Fransén – Robinsonova konstanta - Fransén–Robinson constant

The Fransén – Robinsonova konstanta, někdy označován F, je matematická konstanta která představuje oblast mezi grafem souboru reciproční funkce gama, 1 / Γ (X)a pozitivní X osa. To znamená

${displaystyle F = int _ {0} ^ {infty} {frac {1} {Gamma (x)}}, dx = 2,8077702420285 ...}$

Jiné výrazy

Konstanta Fransén-Robinson má číselnou hodnotu F = 2.8077702420285... (sekvence A058655 v OEIS ), a pokračující zlomek reprezentace [2; 1, 4, 4, 1, 18, 5, 1, 3, 4, 1, 5, 3, 6, ...] (sekvence A046943 v OEIS ). Konstanta je poněkud blízko Eulerovo číslo E = 2.71828... . Tuto skutečnost lze vysvětlit aproximací integrálu součtem:

${displaystyle F = int _ {0} ^ {infty} {frac {1} {Gamma (x)}}, dxaptický součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {gama (n)}} = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {1} {n!}},}$

a tato částka je standardní řadou pro E. Rozdíl je

${displaystyle F-e = int _ {0} ^ {infty} {frac {e ^ {- x}} {pi ^ {2} + (ln x) ^ {2}}}, dx}$

nebo ekvivalentně

${displaystyle F = e + {frac {1} {pi}} int _ {- pi / 2} ^ {pi / 2} e ^ {pi an heta} e ^ {- e ^ {pi an heta}}, d heta .}$

Fransén-Robinsonova konstanta může být také vyjádřena pomocí Funkce Mittag-Leffler jako limit

${displaystyle F = lim _ {alpha o 0} alpha E_ {alpha, 0} (1).}$

Není však známo, zda F lze vyjádřit v uzavřená forma z hlediska dalších známých konstant.

Historie výpočtu

Bylo vynaloženo značné úsilí na výpočet numerické hodnoty konstanty Fransén-Robinson s vysokou přesností.

Hodnotu vypočítal Herman P. Robinson s použitím 11 bodů na 36 desetinných míst Newton – Cotesova kvadratura, na 65 číslic od A. Franséna pomocí Součet Euler – Maclaurin a na 80 číslic Fransén a S. Wrigge pomocí Taylor série a další metody. William A. Johnson vypočítal 300 číslic a Pascal Sebah dokázal vypočítat 600 číslic pomocí Clenshaw – Curtisova integrace.^{[Citace je zapotřebí ]}

Reference

• Fransen, Arne (1979). "Přesné stanovení inverzního integrálu gama". BIT. 19 (1): 137–138. doi:10.1007 / BF01931232. PAN  0530126.

• Fransen, Arne; Wrigge, Staffan (1980). "Vysoce přesné hodnoty funkce gama a některých souvisejících koeficientů". Matematika výpočtu. 34 (150): 553–566. doi:10.2307/2006104. PAN  0559204.

• Fransen, Arne (1981). „Dodatek a oprava k“ Vysoce přesné hodnoty funkce gama a některých souvisejících koeficientů"". Matematika výpočtu. 37 (155): 233–235. doi:10.2307/2007517. PAN  0616377.

• Finch, Steve. „Fransén – Robinson Constant“.^{[mrtvý odkaz ]}

• Weisstein, Eric W. „Fransén – Robinson Constant“. MathWorld.

• Borwein, Jonathan; Bailey, David; Girgensohn, Roland (2003). Experimentování v matematice - výpočetní cesty k objevu. A. K. Peters. str. 288. ISBN  1-56881-136-5.

Tento článek týkající se matematiky je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.