Věta o komutaci - Commutation theorem

v matematika, a komutační věta výslovně identifikuje komutant konkrétního von Neumannova algebra působící na a Hilbertův prostor v přítomnosti a stopa. První takový výsledek prokázal Francis Joseph Murray a John von Neumann ve 30. letech 20. století a platí pro von Neumannovu algebru generovanou a diskrétní skupina nebo dynamický systém spojené s aměřitelná transformace zachování a míra pravděpodobnosti. Další důležitá aplikace je v teorii unitární reprezentace z unimodulární místně kompaktní skupiny, kde byla teorie aplikována na pravidelné zastoupení a další úzce související zastoupení. Tento rámec zejména vedl k abstraktní verzi Plancherelův teorém pro unimodulární lokálně kompaktní skupiny kvůli Irving Segal a Forrest Stinespring a abstrakt Plancherelova věta o sférických funkcích spojené s a Gelfandův pár kvůli Roger Godement. Jejich práce byla uvedena do finální podoby v padesátých letech 20. století Jacques Dixmier jako součást teorie Hilbertovy algebry. To nebylo až do konce šedesátých let, což bylo částečně vyvoláno výsledky v algebraická kvantová teorie pole a kvantová statistická mechanika kvůli škole Rudolf Haag, že obecnější netradiční Teorie Tomita – Takesaki byl vyvinut a ohlašoval novou éru v teorii von Neumannových algeber.

Věta o komutaci pro konečné stopy

Nechat H být Hilbertův prostor a M A von Neumannova algebra na H s jednotkovým vektorem Ω takový, že

• M Ω je hustá H
• M „Ω je hustá H, kde M 'označuje komutant z M
• (abΩ, Ω) = (baΩ, Ω) pro všechny A, b v M.

Vektor Ω se nazývá a cyklický oddělovací stopový vektor. Nazývá se stopovým vektorem, protože poslední podmínka znamená, že maticový koeficient odpovídající Ω definuje tracial Stát na M. Říká se tomu cyklický, protože Ω se generuje H jako topologická M-modul. Říká se tomu separatingbecause if AΩ = 0 pro A v M, pak dopoledne'Ω = (0), a tedy A = 0.

Z toho vyplývá, že mapa

${displaystyle JaOmega = a ^ {*} Omega}$

pro A v M definuje lineární izometrii konjugátu H se čtvercem identity J² = Já. Operátor J se obvykle nazývá operátor modulární konjugace.

To je okamžitě ověřeno JMJ a M dojíždět na podprostoru M Ω, takže

${displaystyle JMJsubseteq M ^ {prime}.}$

The komutační věta uvádí Murray a von Neumann

${displaystyle JMJ = M ^ {prime}}$

Jeden z nejjednodušších způsobů, jak to vidět^[1] je představit K.uzavření skutečného podprostoru M_sa Ω, kde M_sa označuje samoadjungované prvky v M. Z toho vyplývá, že

${displaystyle H = Koplus iK,}$

ortogonální přímý součet pro skutečnou část vnitřního součinu. Toto je pouze skutečný ortogonální rozklad pro ± 1 vlastních prostorů JNa druhou stranu pro A v M_sa a b v M '_sa, vnitřní produkt (abΩ, Ω) je skutečné, protože ab je sebe-adjunkt. Proto K. se nezmění, pokud M je nahrazen M '.

Zejména Ω je stopový vektor pro M ' a J se nezmění, pokud M je nahrazen M '. Takže opačné zahrnutí

${displaystyle JM ^ {prime} Jsubseteq M}$

následuje obrácením rolí M a M '.

Příklady

• Jedním z nejjednodušších případů komutační věty, kde jej lze snadno přímo vidět, je a konečná skupina Γ působící na konečně-dimenzionální vnitřní produktový prostor ${displaystyle ell ^ {2} (gama)}$ nalevo a napravo pravidelné reprezentace λ a ρ. Tyto unitární reprezentace jsou dány vzorci

${displaystyle (lambda (g) f) (x) = f (g ^ {- 1} x) ,,, (ho (g) f) (x) = f (xg)}$

pro F v ${displaystyle ell ^ {2} (gama)}$ a komutační věta to naznačuje

${displaystyle lambda (Gamma) ^ {prime prime} = ho (Gamma) ^ {prime} ,,, ho (Gamma) ^ {prime prime} = lambda (Gamma) ^ {prime}.}$

Operátor J je dáno vzorcem

${displaystyle Jf (g) = {overline {f (g ^ {- 1})}}}$

Přesně stejné výsledky zůstanou pravdivé, pokud je dovoleno any počitatelný diskrétní skupina.^[2] Von Neumannova algebra λ (Γ) '' se obvykle nazývá skupina von Neumannova algebra z Γ.

• Dalším důležitým příkladem je a pravděpodobnostní prostor (X, μ). The Abelian von Neumann algebra A = L^∞(X, μ) jedná o operátory násobení na H = L²(X, μ) a konstantní funkce 1 je cyklický oddělovací stopový vektor. Z toho vyplývá, že

${displaystyle A ^ {prime} = A,}$

aby A je maximální abelianská subalgebra z B(H), von Neumannova algebra všech omezené operátory na H.

• Třetí třída příkladů kombinuje výše uvedené dva. Přicházející z ergodická teorie, byla to jedna z původních von Neumannových motivací ke studiu von Neumannových algeber. Nechť (X, μ) být prostorem pravděpodobnosti a nechat Γ spočítat samostatnou skupinu transformací zachovávajících míru (X, μ). Skupina proto působí jednotně na Hilbertově prostoru H = L²(X, μ) podle vzorce

${displaystyle U_ {g} f (x) = f (g ^ {- 1} x),}$

pro F v H a normalizuje algebru Abeliana von Neumanna A = L^∞(X, μ). Nechat

${displaystyle H_ {1} = Hotimes ell ^ {2} (gama),}$

A tenzorový produkt Hilbertových prostorů.^[3] The skupinové měření prostorové konstrukce nebo zkřížený produkt von Neumannova algebra

${displaystyle M = Atimes Gamma}$

je definována jako von Neumannova algebra H₁ generované algebrou ${displaystyle Aotimes I}$ a normalizační operátoři ${displaystyle U_ {g} další lambda (g)}$.^[4]

Vektor ${displaystyle Omega = 1krát delta _ {1}}$ je cyklický oddělovací stopový vektor. Navíc modulární operátor konjugace J a komutant M „lze výslovně identifikovat.

Jedním z nejdůležitějších případů konstrukce prostoru pro měření skupin je, když Γ je skupina celých čísel Z, tj. případ jediné inverzně měřitelné transformace T. Tady T musí zachovat míru pravděpodobnosti μ. K vyřešení případu jsou vyžadovány semifinitové stopy T (nebo obecněji Γ) zachovává pouze nekonečno ekvivalent opatření; a plnou silou Teorie Tomita – Takesaki je vyžadováno, pokud ve třídě ekvivalence není neměnná míra, přestože třída ekvivalence míry je zachována T (nebo Γ).^[5][6]

Komutační věta o semifinitních stopách

Nechat M být von Neumannova algebra a M₊ soubor pozitivní operátoři v M. Podle definice,^[2] A semifinitová stopa (nebo někdy jen stopa) zapnuto M je funkční τ z M₊ do [0, ∞] takové, že

1. ${displaystyle au (lambda a + mu b) = lambda au (a) + mu au (b)}$ pro A, b v M₊ a λ, μ ≥ 0 (semilinearita);
2. ${displaystyle au left (uau ^ {*} ight) = au (a)}$ pro A v M₊ a u A nečleněný operátor v M (jednotná invariance);
3. τ je zcela aditivní na ortogonální rodiny projekcí v M (normálnost);
4. každá projekce v M je jako ortogonální přímý součet projekcí s konečnou stopou (semifinitnost).

Pokud je navíc τ nenulová při každé nenulové projekci, pak τ se nazývá a věrná stopa.

Pokud je τ věrná stopa M, nechť H = L²(M, τ) je Hilbertovo doplnění vnitřního prostoru produktu

${displaystyle M_ {0} = left {ain Mmid au left (a ^ {*} aight)$

s ohledem na vnitřní produkt

${displaystyle (a, b) = au left (b ^ {*} aight).}$

Von Neumannova algebra M působí levým násobením na H a lze jej identifikovat podle jeho obrazu. Nechat

${displaystyle Ja = a ^ {*}}$

pro A v M₀. Operátor J se opět nazývá operátor modulární konjugace a rozšiřuje se na lineární izometrii konjugátu H uspokojující J² = I. Věta o komutaci Murraye a von Neumanna

${displaystyle JMJ = M ^ {prime}}$

je v tomto případě opět platný. Tento výsledek lze přímo dokázat řadou metod,^[2] ale následuje okamžitě z výsledku pro konečné stopy opakovaným použitím následujícího elementárního faktu:

Li M₁ ⊇ M₂ jsou dvě von Neumannovy algebry takové str_n M₁ = str_n M₂ pro rodinu projekcí str_n v komutantovi z M₁ zvyšující se na Já v silná topologie operátora, pak M₁ = M₂.

Hilbertovy algebry

Teorii Hilbertovy algebry představili Godement (pod názvem „unitární algebry“), Segal a Dixmier, aby formalizovali klasickou metodu definování stopy pro operátory trasovací třídy začínající od Operátoři Hilbert – Schmidt.^[7] Aplikace v teorie reprezentace skupin přirozeně vedou k příkladům Hilbertovy algebry. Každá von Neumannova algebra obdařená semifinitní stopou má kanonickou „dokončenou“^[8] nebo „plná“ Hilbertova algebra s ní spojená; a naopak dokončená Hilbertova algebra přesně této formy může být kanonicky spojena s každou Hilbertovou algebrou. Na základě teorie Hilbertovy algebry lze odvodit komutační věty Murraye a von Neumanna; stejně dobře lze hlavní výsledky na Hilbertově algebře odvodit také přímo z vět o komutaci stop. Teorii Hilbertovy algebry zobecnil Takesaki^[6] jako nástroj pro prokázání komutačních vět pro semifinitové váhy v Teorie Tomita – Takesaki; při jednání se státy od nich lze upustit.^[1][9][10]

Definice

A Hilbertova algebra^[2][11][12] je algebra ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ s involucí X→X* a vnitřní produkt (,) takový, že

1. (A, b) = (b*, A*) pro A, b v ${displaystyle {mathfrak {A}}}$;
2. násobení vlevo pevnou A v ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ je omezený operátor;
3. * je adjoint, jinými slovy (xy, z) = (y, X*z);
4. lineární rozpětí všech produktů xy je hustá v ${displaystyle {mathfrak {A}}}$.

Příklady

• Hilbert – Schmidtovy operátory na nekonečně dimenzionálním Hilbertově prostoru tvoří Hilbertovu algebru s vnitřním součinem (A, b) = Tr (b*A).
• Pokud (X, μ) je nekonečný měrný prostor, algebra L^∞ (X) ${displaystyle cap}$ L²(X) je Hilbertova algebra s obvyklým vnitřním součinem z L²(X).
• Li M je von Neumannova algebra s věrnou semifinitní stopou τ, pak * -subalgebra M₀ výše je definována Hilbertova algebra s vnitřním součinem (A, b) = τ (b*A).
• Li G je unimodulární lokálně kompaktní skupina, konvoluční algebra L¹(G)${displaystyle cap}$L²(G) je Hilbertova algebra s obvyklým vnitřním součinem z L²(G).
• Pokud (G, K.) je Gelfandův pár, konvoluční algebra L¹(K.G/K.)${displaystyle cap}$L²(K.G/K.) je Hilbertova algebra s obvyklým vnitřním součinem z L²(G); tady L^str(K.G/K.) označuje uzavřený podprostor K.-bininvariantní funkce v L^str(G).
• Jakákoli hustá * -subalgebra Hilbertovy algebry je také Hilbertovou algebrou.

Vlastnosti

Nechat H být dokončením Hilbertova prostoru ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ s ohledem na vnitřní produkt a nechat J označit rozšíření involuce na konjugovanou lineární involuci H. Definujte reprezentaci λ a anti-reprezentaci ρ z ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ na sobě levým a pravým násobením:

${displaystyle lambda (a) x = ax ,,, ho (a) x = xa.}$

Tyto akce se neustále rozšiřují na akce na H. V tomto případě to říká komutační věta pro Hilbertovy algebry

${displaystyle lambda ({mathfrak {A}}) ^ {prime prime} = ho ({mathfrak {A}}) ^ {prime}}$

Navíc pokud

${displaystyle M = lambda ({mathfrak {A}}) ^ {prime prime},}$

von Neumannova algebra generovaná operátory λ (A), pak

${displaystyle JMJ = M ^ {prime}}$

Tyto výsledky nezávisle prokázal Godement (1954) a Segal (1953).

Důkaz se opírá o představu „ohraničených prvků“ v dokončení Hilberta H.

Prvek X v H se říká, že je ohraničený (ve vztahu k ${displaystyle {mathfrak {A}}}$) pokud je na mapě A → xa z ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ do H rozšiřuje na omezený operátor dne H, označeno λ (X). V tomto případě je jednoduché prokázat, že:^[13]

• Jx je také ohraničený prvek, označený X* a λ (X*) = λ (X)*;
• A → sekera je dán omezeným operátorem ρ (X) = Jλ (X*)J na H;
• M 'je generován ρ (X) je s X ohraničený;
• λ (X) a ρ (y) dojíždět za X, y ohraničený.

Věta o komutaci vyplývá okamžitě z posledního tvrzení. Zejména

• M = λ (${displaystyle {mathfrak {B}}}$)".

Prostor všech ohraničených prvků ${displaystyle {mathfrak {B}}}$ tvoří Hilbertovu algebru obsahující ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ jako hustá * subalgebra. Říká se, že je dokončeno nebo úplný protože jakýkoli prvek v H ohraničený vzhledem k ${displaystyle {mathfrak {B}}}$ve skutečnosti už musí ležet ${displaystyle {mathfrak {B}}}$. Funkční τ zapnuto M₊ definován

${displaystyle au (x) = (a, a)}$

-li X = λ (a) * λ (a) a ∞ jinak získá věrnou semifinitovou stopu M s

${displaystyle M_ {0} = {mathfrak {B}}.}$

Tím pádem:

Existuje jedna korespondence mezi von Neumannovými algeberami na H s věrnou semifinitovou stopou a úplnými Hilbertovými algebrami s Hilbertovým dokončením prostoru H.

Viz také

• von Neumannova algebra
• Přidružený operátor
• Teorie Tomita – Takesaki

Poznámky

Reference

• Bratteli, O .; Robinson, D.W. (1987), Operátorské algebry a kvantová statistická mechanika 1, druhé vydání, Springer-Verlag, ISBN  3-540-17093-6
• Connes, A. (1979), Sur la théorie nekomutativní de l'intégration, Lecture Notes in Mathematics, (Algèbres d'Opérateurs), Springer-Verlag, str. 19–143, ISBN  978-3-540-09512-5
• Dieudonné, J. (1976), Pojednání o analýze, sv. IIAkademický tisk, ISBN  0-12-215502-5
• Dixmier, J. (1957), Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von NeumannGauthier-Villars
• Dixmier, J. (1981), Von Neumannovy algebry, Severní Holandsko, ISBN  0-444-86308-7 (Anglický překlad)
• Dixmier, J. (1969), Les C * -algèbres et leurs représentationsGauthier-Villars, ISBN  0-7204-0762-1
• Dixmier, J. (1977), C * algebry, Severní Holandsko, ISBN  0-7204-0762-1 (Anglický překlad)
• Godement, R. (1951), „Mémoire sur la Théorie des caractères dans les groupes localement compacts unimodulaires“, J. Math. Pures Appl., 30: 1–110
• Godement, R. (1954), "Théorie des caractères. I. Algèbres unitaires", Ann. matematiky., Annals of Mathematics, 59 (1): 47–62, doi:10.2307/1969832, JSTOR  1969832
• Murray, F.J.; von Neumann, J. (1936), „Na kruzích operátorů“, Ann. matematiky., 2, Annals of Mathematics, 37 (1): 116–229, doi:10.2307/1968693, JSTOR  1968693
• Murray, F.J.; von Neumann, J. (1937), „Na prstenech operátorů II“, Trans. Amer. Matematika. Soc.Americká matematická společnost, 41 (2): 208–248, doi:10.2307/1989620, JSTOR  1989620
• Murray, F.J.; von Neumann, J. (1943), „Na prstenech operátorů IV“, Ann. matematiky., 2, Annals of Mathematics, 44 (4): 716–808, doi:10.2307/1969107, JSTOR  1969107
• Pedersen, G.K. (1979), C * algebry a jejich automorfické skupinyMonografie London Mathematical Society, 14Akademický tisk, ISBN  0-12-549450-5
• Rieffel, M. A.; van Daele, A. (1977), „Omezený přístup operátora k teorii Tomita – Takesaki“, Pacific J. Math., 69: 187–221, doi:10,2140 / pjm.1977.69.187
• Segal, I.E. (1953), „Nekomutativní rozšíření abstraktní integrace“, Ann. matematiky., Annals of Mathematics, 57 (3): 401–457, doi:10.2307/1969729, JSTOR  1969729 (Část 5)
• Simon, B. (1979), Stopové ideály a jejich aplikace, Série přednášek London Mathematical Society, 35, Cambridge University Press, ISBN  0-521-22286-9
• Takesaki, M. (2002), Teorie operátorových algeber II, Springer-Verlag, ISBN  3-540-42914-X