Rovinný ternární kruh - Planar ternary ring - Wikipedia

v matematika, an algebraická struktura ${ displaystyle (R, T)}$ skládající se z neprázdné množiny ${ displaystyle R}$ a ternární mapování ${ displaystyle T dvojtečka R ^ {3} do R ,}$ lze nazvat a ternární systém. A rovinný ternární kruh (PTR) nebo ternární pole je speciální typ ternárního systému, který používá Hall (1943) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFHall1943 (Pomoc) konstruovat projektivní roviny pomocí souřadnic. Rovinný ternární prstenec není prsten v tradičním smyslu, ale jakýkoli pole dává planární ternární kruh, kde je operace ${ displaystyle T}$ je definováno ${ displaystyle T (a, b, c) = ab + c}$. Můžeme si tedy představit planární ternární kruh jako zobecnění pole, kde ternární operace nahradí sčítání i násobení. Ve skutečnosti je v počítačové architektuře tato ternární operace známá, například jako operace násobení – akumulace (MAC).

V terminologii existují velké rozdíly. Rovinné ternární prstence nebo ternární pole, jak jsou zde definována, byly v literatuře nazývány jinými jmény a termín „rovinný ternární kruh“ může znamenat variantu zde definovaného systému. Termín "ternární kruh" často znamená rovinný ternární kruh, ale může také jednoduše znamenat ternární systém.

Definice

A rovinný ternární kruh je struktura ${ displaystyle (R, T)}$ kde ${ displaystyle R}$ je sada obsahující alespoň dva odlišné prvky zvané 0 a 1 a ${ displaystyle T dvojtečka R ^ {3} do R ,}$ je mapování, které splňuje těchto pět axiomů:

1. ${ displaystyle T (a, 0, b) = T (0, a, b) = b, quad pro všechny a, b v R}$;
2. ${ displaystyle T (1, a, 0) = T (a, 1,0) = a, quad forall a v R}$;
3. ${ displaystyle forall a, b, c, d in R, a neq c}$existuje jedinečný ${ displaystyle x v R}$ takové, že: ${ displaystyle T (x, a, b) = T (x, c, d) ,}$;
4. ${ displaystyle for a, b, c v R}$existuje jedinečný ${ displaystyle x v R}$, takový, že ${ displaystyle T (a, b, x) = c ,}$; a
5. ${ displaystyle forall a, b, c, d in R, a neq c}$, rovnice ${ displaystyle T (a, x, y) = b, T (c, x, y) = d ,}$ mít jedinečné řešení ${ displaystyle (x, y) v R ^ {2}}$.

Když ${ displaystyle R}$ je konečný, třetí a pátý axiom jsou ekvivalentní v přítomnosti čtvrtého.^[1]

Žádný další pár (0 ', 1') v ${ displaystyle R ^ {2}}$ lze najít takové, že ${ displaystyle T}$ stále splňuje první dva axiomy.

Binární operace

Přidání

Definovat ${ displaystyle a oplus b = T (a, 1, b)}$.^[2] Struktura ${ displaystyle (R, oplus)}$ je smyčka s prvek identity 0.

Násobení

Definovat ${ displaystyle a otimes b = T (a, b, 0)}$. Sada ${ displaystyle R_ {0} = R setminus {0 } ,}$ je uzavřeno v rámci tohoto násobení. Struktura ${ displaystyle (R_ {0}, otimes)}$ je také smyčka s prvkem identity 1.

Lineární PTR

Rovinný ternární kruh ${ displaystyle (R, T)}$ se říká, že je lineární -li ${ displaystyle T (a, b, c) = (a otimes b) oplus c, quad forall a, b, c v R}$Například rovinný ternární kruh spojený s a quasifield je (konstrukčně) lineární.^{[Citace je zapotřebí ]}

Spojení s projektivními rovinami

Souřadnice projektivní roviny k vytvoření rovinného ternárního kruhu

Dostal rovinný ternární kruh ${ displaystyle (R, T)}$, lze sestrojit a projektivní rovina s bodovou sadou P a sada řádků L jak následuje:^[3][4] (Všimněte si, že ${ displaystyle infty}$ je zvláštní symbol, který není v ${ displaystyle R}$.)

Nechat

• ${ displaystyle P = {(a, b) | a, b v R } pohár {(a) | a v R } pohár {( infty) }}$, a
• ${ displaystyle L = {[a, b] | a, b v R } pohár {[a] | a v R } pohár {[ infty] }}$.

Pak definujte, ${ displaystyle forall a, b, c, d in R}$, vztah výskytu ${ displaystyle I}$ Takto:

${ displaystyle ((a, b), [c, d]) v I Longleftrightarrow T (a, c, d) = b}$

${ displaystyle ((a, b), [c]) v I Longleftrightarrow a = c}$

${ displaystyle ((a, b), [ infty]) notin I}$

${ displaystyle ((a), [c, d]) v I Longleftrightarrow a = c}$

${ displaystyle ((a), [c]) notin I}$

${ displaystyle ((a), [ infty]) v I}$

${ displaystyle (( infty), [c, d]) notin I}$

${ displaystyle (( infty), [a]) v I}$

${ displaystyle (( infty), [ infty]) v I}$

Každá projektivní rovina může být konstruována tímto způsobem, počínaje vhodným rovinným ternárním prstencem. Dva neizomorfní planární ternární prstence však mohou vést ke konstrukci izomorfních projektivních rovin.

Naopak, vzhledem k jakékoli projektivní rovině π, výběrem čtyř označených bodů Ó, E, u, a proti, z nichž žádné tři nesmějí ležet na stejné přímce, lze souřadnice vložit v π, takže těmto zvláštním bodům se dají souřadnice: Ó = (0,0), E = (1,1), proti = (${ displaystyle infty}$) a u = (0).^[5] Ternární operace je nyní definována na souřadnicových symbolech (kromě ${ displaystyle infty}$) od y = T (X,A,b) právě tehdy, když bod (X,y) leží na spojnici (A) s (0,b). Axiomy definující projektivní rovinu se používají k prokázání, že to dává rovinný ternární kruh.

Linearita PTR je ekvivalentní s udržováním geometrických podmínek v přidružené projektivní rovině.^[6]

Související algebraické struktury

PTR, které splňují další algebraické podmínky, dostávají jiná jména. Tyto názvy nejsou v literatuře používány jednotně. Následující seznam jmen a vlastností je převzat z Dembowski (1968, str. 129).

Lineární PTR, jehož aditivní smyčka je asociativní (a tedy a skupina ), se nazývá a kartézská skupina. Ve kartézské skupině mapování

${ displaystyle x longrightarrow -x otimes a + x otimes b}$, a${ Displaystyle x longrightarrow a otimes x-b otimes x}$

musí to být permutace kdykoli ${ displaystyle a neq b}$. Vzhledem k tomu, že kartézské skupiny jsou přidávanými skupinami, vrátíme se k použití jednoduchého znaku „+“ pro aditivní operaci.

A quasifield je kartézská skupina, která splňuje správné distribuční právo:${ displaystyle (x + y) otimes z = x otimes z + y otimes z}$Přidání do jakéhokoli pole quasifield je komutativní.

A polopole je quasifield, který také splňuje levý distribuční zákon:${ Displaystyle x otimes (y + z) = x otimes y + x otimes z.}$

A rovinný blízko pole je quasifield, jehož multiplikativní smyčka je asociativní (a tedy skupina). Ne všechna blízká pole jsou plochá blízká pole.

Poznámky

Reference

• Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (1968). Úvod do konečných projektivních rovin. New York: Holt, Rinehart a Winston.
• Artzy, Rafaeli (2008) [1965], „Kapitola 4 Axiomatická rovinná geometrie“, Lineární geometrieDover, ISBN  978-0-486-46627-9
• Benz, Walter; Ghalieh, Khuloud (1998), "Groupoidy spojené s ternárním prstencem projektivní roviny", Journal of Geometry, 61 (1–2): 17–31, doi:10.1007 / bf01237490
• Dembowski, Peter (1968), Konečné geometrie, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  3-540-61786-8, PAN  0233275
• Grari, A. (2004), „Nutná a dostatečná podmínka, aby dva rovinné ternární prstence indukovaly izomorfní projektivní roviny“, Oblouk. Matematika. (Basilej), 83 (2): 183–192, doi:10.1007 / s00013-003-4580-9
• Hall, Jr., Marshall (1943), „Projektivní letadla“, Transakce Americké matematické společnosti Americká matematická společnost, 54 (2): 229–277, doi:10.2307/1990331, ISSN  0002-9947, JSTOR  1990331, PAN  0008892
• Hall, Jr., Marshall (1959), Teorie skupin, New York: The MacMillan Company, PAN  0103215
• Hughes, D.R. (1955), „Aditivní a multiplikativní smyčky rovinných ternárních prstenců“, Proceedings of the American Mathematical Society, 6 (6): 973–980, doi:10.1090 / s0002-9939-1955-0073568-8, PAN  0073568
• Hughes, Daniel R .; Piper, Fred C. (1973), Projektivní roviny, Postgraduální texty z matematiky (6), New York: Springer-Verlag, ISBN  0387900446, PAN  0333959
• Martin, G.E. (1967), „Projektivní roviny a izotopové ternární prstence“, Americký matematický měsíčník, 74 (10): 1185–1195, doi:10.2307/2315659, hdl:10338.dmlcz / 101204, JSTOR  2315659, PAN  0223972
• Pickert, Günter (1975), Projektivní Ebenen, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  3540072802
• Stevenson, Frederick (1972), Projektivní roviny, San Francisco: W.H. Freeman and Company, ISBN  071670443-9