Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace.(Květen 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)
v matematika, Trojitý produkt Jacobi je matematická identita:
Základ Jacobiho důkazu spočívá na Eulerově věta o pětiúhelníku, což je sám o sobě specifický případ Jacobi Triple Product Identity.
Nechat a . Pak máme
Jacobi Triple Product také umožňuje Jacobi funkce theta psát jako nekonečný produkt takto:
Nechat a
Pak funkce Jacobi theta
lze napsat ve formě
Pomocí Jacobi Triple Product Identity pak můžeme zapsat funkci theta jako produkt
K vyjádření trojitého produktu Jacobi se používá mnoho různých notací. Při vyjádření pojmem to nabývá stručné podoby q-Pochhammer symboly:
kde je nekonečný q-Pochhammer symbol.
Má obzvláště elegantní formu, když je vyjádřena ve smyslu Funkce Ramanujan theta. Pro lze to napsat jako
Důkaz
Nechat pak . Od té doby FX je meromorfní pro | y | > 0 má sérii Laurent který uspokojuje aby a tudíž
Hodnocení je techničtější, jednou z metod je nastavení y = 1 a ukázat čitatele i jmenovatele jsou váha 1/2 modulární pod , protože jsou také 1-periodické a ohraničené v horní polovině roviny, musí být podíl konstantní, takže .
Jednoduchý důkaz poskytuje G. E. Andrews na základě dvou identit Eulera.[1] Analytický případ viz Apostol, jehož první vydání bylo vydáno v roce 1976. Rovněž viz odkazy níže, kde je uveden důkaz motivovaný fyzikou kvůli Borcherdsovi[Citace je zapotřebí ].