Hyperbolické souřadnice - Hyperbolic coordinates

Hyperbolické souřadnice vynesené na euklidovské rovině: všechny body na stejném modrém paprsku sdílejí stejnou hodnotu souřadnic ua všechny body na stejné červené hyperbole sdílejí stejnou hodnotu souřadnic proti.

v matematika, hyperbolické souřadnice jsou způsob lokalizace bodů v kvadrantu I Kartézské letadlo

${ displaystyle {(x, y) : x> 0, y> 0 } = Q}$.

Hyperbolické souřadnice mají hodnoty v hyperbolická rovina definováno jako:

${ displaystyle HP = {(u, v): u in mathbb {R}, v> 0 }}$.

Tyto souřadnice v HP jsou užitečné pro studium logaritmický srovnání přímý poměr v Q a měření odchylek od přímé úměrnosti.

Pro ${ displaystyle (x, y)}$ v ${ displaystyle Q}$ vzít

${ displaystyle u = ln { sqrt { frac {x} {y}}}}$

a

${ displaystyle v = { sqrt {xy}}}$.

Parametr u je hyperbolický úhel do (x, y) a proti je geometrický průměr z X a y.

Inverzní mapování je

${ displaystyle x = ve ^ {u}, quad y = ve ^ {- u}}$.

Funkce ${ displaystyle Q rightarrow HP}$ je průběžné mapování, ale ne analytická funkce.

Alternativní metrika kvadrantu

Od té doby HP nese metrický prostor struktura Poincarého polorovinový model z hyperbolická geometrie bijektivní korespondence ${ displaystyle Q leftrightarrow HP}$ přináší tuto strukturu Q. Lze jej uchopit pomocí pojmu hyperbolické pohyby. Od té doby geodetika v HP jsou půlkruhy se středy na hranici, geodetika v Q jsou získány z korespondence a ukáže se, že jsou paprsky od původu nebo okvětní lístek -tvarovaná křivky opuštění a opětovné zadání původu. A hyperbolický pohyb HP daný posunem zleva doprava odpovídá a zmáčknout mapování aplikován na Q.

Od té doby hyperboly v Q odpovídají čarám rovnoběžným s hranicí HP, oni jsou horocykly v metrické geometrii Q.

Pokud se vezme v úvahu pouze Euklidovská topologie roviny a topologie zděděná Q, pak ohraničující čáry Q vypadat blízko Q. Pohled z metrického prostoru HP ukazuje, že otevřená sada Q má pouze původ jako hranice při pohledu přes korespondenci. Zvažte paprsky z počátku v Qa jejich obrazy, vertikální paprsky z hranice R z HP. Jakýkoli bod v HP je nekonečná vzdálenost od bodu p na úpatí kolmo na R, ale posloupnost bodů na této kolmici může mít tendenci ve směru p. Odpovídající sekvence v Q má sklon k paprsku k původu. Stará euklidovská hranice Q již není relevantní.

Aplikace ve fyzice

Základní fyzické proměnné někdy souvisí s rovnicemi formy k = x y. Například, PROTI = Já R. (Ohmův zákon ), P = V I. (elektrická energie ), P V = k T (zákon o ideálním plynu ), a F λ = proti (vztah vlnová délka, frekvence a rychlost ve vlnovém médiu). Když k je konstantní, ostatní proměnné leží na hyperbole, což je a horocykl v příslušném Q kvadrant.

Například v termodynamika the izotermický proces výslovně sleduje hyperbolickou cestu a práce lze interpretovat jako změnu hyperbolického úhlu. Podobně daná hmotnost M plynu se měnícím se objemem bude mít proměnnou hustotu δ = M / Va může být napsán zákon o ideálním plynu P = k T δ tak, že an izobarický proces sleduje hyperbolu v kvadrantu absolutní teploty a hustoty plynu.

Pro hyperbolické souřadnice v teorie relativity viz Dějiny sekce.

Statistické aplikace

• Srovnávací studie hustota obyvatel v kvadrantu začíná výběrem referenčního národa, regionu nebo městský oblast, jejíž počet obyvatel a plocha se bere jako bod (1,1).
• Analýza volené zastoupení regionů v zastupitelská demokracie začíná výběrem standardu pro srovnání: konkrétní zastoupená skupina, jejíž velikost a velikost břidlice (zástupců) stojí (1,1) v kvadrantu.

Ekonomické aplikace

Existuje mnoho přirozených aplikací hyperbolických souřadnic ekonomika:

• Analýza měny směnný kurz kolísání:

Sady měny jednotek ${ displaystyle x = 1}$. Mena ceny odpovídá ${ displaystyle y}$. Pro

${ displaystyle 0$

shledáváme ${ displaystyle u> 0}$, kladný hyperbolický úhel. Pro kolísání vezměte novou cenu

${ displaystyle 0$.

Pak změna u je:

${ displaystyle Delta u = ln { sqrt { frac {y} {z}}}}$.

Kvantifikace fluktuace směnného kurzu prostřednictvím hyperbolického úhlu poskytuje objektivní, symetrický a konzistentní opatření. Množství ${ displaystyle Delta u}$ je délka posunu zleva doprava v pohledu hyperbolického pohybu na fluktuaci měny.

• Analýza inflace nebo deflace cen a koš spotřebního zboží.
• Kvantifikace změny podílu na trhu v roce 2006 duopol.
• Firemní rozdělení akcií proti zpětnému odkupu akcií.

Dějiny

The geometrický průměr je starodávný koncept, ale hyperbolický úhel byl vyvinut v této konfiguraci uživatelem Gregoire de Saint-Vincent. Pokoušel se hrát kvadratura vzhledem k obdélníkové hyperbole y = 1/X. Tou výzvou bylo postavení otevřený problém od té doby Archimedes provedl kvadratura paraboly. Křivka prochází (1,1) tam, kde je naproti původ (matematika) v jednotka čtverec. Ostatní body na křivce lze zobrazit jako obdélníky mít stejné plocha jako toto náměstí. Takový obdélník lze získat aplikací a zmáčknout mapování na náměstí. Další způsob zobrazení těchto mapování je pomocí hyperbolické sektory. Počínaje (1,1) hyperbolický sektor jednotkové oblasti končí na (e, 1 / e), kde E je 2,71828…, podle vývoje Leonhard Euler v Úvod do analýzy nekonečna (1748).

Vezmeme-li (e, 1 / e) jako vrchol obdélníku jednotkové plochy a opětovné použití zmáčknutí, které ji vytvořilo z jednotkového čtverce, získá ${ displaystyle (e ^ {2}, e ^ {- 2}).}$ Obecně n stlačuje výnosy ${ displaystyle (e ^ {n}, e ^ {- n}).}$ A. A. de Sarasa zaznamenal podobné pozorování G. de Saint Vincenta, že s nárůstem abscissas v a geometrické řady, součet ploch proti hyperbole se zvýšil v aritmetická řada a tato vlastnost odpovídala logaritmus již se používá k omezení množení na sčítání. Eulerova práce vytvořila přirozený logaritmus standardní matematický nástroj a povýšil matematiku do sféry transcendentální funkce. Hyperbolické souřadnice jsou vytvořeny na původním obrázku G. de Saint-Vincenta, který poskytl kvadraturu hyperboly a překročil hranice algebraické funkce.

v speciální relativita důraz je kladen na 3-dimenzionální nadpovrch v budoucnosti časoprostoru, kde po dané rychlosti dorazí různé rychlosti správný čas. Scott Walter^[1] vysvětluje, že v listopadu 1907 Hermann Minkowski narážel na známou trojrozměrnou hyperbolickou geometrii, když mluvil s Göttingenskou matematickou společností, ale ne na čtyřrozměrnou.^[2]Na počest Wolfgang Rindler, autor standardní úvodní vysokoškolské učebnice relativity, se nazývají hyperbolické souřadnice časoprostoru Rindlerovy souřadnice.

Reference

• David Betounes (2001) Diferenciální rovnice: teorie a aplikace, strana 254, Springer-TELOS, ISBN  0-387-95140-7 .
• Scott Walter (1999). „Neeuklidovský styl minkowské relativity“. Kapitola 4 v: Jeremy J. Gray (ed.), Symbolický vesmír: geometrie a fyzika 1890-1930, str. 91–127. Oxford University Press. ISBN  0-19-850088-2.