandra (1958a), „Sférické funkce v polojednodušé lži.“ American Journal of Mathematics, 80: 241–310, doi:10.2307/2372786, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372786, PAN 0094407
Harish-Chandra (1958b), „Spherical Functions on a Semisimple Lie Group II“, American Journal of Mathematics Johns Hopkins University Press, 80 (3): 553–613, doi:10.2307/2372772, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372772
Harish-Chandra (1970), „Harmonická analýza na polojednodušých Lieových skupinách“, Bulletin of the American Mathematical Society, 76: 529–551, doi:10.1090 / S0002-9904-1970-12442-9, ISSN 0002-9904, PAN 0257282
Helgason, Sigurdur (1994), „Harish-Chandřina funkce C. Matematický klenot“, Tanner, Elizabeth A .; Wilson., Raj (eds.), Noncompact Lie groups and some of their applications (San Antonio, TX, 1993), NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C matematika. Phys. Sci., 429, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., S. 55–67, ISBN 978-0-7923-2787-5, PAN 1306516, Přetištěno v (Doran & Varadarajan 2000 )
Helgason, Sigurdur (2000) [1984], Skupiny a geometrická analýza Matematické průzkumy a monografie 83„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-2673-7, PAN 1790156
Knapp, Anthony W. (2003), „The Gindikin-Karpelevič formula and intertwining operators“, Gindikin, S. G. (ed.), Ležové skupiny a symetrické prostory. Na památku F. I. Karpelevicha, Amer. Matematika. Soc. Transl. Ser. 2, 210„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 145–159, ISBN 978-0-8218-3472-5, PAN 2018359
Langlands, Robert P. (1971) [1967], Produkty Euler, Yale University Press, ISBN 978-0-300-01395-5, PAN 0419366
Macdonald, I. G. (1968), „Sférické funkce ve skupině p-adic Chevalley“, Bulletin of the American Mathematical Society, 74 (3): 520–525, doi:10.1090 / S0002-9904-1968-11989-5, ISSN 0002-9904, PAN 0222089
Macdonald, I. G. (1971), Sférické funkce na skupině typu p-adicPoznámky k přednášce institutu Ramanujan, 2, Ramanujan Institute, Centrum pro pokročilé studium matematiky, University of Madras, Madras, PAN 0435301
Wallach, Nolan R (1975), „O zevšeobecněných C-funkcích Harish-Chandry“, American Journal of Mathematics, 97: 386–403, doi:10.2307/2373718, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373718, PAN 0399357