Poincaré – Birkhoff – Wittova věta - Poincaré–Birkhoff–Witt theorem

v matematika, konkrétněji v teorii Lež algebry, Poincaré – Birkhoff – Wittova věta (nebo Věta PBW) je výsledek poskytující explicitní popis univerzální obalová algebra lže algebry. Je pojmenován po Henri Poincaré, Garrett Birkhoff, a Ernst Witt.

Podmínky Věta typu PBW a Věta PBW může také odkazovat na různé analogy původní věty, porovnávající a filtrovaná algebra k související přidružené algebře, zejména v oblasti kvantové skupiny.

Výrok věty

Připomeňme, že každý vektorový prostor PROTI přes pole má základ; toto je sada S takový, že jakýkoli prvek PROTI je jedinečný (konečný) lineární kombinace prvků S. Ve formulaci Poincaré – Birkhoff – Wittovy věty uvažujeme o bázích, z nichž prvky jsou úplně objednané nějakým vztahem, který označíme ≤.

Li L je Lež algebra přes pole K., nechť h označují kanonické K.-lineární mapa z L do univerzální obalová algebra U(L).

Teorém.^[1] Nechat L být Lie Liege Algebra K. a X zcela objednaný základ L. A kanonická monomie přes X je konečná posloupnost (X₁, X₂ ..., X_n) prvků z X který neklesá v řádu ≤, tj. X₁ ≤X₂ ≤ ... ≤ X_n. Rozšířit h ke všem kanonickým monomiálům takto: if (X₁, X₂, ..., X_n) je kanonická monomie, ať

${ displaystyle h (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) = h (x_ {1}) cdot h (x_ {2}) cdots h (x_ {n}). }$

Pak h je injekční na sadě kanonických monomiálů a na obrázku této sady ${ displaystyle {h (x_ {1}, ldots, x_ {n}) | x_ {1} leq ... leq x_ {n} }}$ tvoří základ pro U(L) jako K.-vektorový prostor.

Uvedeno poněkud odlišně, zvažte Y = h(X). Y je zcela objednáno indukovaným objednáváním z X. Sada monomiálů

${ displaystyle y_ {1} ^ {k_ {1}} y_ {2} ^ {k_ {2}} cdots y _ { ell} ^ {k _ { ell}}}$

kde y₁ <y₂ < ... < y_n jsou prvky Ya exponenty jsou nezápornéspolečně s multiplikativní jednotkou 1 tvoří základ pro U(L). Všimněte si, že jednotkový prvek 1 odpovídá prázdné kanonické monomii. Věta pak tvrdí, že tyto monomie tvoří základ pro U(L) jako vektorový prostor. Je snadné vidět, že tyto monomie se rozprostírají U(L); obsah věty je, že jsou lineárně nezávislé.

Multiplikativní struktura U(L) je určen strukturní konstanty v základu X, tj. koeficienty ${ displaystyle c_ {u, v} ^ {x}}$ takhle

${ displaystyle [u, v] = součet _ {x v X} c_ {u, v} ^ {x} ; x.}$

Tento vztah umožňuje snížit jakýkoli produkt produktu y 's k lineární kombinaci kanonických monomiálů: Určují strukturní konstanty y_iy_j - y_jy_i, tj. co dělat, pokud chcete změnit pořadí dvou prvků Y v produktu. Tato skutečnost, modulovaná indukčním argumentem o míře (nekanonických) monomiálů, ukazuje, že lze vždy dosáhnout produktů, kde jsou faktory uspořádány neklesajícím způsobem.

Větu Poincaré – Birkhoff – Witt lze interpretovat tak, že říká, že konečným výsledkem této redukce je unikátní a nezávisí na pořadí, ve kterém jeden zaměňuje sousední prvky.

Důsledek. Li L je Lieova algebra nad polem, kanonická mapa L → U(L) je injekční. Zejména jakákoli Lieova algebra nad polem je izomorfní s Lieovou subalgebrou asociativní algebry.

Obecnější kontexty

Již v nejranějších fázích se o tom vědělo K. lze nahradit jakýmkoli komutativním prstencem, pokud L je zdarma K.-module, tj. má základ, jak je uvedeno výše.

Rozšířit na případ, kdy L již není zdarma K.-module, je třeba provést přeformulování, které nepoužívá báze. To zahrnuje nahrazení prostoru monomiálů na nějakém základě znakem symetrická algebra, S(L), na L.

V případě, že K. obsahuje pole racionálních čísel, lze uvažovat o přirozené mapě z S(L) až U(L), odesílání monomial ${ displaystyle v_ {1} v_ {2} cdots v_ {n}}$. pro ${ displaystyle v_ {i} v L}$, k prvku

${ displaystyle { frac {1} {n!}} součet _ { sigma v S_ {n}} v _ { sigma (1)} v _ { sigma (2)} cdots v _ { sigma ( n)}.}$

Pak máme větu, že tato mapa je izomorfismem K.- moduly.

Ještě obecněji a přirozeněji lze uvažovat U(L) jako filtrovaná algebra, vybavené filtrací danou specifikací ${ displaystyle v_ {1} v_ {2} cdots v_ {n}}$ leží ve filtrované míře ${ displaystyle leq n}$. Mapa L → U(L) z K.-moduly kanonicky zasahují do mapy T(L) → U(L) algeber, kde T(L) je tenzorová algebra na L (například univerzální vlastností tenzorových algeber), a toto je filtrované mapové vybavení T(L) s uvedením filtrace L v prvním stupni (ve skutečnosti T(L) je klasifikován). Poté při přechodu na přidružený stupeň získá člověk kanonický morfismus T(L) → grU(L), který zabíjí živly vw - wv pro v, w ∈ L, a proto sestupuje do kanonického morfismu S(L) → grU(L). Potom lze (klasifikovanou) PBW teorému přeformulovat jako tvrzení, že za určitých hypotéz je tento konečný morfismus izomorfismem komutativních algeber.

To není pravda pro všechny K. a L (viz například poslední část Cohnova článku z roku 1961), ale v mnoha případech je to pravda. Patří mezi ně výše uvedené, kde buď L je zdarma K.-module (tedy kdykoli K. je pole), nebo K. obsahuje pole racionálních čísel. Obecněji řečeno, výše uvedená věta PBW se vztahuje i na případy, kdy (1) L je byt K.-modul, (2) L je bez kroucení jako abelianská skupina, (3) L je přímý součet cyklických modulů (nebo všech jeho lokalizací v hlavních ideálech) K. mít tuto vlastnost), nebo (4) K. je Dedekind doména. Viz například práce Higginsa z roku 1969 týkající se těchto prohlášení.

Nakonec stojí za zmínku, že v některých z těchto případů lze také získat silnější tvrzení, že kanonický morfismus S(L) → grU(L) zvedne do a K.-izomorfismus modulu S(L) → U(L), aniž by se přidružené stupně. To platí v prvních zmíněných případech, kde L je zdarma K.-modul nebo K. obsahuje pole racionálních čísel pomocí zde nastíněné konstrukce (ve skutečnosti je výsledkem a uhlígebra izomorfismus, a nejen a K.-izomorfismus modulů, vybavení obou S(L) a U(L) s jejich přirozenými strukturami uhlígebra takovými ${ displaystyle Delta (v) = proti vícekrát 1 + 1 vícekrát}$ pro proti ∈ L). Toto silnější tvrzení se však nemusí vztahovat na všechny případy v předchozím odstavci.

Historie věty

Ve čtyřech novinách z 80. let 19. století Alfredo Capelli v jiné terminologii prokázal to, co je nyní známé jako Poincaré – Birkhoff – Wittova věta v případě ${ displaystyle L = { mathfrak {gl}} _ {n},}$, Obecná lineární Lieova algebra; zatímco Poincaré to později uvedl obecněji v roce 1900.^[2] Armand Borel říká, že tyto výsledky Capelli byly „téměř na celé století zapomenut“, a nenaznačuje, že by si Poincaré byl vědom výsledku Capelli.^[2]

Ton-To a Tran ^[3] zkoumali historii věty. Zjistili, že většina zdrojů před Bourbakiho knihou z roku 1960 ji nazývá Birkhoff-Wittova věta. V návaznosti na tuto starou tradici, Fofanova^[4] ve svém encyklopedickém záznamu říká, že Poincaré získala první variantu věty. Dále říká, že teorém následně zcela prokázali Witt a Birkhoff. Zdá se, že před Bourbakiho zdroje nebyly Poincarého práce obeznámeny.

Birkhoff ^[5] a Witt ^[6] nezmiňují práci Poincaré ve svých dokumentech z roku 1937. Cartan a Eilenberg ^[7] zavolej teorém Poincaré-Wittova věta a přiřadit úplný důkaz Wittovi. Bourbaki^[8] jako první použili ve své knize z roku 1960 všechna tři jména. Knapp představuje jasnou ilustraci měnící se tradice. Ve své knize z roku 1986^[9] on tomu říká Birkhoff-Wittova věta, zatímco v jeho pozdější knize z roku 1996^[10] přepne na Poincaré-Birkhoff-Wittova věta.

Není jasné, zda byl výsledek Poincaré úplný. Ton-To a Tran^[3] dojít k závěru „Poincaré objevil a úplně předvedl tuto větu nejméně třicet sedm let před Wittem a Birkhoffem.“. Na druhou stranu na to poukazují „Poincaré dělá několik prohlášení, aniž by se obtěžoval je dokázat“. Jejich vlastní důkazy o všech krocích jsou podle jejich přijetí poměrně dlouhé. Borel uvádí, že Poincaré "víceméně prokázal teorém Poincaré-Birkhoff-Witt„v roce 1900.^[2]

Poznámky

Reference

• Birkhoff, Garrett (duben 1937). "Reprezentativnost Lieových algeber a Lieových skupin maticemi". Annals of Mathematics. 38 (2): 526–532. doi:10.2307/1968569. JSTOR  1968569.
• Borel, Armand (2001). Eseje v historii Lieových skupin a algebraických skupin. Dějiny matematiky. 21. Americká matematická společnost a londýnská matematická společnost. ISBN  978-0821802885.
• Bourbaki, Nicolas (1960). „Kapitola 1: Algèbres de Lie“. Groupes et algèbres de Lie. Éléments de mathématique. Paris: Hermann.
• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956). Homologická algebra. Princeton Mathematical Series (PMS). 19. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-04991-5.
• Cohn, P.M. (1963). „Poznámka k Birkhoffově-Wittově teorému“. J. London Math. Soc. 38: 197–203. doi:10.1112 / jlms / s1-38.1.197.
• Fofanova, T.S. (2001) [1994], „Birkhoff – Wittova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras and Reprezentations: An Elementary Introduction. Postgraduální texty z matematiky. 222 (2. vyd.). Springer. ISBN  978-3319134666.
• Higgins, P.J. (1969). „Baerovy invarianty a Birkhoff-Wittova věta“. Journal of Algebra. 11 (4): 469–482. doi:10.1016/0021-8693(69)90086-6.
• Hochschild, G. (1965). Teorie lžových skupin. Holden-Day.
• Knapp, A. W. (2001) [1986]. Teorie reprezentace polojediných skupin. Přehled na příkladech. Matematická řada z Princetonu. 36. Princeton University Press. ISBN  0-691-09089-0. JSTOR  j.ctt1bpm9sn.
• Knapp, A. W. (2013) [1996]. Skupiny lži nad rámec úvodu. Springer. ISBN  978-1-4757-2453-0.
• Poincaré, Henri (1900). "Sur les groupes continus". Transakce Cambridge Philosophical Society. 18. University Press. str. 220–5. OCLC  1026731418.
• Ton-To, T .; Tran, T.-D. (1999). „Poincarého důkaz takzvané Birkhoff-Wittovy věty“ (PDF). Rev. Histoire Math. 5: 249–284. arXiv:matematika / 9908139. Bibcode:1999math ...... 8139T. CiteSeerX  10.1.1.489.7065. Zbl  0958.01012.
• Witt, Ernst (1937). „Treue Darstellung Liescher Ringe“. J. Reine Angew. Matematika. 1937 (177): 152–160. doi:10.1515 / crll.1937.177.152. S2CID  118046494.