v matematika, Iwasawa rozklad (aka KAN z jeho vyjádření) a napůl jednoduchá Lieova skupina zobecňuje způsob čtverce skutečná matice lze psát jako produkt produktu ortogonální matice a horní trojúhelníková matice (důsledek Gram – Schmidtova ortogonalizace ). Je pojmenován po Kenkichi Iwasawa, japonský matematik kdo tuto metodu vyvinul.[1]
Definice
- G je propojený polojediný skutečný Lež skupina.
- je Lež algebra z G
- je komplexifikace z .
- θ je a Cartan involuce z
- je odpovídající Rozklad kartanu
- je maximální abelianská subalgebra o
- Σ je množina omezených kořenů , což odpovídá vlastním číslům jednající na .
- Σ+ je výběr pozitivních kořenů Σ
- je nilpotentní Lieova algebra daná jako součet kořenových prostorů Σ+
- K., A, N, jsou Lieovy podskupiny G generováno uživatelem a .
Pak Iwasawa rozklad z je
a Iwasawův rozklad G je
což znamená, že existuje analytický diffeomorfismus (ale ne skupinový homomorfismus) z potrubí do skupiny Lie , odesílání .
The dimenze z A (nebo ekvivalentně z ) se rovná skutečná hodnost z G.
Rozklady Iwasawa platí také pro některé odpojené polojednodušené skupiny G, kde K. se stává (odpojeno) maximální kompaktní podskupina za předpokladu, že centrum G je konečný.
Omezený rozklad kořenového prostoru je
kde je centralizátor v a je kořenový prostor. Číslo se nazývá multiplicita .
Příklady
Li G=SLn(R), pak můžeme vzít K. být ortogonální matice, A být pozitivní diagonální matice s determinantem 1 a N být unipotentní skupina skládající se z horních trojúhelníkových matic s 1 s na úhlopříčce.
Pro případ n=2, Iwasawa rozklad G=SL (2,R) je z hlediska
Pro symplektická skupina G=Sp (2n, R ), možný Iwasawa rozklad je z hlediska
Non-Archimedean Iwasawa rozklad
Existuje analogie výše uvedeného Iwasawa rozkladu pro a ne-Archimédovo pole : V tomto případě skupina lze zapsat jako produkt podskupiny matic vyšších trojúhelníků a podskupiny (maximální kompaktní) , kde je kruh celých čísel z .[2]
Viz také
Reference