Nesbitts nerovnost - Nesbitts inequality - Wikipedia

v matematika, Nesbitt nerovnost uvádí, že pro kladná reálná čísla A, b a C,

${ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {a + c}} + { frac {c} {a + b}} geq { frac {3} { 2}}.}$

Jedná se o základní speciální případ (N = 3) obtížného a hodně studovaného Shapiro nerovnost, a byla zveřejněna nejméně o 50 let dříve.

Neexistuje žádná odpovídající horní mez, protože kteroukoli ze 3 frakcí v nerovnosti lze libovolně zvětšit.

Důkaz

První důkaz: nerovnost AM-HM

Podle DOPOLEDNE -HM nerovnost zapnuta ${ displaystyle (a + b), (b + c), (c + a)}$,

${ displaystyle { frac {(a + b) + (a + c) + (b + c)} {3}} geq { frac {3} { displaystyle { frac {1} {a + b }} + { frac {1} {a + c}} + { frac {1} {b + c}}}}.}$

Zúčtování jmenovatelů výnosy

${ displaystyle ((a + b) + (a + c) + (b + c)) left ({ frac {1} {a + b}} + { frac {1} {a + c}} + { frac {1} {b + c}} right) geq 9,}$

ze kterého získáváme

${ displaystyle 2 { frac {a + b + c} {b + c}} + 2 { frac {a + b + c} {a + c}} + 2 { frac {a + b + c} {a + b}} geq 9}$

rozšířením produktu a shromažďováním podobných jmenovatelů. To se pak přímo zjednoduší na konečný výsledek.

Druhý důkaz: Přeskupení

Předpokládat ${ displaystyle a geq b geq c}$, máme to

${ displaystyle { frac {1} {b + c}} geq { frac {1} {a + c}} geq { frac {1} {a + b}}}$

definovat

${ displaystyle { vec {x}} = (a, b, c)}$

${ displaystyle { vec {y}} = left ({ frac {1} {b + c}}, { frac {1} {a + c}}, { frac {1} {a + b }}že jo)}$

Skalární součin těchto dvou sekvencí je maximální kvůli přeskupení nerovnost pokud jsou uspořádány stejným způsobem, zavolejte ${ displaystyle { vec {y}} _ {1}}$ a ${ displaystyle { vec {y}} _ {2}}$ vektor ${ displaystyle { vec {y}}}$ posunutý o jednu a dvě, máme:

${ displaystyle { vec {x}} cdot { vec {y}} geq { vec {x}} cdot { vec {y}} _ {1}}$

${ displaystyle { vec {x}} cdot { vec {y}} geq { vec {x}} cdot { vec {y}} _ {2}}$

Sčítání přináší naši požadovanou Nesbittovu nerovnost.

Třetí důkaz: Součet čtverců

Následující identita platí pro všechny ${ displaystyle a, b, c:}$

${ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {a + c}} + { frac {c} {a + b}} = { frac {3} {2 }} + { frac {1} {2}} left ({ frac {(ab) ^ {2}} {(a + c) (b + c)}} + { frac {(ac) ^ {2}} {(a + b) (b + c)}} + { frac {(bc) ^ {2}} {(a + b) (a + c)}} vpravo)}$

To jasně dokazuje, že levá strana není menší než ${ displaystyle { frac {3} {2}}}$ pro pozitivní a, b a c.

Poznámka: každou racionální nerovnost lze prokázat transformací na příslušnou identitu součtu čtverců, viz Hilbertův sedmnáctý problém.

Čtvrtý důkaz: Cauchy – Schwarz

Vyvolání Cauchy – Schwarzova nerovnost na vektorech ${ displaystyle displaystyle left langle { sqrt {a + b}}, { sqrt {b + c}}, { sqrt {c + a}} right rangle, left langle { frac {1} { sqrt {a + b}}}, { frac {1} { sqrt {b + c}}}, { frac {1} { sqrt {c + a}}} vpravo zvonit}$ výnosy

${ displaystyle ((b + c) + (a + c) + (a + b)) ​​left ({ frac {1} {b + c}} + { frac {1} {a + c}} + { frac {1} {a + b}} vpravo) geq 9,}$

které lze transformovat do konečného výsledku, jako jsme to udělali v důkaz AM-HM.

Pátý důkaz: AM-GM

Nechat ${ displaystyle x = a + b, y = b + c, z = c + a}$. Poté aplikujeme Nerovnost AM-GM získat následující

${ displaystyle { frac {x + z} {y}} + { frac {y + z} {x}} + { frac {x + y} {z}} geq 6.}$

protože ${ displaystyle { frac {x} {y}} + { frac {z} {y}} + { frac {y} {x}} + { frac {z} {x}} + { frac {x} {z}} + { frac {y} {z}} geq 6 { sqrt [{6}] {{ frac {x} {y}} cdot { frac {z} {y }} cdot { frac {y} {x}} cdot { frac {z} {x}} cdot { frac {x} {z}} cdot { frac {y} {z}} }} = 6.}$

Nahrazení ${ displaystyle x, y, z}$ ve prospěch ${ displaystyle a, b, c}$ výnosy

${ displaystyle { frac {2a + b + c} {b + c}} + { frac {a + b + 2c} {a + b}} + { frac {a + 2b + c} {c + a}} geq 6}$

${ displaystyle { frac {2a} {b + c}} + { frac {2c} {a + b}} + { frac {2b} {a + c}} + 3 geq 6}$

což se pak zjednoduší na konečný výsledek.

Šestý důkaz: Tituovo lemma

Tituovo lemma, přímý důsledek Cauchy – Schwarzova nerovnost, uvádí, že pro libovolnou sekvenci ${ displaystyle n}$ reálná čísla ${ displaystyle (x_ {k})}$ a jakákoli sekvence ${ displaystyle n}$ kladná čísla ${ displaystyle (a_ {k})}$, ${ displaystyle displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {x_ {k} ^ {2}} {a_ {k}}} geq { frac {( sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k}) ^ {2}} { sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}}}$. Používáme jeho třídobou instanci s ${ displaystyle x}$-sekvence ${ displaystyle a, b, c}$ a ${ displaystyle a}$-sekvence ${ displaystyle a (b + c), b (c + a), c (a + b)}$:

${ displaystyle { frac {a ^ {2}} {a (b + c)}} + { frac {b ^ {2}} {b (c + a)}} + { frac {c ^ { 2}} {c (a + b)}} geq { frac {(a + b + c) ^ {2}} {a (b + c) + b (c + a) + c (a + b )}}}$

Násobením všech produktů na menší straně a shromažďováním podobných výrazů získáváme

${ displaystyle { frac {a ^ {2}} {a (b + c)}} + { frac {b ^ {2}} {b (c + a)}} + { frac {c ^ { 2}} {c (a + b)}} geq { frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} +2 (ab + bc + ca)} {2 (ab + bc + ca)}},}$

což zjednodušuje na

${ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {c + a}} + { frac {c} {a + b}} geq { frac {a ^ { 2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {2 (ab + bc + ca)}} + 1.}$

Podle přeskupení nerovnost, my máme ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} geq ab + bc + ca}$, takže zlomek na menší straně musí být alespoň ${ displaystyle displaystyle { frac {1} {2}}}$. Tím pádem,

${ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {c + a}} + { frac {c} {a + b}} geq { frac {3} { 2}}.}$

Sedmý důkaz: Homogenní

Vzhledem k tomu, že levá strana nerovnosti je homogenní, můžeme předpokládat ${ displaystyle a + b + c = 1}$. Nyní definujte ${ displaystyle x = a + b}$, ${ displaystyle y = b + c}$, a ${ displaystyle z = c + a}$. Požadovaná nerovnost se změní na ${ displaystyle { frac {1-x} {x}} + { frac {1-y} {y}} + { frac {1-z} {z}} geq { frac {3} { 2}}}$, nebo ekvivalentně ${ displaystyle { frac {1} {x}} + { frac {1} {y}} + { frac {1} {z}} geq 9/2}$. To je jasně pravda od Titu's Lemma.

Osmý důkaz: Jensenova nerovnost

Definovat ${ displaystyle S = a + b + c}$ a zvažte funkci ${ displaystyle f (x) = { frac {x} {S-x}}}$. U této funkce lze ukázat, že je konvexní ${ displaystyle [0, S]}$ a s odvoláním Jensenova nerovnost, dostaneme

${ displaystyle displaystyle { frac {{ frac {a} {Sa}} + { frac {b} {Sb}} + { frac {c} {Sc}}} {3}} geq { frac {S / 3} {SS / 3}}.}$

Přímý výpočet se získá

${ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {c + a}} + { frac {c} {a + b}} geq { frac {3} { 2}}.}$

Devátý důkaz: Redukce na nerovnoměrnost se dvěma proměnnými

Zúčtováním jmenovatelů

${ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {a + c}} + { frac {c} {a + b}} geq { frac {3} { 2}} iff 2 (a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3}) geq ab ^ {2} + a ^ {2} b + ac ^ {2} + a ^ {2 } c + bc ^ {2} + b ^ {2} c.}$

Nyní to stačí dokázat ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} geq xy ^ {2} + x ^ {2} y}$ pro ${ displaystyle (x, y) v mathbb {R} _ {+} ^ {2}}$, když to sčítáme třikrát za ${ displaystyle (x, y) = (a, b), (a, c),}$ a ${ displaystyle (b, c)}$ doplňuje důkaz.

Tak jako ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} geq xy ^ {2} + x ^ {2} y iff (x-y) (x ^ {2} -y ^ {2}) geq 0}$ Jsme hotovi.

Reference

• Nesbitt, A.M., problém 15114, Educational Times, 55, 1902.
• Ion Ionescu, Rumunský matematický věstník, svazek XXXII (15. září 1926 - 15. srpna 1927), strana 120
• Arthur Lohwater (1982). „Úvod do nerovností“. Online elektronická kniha ve formátu PDF.

externí odkazy

• Vidět AoPS pro další důkazy o této nerovnosti.
• „Nesbittova nerovnost“. PlanetMath.
• "důkaz Nesbittovy nerovnosti". PlanetMath.