Identita lagranges - Lagranges identity - Wikipedia

v algebra, Lagrangeova identita, pojmenoval podle Joseph Louis Lagrange, je:^[1][2]

${ displaystyle { begin {aligned} { biggl (} sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} { biggr)} { biggl (} sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} ^ {2} { biggr)} - { biggl (} sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} { biggr)} ^ {2} & = sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ { i}) ^ {2} & { biggl (} = { frac {1} {2}} sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1, j neq i } ^ {n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} { biggr)}, end {zarovnáno}}}$

který platí pro jakékoli dvě sady {A₁, A₂, . . ., A_n} a {b₁, b₂, . . ., b_n} z nemovitý nebo komplexní čísla (nebo obecněji prvky a komutativní prsten ). Tato identita je zevšeobecněním Brahmagupta – Fibonacciho identita a speciální forma Binet – Cauchyova identita.

V kompaktnější vektorové notaci je Lagrangeova identita vyjádřena jako:^[3]

${ displaystyle | mathbf {a} | ^ {2} | mathbf {b} | ^ {2} - ( mathbf {a cdot b}) ^ {2} = součet _ { 1 leq i$

kde A a b jsou n-dimenzionální vektory se složkami, která jsou reálnými čísly. Rozšíření na komplexní čísla vyžaduje interpretaci Tečkovaný produkt jako vnitřní produkt nebo hermitovský bodový produkt. Pro složitá čísla lze Lagrangeovu identitu výslovně napsat ve tvaru:^[4]

${ displaystyle { biggl (} sum _ {k = 1} ^ {n} | a_ {k} | ^ {2} { biggr)} { biggl (} sum _ {k = 1} ^ { n} | b_ {k} | ^ {2} { biggr)} - { biggl |} sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} { biggr |} ^ { 2} = sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} | a_ {i} { overline {b}} _ {j} -a_ { j} { overline {b}} _ {i} | ^ {2}}$

zahrnující absolutní hodnota.^[5]

Protože pravá strana identity je zjevně nezáporná, znamená to Cauchyova nerovnost v konečně-dimenzionální skutečný souřadnicový prostor ℝⁿ a jeho komplexní protějšek ℂⁿ.

Geometricky, identita tvrdí, že čtverec objemu rovnoběžnostěnu překlenutého sadou vektorů je Gram determinant vektorů.

Lagrangeova identita a vnější algebra

Z hlediska klínový produkt, Lagrangeovu identitu lze zapsat

${ displaystyle (a cdot a) (b cdot b) - (a cdot b) ^ {2} = (a klín b) cdot (a klín b).}$

Lze jej tedy chápat jako vzorec, který udává délku klínového součinu dvou vektorů, což je oblast rovnoběžníku, který definují, pokud jde o bodové produkty dvou vektorů, jako

${ displaystyle | a klín b | = { sqrt {(a cdot a) (b cdot b) - (a cdot b) ^ {2}}} = { sqrt { | a | ^ {2} | b | ^ {2} - (a cdot b) ^ {2}}}.}$

Lagrangeova identita a vektorový počet

Lagrangeova identita ve třech dimenzích tvrdí, že pokud A a b jsou vektory v ℝ³ s délkami |A| a |b|, poté lze Lagrangeovu identitu zapsat pomocí křížový produkt a Tečkovaný produkt:^[6][7]

${ displaystyle | mathbf {a} | ^ {2} | mathbf {b} | ^ {2} - ( mathbf {a cdot b}) ^ {2} = | mathbf {a krát b} | ^ {2}}$

Použití definice úhlu na základě Tečkovaný produkt (viz také Cauchy – Schwarzova nerovnost ), levá strana je

${ displaystyle | mathbf {a} | ^ {2} | mathbf {b} | ^ {2} (1- cos ^ {2} theta) = | mathbf {a} | ^ {2} | mathbf {b} | ^ {2} sin ^ {2} theta}$

kde θ je úhel tvořený vektory A a b. Plocha rovnoběžníku se stranami |A| a |b| a úhel θ je v elementární geometrii známý

${ displaystyle | mathbf {a} | , | mathbf {b} | , | sin theta |,}$

takže levá strana Lagrangeovy identity je čtvercová oblast rovnoběžníku. Křížový produkt zobrazený na pravé straně je definován symbolem

${ displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} = (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) mathbf {i} + (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) mathbf {j} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) mathbf {k}}$

což je vektor, jehož složky mají stejnou velikost jako oblasti projekcí rovnoběžníku na yz, zx, a xy letadla.

Sedm rozměrů

Pro A a b jako vektory v ℝ⁷, Lagrangeova identita má stejnou formu jako v případě ℝ^{3 [8]}

${ displaystyle | mathbf {a} | ^ {2} | mathbf {b} | ^ {2} - | mathbf {a} cdot mathbf {b} | ^ {2} = | mathbf {a } times mathbf {b} | ^ {2} ,}$

Křížový produkt v 7 rozměrech však nesdílí všechny vlastnosti křížového produktu ve 3 rozměrech. Například směr a × b v 7-dimenzích mohou být stejné jako c × d Přestože C a d jsou lineárně nezávislé na A a b. Také sedmirozměrný křížový produkt není kompatibilní s Jacobi identita.^[8]

Čtveřice

A čtveřice p je definován jako součet skaláru t a vektor proti:

${ displaystyle p = t + mathbf {v} = t + x mathbf {i} + y mathbf {j} + z mathbf {k}.}$

Produkt dvou čtveřic p = t + proti a q = s + w je definováno

${ displaystyle pq = (st- mathbf {v} cdot mathbf {w}) + s mathbf {v} + t mathbf {w} + mathbf {v} times mathbf {w} .}$

Kvartérní konjugát q je definováno

${ displaystyle { overline {q}} = t- mathbf {v},}$

a norma na druhou je

${ displaystyle | q | ^ {2} = q { overline {q}} = t ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}.}$

Multiplikativita normy v kvaternionové algebře poskytuje kvaterniony p a q:^[9]

${ displaystyle | pq | = | p || q |.}$

Čtveřice p a q se nazývají imaginární, pokud je jejich skalární část nulová; ekvivalentně, pokud

${ displaystyle p = mathbf {v}, quad q = mathbf {w}.}$

Lagrangeova identita je jen multiplikativitou normy imaginárních čtveřic,

${ displaystyle | mathbf {v} mathbf {w} | ^ {2} = | mathbf {v} | ^ {2} | mathbf {w} | ^ {2},}$

protože, podle definice,

${ displaystyle | mathbf {v} mathbf {w} | ^ {2} = ( mathbf {v} cdot mathbf {w}) ^ {2} + | mathbf {v} times mathbf { w} | ^ {2}.}$

Důkaz algebraické formy

Vektorová forma vyplývá z Binet-Cauchyovy identity nastavením C_i = A_i a d_i = b_i. Druhá verze následuje tím, že necháme C_i a d_i označit komplexní konjugáty z A_i a b_i, respektive

Zde je také přímý důkaz.^[10] Rozšíření prvního funkčního období na levé straně je:

(1)   ${ displaystyle left ( sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} right) left ( sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} ^ { 2} right) = sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} = sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} b_ {k} ^ {2} + sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} + sum _ {j = 1} ^ {n-1} sum _ {i = j + 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} ,}$

což znamená, že produkt sloupce o As a řada bs získá (součet prvků) druhou mocninu abs, které lze rozdělit na úhlopříčku a dvojici trojúhelníků na obou stranách úhlopříčky.

Druhý výraz na levé straně Lagrangeovy identity lze rozšířit jako:

(2)   ${ displaystyle left ( sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} right) ^ {2} = sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} b_ {k} ^ {2} +2 sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j} ,}$

což znamená, že symetrický čtverec lze rozdělit na jeho úhlopříčku a dvojici stejných trojúhelníků na obou stranách úhlopříčky.

Chcete-li rozšířit součet na pravé straně Lagrangeovy identity, nejprve rozbalte čtverec v součtu:

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} + a_ {j} ^ {2} b_ {i} ^ {2} -2a_ {i} b_ {j} a_ {j} b_ {i}).}$

Rozdělte součet na pravou stranu,

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} + sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {j} ^ {2} b_ {i} ^ {2} -2 sum _ { i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} b_ {j} a_ {j} b_ {i}.}$

Nyní vyměňte indexy i a j druhého členu na pravé straně a permutovat b faktory třetího termínu, poskytující:

(3)   ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} + sum _ {j = 1} ^ {n-1} sum _ {i = j + 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -2 sum _ { i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j} .}$

Zpět na levou stranu Lagrangeovy identity: má dva termíny, dané v rozšířené formě rovnicemi ('1 ') a ('2 '). První člen na pravé straně rovnice ('2 ') končí zrušením prvního semestru na pravé straně rovnice ('1 '), poddajný

('1 ') - ('2 ') = ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} + sum _ {j = 1} ^ {n-1} sum _ {i = j + 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -2 sum _ {i = 1} ^ {n-1} sum _ {j = i + 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j}}$

což je stejné jako rovnice ('3 '), takže Lagrangeova identita je skutečně identitou, Q.E.D..

Důkaz Lagrangeovy identity pro komplexní čísla

Normované dělení algeber vyžaduje, aby se norma produktu rovnala produktu norem. Lagrangeova identita vykazuje tuto rovnost. Identita produktu použitá jako výchozí bod zde je důsledkem normy rovnosti produktu s produktem normy pro scatorové algebry. Tento návrh, původně představený v kontextu deformované Lorentzovy metriky, je založen na transformaci vyplývající z operace produktu a definice velikosti v hyperbolické scatorové algebře.^[11]Lagrangeovu identitu lze prokázat různými způsoby.^[4]Většina derivací používá identitu jako výchozí bod a tak či onak dokazuje, že rovnost je pravdivá. V současném přístupu je Lagrangeova identita ve skutečnosti odvozena, aniž by ji předpokládala a priori.^{[Citace je zapotřebí ]}

Nechat ${ displaystyle a_ {i}, b_ {i} v mathbb {C}}$ být komplexní čísla a overbar představuje komplexní konjugát.

Identita produktu ${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} left (1-a_ {i} { bar {a}} _ {i} -b_ {i} { bar {b}} _ {i } + a_ {i} { bar {a}} _ {i} b_ {i} { bar {b}} _ {i} right) = prod _ {i = 1} ^ {n} left (1-a_ {i} { bar {a}} _ {i} vpravo) prod _ {i = 1} ^ {n} vlevo (1-b_ {i} { bar {b}} _ {i} vpravo)}$redukuje na Lagrangeovu identitu, když se uvažuje o termínech čtvrtého řádu v řadě.

Abychom to dokázali, rozšiřte produkt na LHS identity produktu, pokud jde o řady, až do čtvrté objednávky. Za tímto účelem si připomenout, že produkty formuláře ${ displaystyle left (1 + x_ {i} right)}$ lze rozšířit z hlediska částek jako${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} left (1 + x_ {i} right) = 1 + sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} + sum _ {i$kde ${ displaystyle { mathcal {O}} ^ {3 +} (x)}$ znamená výrazy s objednávkou tři nebo vyšší ${ displaystyle x}$.

${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} left (1-a_ {i} { bar {a}} _ {i} -b_ {i} { bar {b}} _ {i } + a_ {i} { bar {a}} _ {i} b_ {i} { bar {b}} _ {i} right) = 1- součet _ {i = 1} ^ {n} left (a_ {i} { bar {a}} _ {i} + b_ {i} { bar {b}} _ {i} right) + sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} { bar {a}} _ {i} b_ {i} { bar {b}} _ {i} + sum _ {i$

Dva faktory na RHS jsou také psány z hlediska série${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} left (1-a_ {i} { bar {a}} _ {i} right) prod _ {i = 1} ^ {n} left (1-b_ {i} { bar {b}} _ {i} right) = left (1- sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} { bar {a }} _ {i} + sum _ {i$

Produkt tohoto výrazu až do čtvrtého řádu je

${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} left (1-a_ {i} { bar {a}} _ {i} right) prod _ {i = 1} ^ {n} left (1-b_ {i} { bar {b}} _ {i} right) = 1- sum _ {i = 1} ^ {n} left (a_ {i} { bar {a }} _ {i} + b_ {i} { bar {b}} _ {i} doprava) + doleva ( sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} { bar {a }} _ {i} right) left ( sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} { bar {b}} _ {i} right) + sum _ {i$

Substituce těchto dvou výsledků vede k identitě produktu

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} { bar {a}} _ {i} b_ {i} { bar {b}} _ {i} + sum _ { i$

Součin dvou konjugovaných řad lze vyjádřit jako řady zahrnující součin konjugovaných výrazů. Produkt konjugované řady je ${ displaystyle left ( sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} right) left ( sum _ {i = 1} ^ {n} { bar {x}} _ {i } right) = sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} { bar {x}} _ {i} + sum _ {i$, tím pádem

${ displaystyle left ( sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} right) left ( sum _ {i = 1} ^ {n} { overline {a_ { i} b_ {i}}} vpravo) - sum _ {i$

Podmínky posledních dvou sérií o LHS jsou seskupeny jako ${ displaystyle a_ {i} { bar {a}} _ {i} b_ {j} { bar {b}} _ {j} + a_ {j} { bar {a}} _ {j} b_ {i} { bar {b}} _ {i} -a_ {i} b_ {i} { bar {a}} _ {j} { bar {b}} _ {j} - { bar { a}} _ {i} { bar {b}} _ {i} a_ {j} b_ {j} = left (a_ {i} { bar {b}} _ {j} -a_ {j} { bar {b}} _ {i} right) left ({ bar {a}} _ {i} b_ {j} - { bar {a}} _ {j} b_ {i} right ),}$za účelem získání komplexní Lagrangeovy identity:

${ displaystyle left ( sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} right) left ( sum _ {i = 1} ^ {n} { overline {a_ { i} b_ {i}}} vpravo) + sum _ {i$

Pokud jde o moduly,

${ displaystyle left | sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} right | ^ {2} + sum _ {i$

Lagrangeova identita pro komplexní čísla byla získána z přímé produktové identity. Odvození skutečností je samozřejmě ještě stručnější. Protože Cauchy-Schwarzova nerovnost je zvláštním případem Lagrangeovy identity,^[4] thisproof je dalším způsobem, jak dosáhnout CS nerovnosti. Výrazy vyššího řádu v sérii vytvářejí nové identity.

Viz také

• Brahmagupta – Fibonacciho identita
• Lagrangeova identita (problém s hraniční hodnotou)
• Binet – Cauchyova identita

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Lagrangeova identita“. MathWorld.