Quasifield - Quasifield

v matematika, a quasifield je algebraická struktura ${displaystyle (Q, +, cdot)}$ kde + a ${displaystyle cdot}$ jsou binární operace na Q, podobně jako a dělící prsten, ale s některými slabšími podmínkami. Všechny dělící kruhy, a tedy všechny pole, jsou quasifields.

Definice

Quasifield ${displaystyle (Q, +, cdot)}$ je struktura, kde + a ${displaystyle cdot,}$ jsou binární operace na Q, splňující tyto axiomy:

${displaystyle (Q, +),}$ je skupina
${displaystyle (Q_ {0}, cdot)}$ je smyčka, kde ${displaystyle Q_ {0} = Qsetminus {0},}$
${displaystyle acdot (b + c) = acdot b + acdot cquad pro všechny a, b, cin Q}$ (vlevo, odjet distribučnost )
${displaystyle acdot x = bcdot x + c}$ má právě jedno řešení ${displaystyle forall a, b, cin Q, aeq b}$

Přesně řečeno, toto je definice a vlevo, odjet quasifield. A že jo quasifield je podobně definován, ale místo toho uspokojuje správnou distribučnost. Quasifield splňující oba distributivní zákony se nazývá a polopole, ve smyslu, ve kterém je tento výraz používán projektivní geometrie.

I když se to nepředpokládá, lze dokázat, že axiomy naznačují, že skupina aditiv ${displaystyle (Q, +)}$ je abelian. Tedy, když se odkazuje na abelian quasifield, jeden to znamená ${displaystyle (Q_ {0}, cdot)}$ je abelian.

Jádro

Jádro K quasifield Q je množina všech prvků c tak, že:

${displaystyle acdot (bcdot c) = (acdot b) cdot cquad forall a, bin Q}$
${displaystyle (a + b) cdot c = (acdot c) + (bcdot c) quad forall a, bin Q}$

Omezení binárních operací + a ${displaystyle cdot}$ na K, lze to ukázat ${displaystyle (K, +, cdot)}$ je dělící prsten.

Nyní lze vytvořit vektorový prostor Q nad K s následujícím skalárním násobením: ${displaystyle votimes l = vcdot lquad forall vin Q, lin K}$

Jako prstenec konečného dělení je konečné pole od Wedderburnova věta, pořadí jádra konečného kvasifieldu je a hlavní síla. Konstrukce vektorového prostoru znamená, že řád jakéhokoli konečného kvasifieldu musí být také primární mocností.

Příklady

Všechny dělící kruhy, a tedy všechna pole, jsou kvázifieldy.

Nejmenší kvasifieldy jsou abelianské a jedinečné. Jsou to konečná pole objednávek do osmi včetně. Nejmenší kvasifieldy, které nejsou dělícími kruhy, jsou čtyři neabelovské kvasifieldy řádu devět; jsou prezentovány v Hall, Jr. (1959) a Weibel (2007).

Projektivní roviny

Vzhledem k tomu, quasifield ${displaystyle Q}$ , definujeme ternární mapu ${displaystyle scriptstyle Tcolon Q imes Q imes Q o Q,}$ podle

${displaystyle T (a, b, c) = acdot b + cquad pro všechny a, b, cin Q}$

Jeden to pak může ověřit ${displaystyle (Q, T)}$ splňuje axiomy a rovinný ternární kruh. Přidruženo k ${displaystyle (Q, T)}$ je jeho odpovídající projektivní rovina. Takto konstruované projektivní roviny jsou charakterizovány následovně; podrobnosti tohoto vztahu jsou uvedeny v Hall, Jr. (1959). Projektivní rovina je a překladová rovina vzhledem k linii v nekonečnu, a to pouze tehdy, jsou-li některé (nebo všechny) její přidružené rovinné ternární prstence pravými kvasifieldy. Říká se tomu a smyková rovina pokud některý (nebo všechny) jeho ternární prstence zůstanou kvasifieldy.

Rovina neurčuje jednoznačně prstenec; všechny 4 nonabelianské kvasifieldy řádu 9 jsou ternární prstence pro jedinečnou nedesarguesovskou překladovou rovinu řádu 9. Tyto se liší v základní čtyřúhelník slouží ke konstrukci roviny (viz Weibel 2007).

Dějiny

Quasifields se v literatuře před rokem 1975 nazývaly „systémy Veblen-Wedderburn“, protože byly poprvé studovány v článku 1907 (Veblen-Wedderburn 1907) O. Veblen a J. Wedderburn. Průzkumy kvázifieldů a jejich aplikací do projektivní roviny lze najít v Hall, Jr. (1959) a Weibel (2007).

Reference

Hall, Jr., Marshall (1959), Teorie grup, Macmillan, LCCN 59005035, PAN 0103215.
Veblen, O .; Wedderburn, J.H.M. (1907), „Nedesarguesiánské a nepaskalské geometrie“ (PDF), Transakce Americké matematické společnosti, 8 (3): 379–388, doi:10.2307/1988781, JSTOR 1988781
Weibel, Charles (2007), „Průzkum nedesarguesovských letadel“, Oznámení AMS, 54 (10): 1294–1303

Viz také

externí odkazy

Quasifields autor: Hauke Klein.