Pozitivní reálná funkce - Positive-real function

Pozitivní reálné funkce, často zkráceno na PR funkce nebo PRF, jsou druhem matematické funkce, která nejprve vznikla v elektrické syntéza sítě. Oni jsou komplexní funkce, Z(s), komplexní proměnné, s. A racionální funkce je definována jako vlastnost PR, pokud má kladnou skutečnou část a je analytická v pravé polorovině komplexní roviny a přijímá skutečné hodnoty na skutečné ose.

V symbolech je definice,

V analýze elektrických sítí Z(s) představuje impedance výraz a s je komplexní frekvence proměnná, často vyjádřená jako její skutečná a imaginární část;

za jakých podmínek lze podmínku PR uvést;

Důležitost stavu PR spočívá v podmínkách realizovatelnosti. Z(s) je realizovatelný jako jeden port racionální impedance právě tehdy, pokud splňuje podmínku PR. Realizovatelné v tomto smyslu znamená, že impedanci lze sestrojit z konečného (tedy racionálního) počtu diskrétních ideálů pasivní lineární prvky (rezistory, induktory a kondenzátory v elektrické terminologii).[1]

Definice

Termín pozitivní-skutečná funkce byl původně definován[1] Otto Brune popsat jakoukoli funkci Z(s) který[2]

  • je Racionální (podíl dvou polynomy ),
  • je skutečné kdy s je skutečný
  • má pozitivní skutečnou část, když s má pozitivní skutečnou část

Mnoho autorů striktně dodržuje tuto definici výslovným požadavkem racionality,[3] nebo omezením pozornosti na racionální funkce, alespoň v prvním případě.[4] Podobný obecnější stav, který se neomezuje pouze na racionální funkce, však dříve považoval Cauer,[1] a někteří autoři tento termín připisují pozitivní-skutečný k tomuto typu podmínky, zatímco jiní to považují za zobecnění základní definice.[4]

Dějiny

Podmínku poprvé navrhl Wilhelm Cauer (1926)[5] který určil, že jde o nezbytnou podmínku. Otto Brune (1931)[2][6] razil termín pozitivní-reálný pro tento stav a dokázal, že je pro uskutečnitelnost nezbytný i dostatečný.

Vlastnosti

  • Součet dvou PR funkcí je PR.
  • The složení dvou PR funkcí je PR. Zejména pokud Z(s) je PR, pak také 1 /Z(s) a Z(1/s).
  • Všechny nuly a póly funkce PR jsou v levé poloviční rovině nebo na její hranici imaginární osy.
  • Libovolné póly a nuly na imaginární ose jsou jednoduchý (mít multiplicita jednoho).
  • Jakékoli póly na imaginární ose mají skutečně přísně pozitivní zbytky a podobně u všech nul na imaginární ose má funkce skutečnou přísně pozitivní derivaci.
  • Přes pravou poloviční rovinu se minimální hodnota skutečné části PR funkce vyskytuje na imaginární ose (protože skutečná část analytické funkce představuje harmonická funkce nad letadlem, a proto vyhovuje maximální princip ).
  • Pro Racionální Funkce PR, počet pólů a počet nul se liší maximálně o jeden.

Zobecnění

Někdy je provedeno několik zevšeobecnění se záměrem charakterizovat imitance funkce širší třídy pasivních lineárních elektrických sítí.

Iracionální funkce

Impedance Z(s) sítě skládající se z nekonečného počtu komponent (jako je napůl nekonečný) žebřík ), nemusí být racionální funkcí s, a zejména může mít odbočné body na negativní reálné s-osa. Aby bylo možné tyto funkce zahrnout do definice PR, je proto nutné uvolnit podmínku, aby byla funkce reálná pro všechna reálná s, a požadovat pouze tehdy, když s je pozitivní. Tedy možná iracionální funkce Z(s) je PR právě tehdy

  • Z(s) je analytický v otevřené pravé polovině s-letadlo (Re [s] > 0)
  • Z(s) je skutečné kdy s je pozitivní a skutečný
  • Re[Z(s)] ≥ 0, když Re [s] ≥ 0

Někteří autoři vycházejí z této obecnější definice a poté ji upřesňují na racionální případ.

Maticové funkce

Lineární elektrické sítě s více než jednou přístav mohou být popsány impedance nebo vstupní matice. Takže rozšířením definice PR na funkce s hodnotou matice lze lineární víceportové sítě, které jsou pasivní, odlišit od těch, které nejsou. Možná iracionální funkce s hodnotou matice Z(s) je PR právě tehdy

  • Každý prvek Z(s) je analytický v otevřené pravé polovině s-letadlo (Re [s] > 0)
  • Každý prvek Z(s) je skutečné kdy s je pozitivní a skutečný
  • The Hermitian část (Z(s) + Z†(s)) / 2 ze dne Z(s) je pozitivní semi-definitivní když Re [s] ≥ 0

Reference

  1. ^ A b C E. Cauer, W. Mathis a R. Pauli, „Život a dílo Wilhelma Cauera (1900 - 1945)“, Sborník ze čtrnáctého mezinárodního sympozia matematické teorie sítí a systémů (MTNS2000), Perpignan, červen 2000. Citováno online 19. září 2008.
  2. ^ A b Brune, O, „Syntéza konečné sítě se dvěma terminály, jejíž impedance hnacího bodu je předepsanou funkcí frekvence“, disertační práce, MIT, 1931. Citováno online 3. června 2010.
  3. ^ Bakshi, Uday; Bakshi, Ajay (2008). Teorie sítě. Pune: Technické publikace. ISBN  978-81-8431-402-1.
  4. ^ A b Wing, Omar (2008). Teorie klasických obvodů. Springer. ISBN  978-0-387-09739-8.
  5. ^ Cauer, W, "Die Verwirklichung der Wechselstromwiderst ände vorgeschriebener Frequenzabh ängigkeit", Archiv pro Elektrotechnik, díl 17, str. 355–388, 1926.
  6. ^ Brune, O, „Syntéza konečné dvoukoncové sítě, jejíž impedance hnacího bodu je předepsanou funkcí frekvence“, J. Math. a Phys., svazek 10, str. 191–236, 1931.