Nepřístupný kardinál - Inaccessible cardinal

v teorie množin, an nespočet kardinál je nepřístupný pokud ji nelze získat od menších kardinálů obvyklými operacemi kardinální aritmetika. Přesněji řečeno, kardinál ${ displaystyle kappa}$ je silně nepřístupný pokud je nespočetné, nejde o součet menší než ${ displaystyle kappa}$ kardinálové, kteří jsou menší než ${ displaystyle kappa}$, a ${ displaystyle alpha < kappa}$ naznačuje ${ displaystyle 2 ^ { alpha} < kappa}$.

Pojem „nepřístupný kardinál“ je nejednoznačný. Asi do roku 1950 to znamenalo „slabě nepřístupný kardinál“, ale od té doby to obvykle znamenalo „silně nepřístupný kardinál“. Nespočetný kardinál je slabě nepřístupný pokud je to pravidelný slabý limit kardinál. Je silně nepřístupný nebo jen nepřístupný, pokud se jedná o pravidelný silný limit kardinál (to odpovídá definici uvedené výše). Někteří autoři nevyžadují, aby byli slabě a silně nepřístupní kardinálové nespočetní (v tom případě ${ displaystyle aleph _ {0}}$ je silně nepřístupný). Slabě nepřístupní kardinálové představili Hausdorff (1908), a ty silně nepřístupné Sierpiński & Tarski (1930) a Zermelo (1930).

Každý silně nepřístupný kardinál je také slabě nepřístupný, protože každý silný limit kardinál je také slabý limit kardinál. Pokud zobecněná hypotéza kontinua drží, pak je kardinál silně nepřístupný právě tehdy, pokud je slabě nepřístupný.

${ displaystyle aleph _ {0}}$ (aleph-null ) je pravidelný silný limit kardinál. Za předpokladu, že axiom volby, každé další nekonečné hlavní číslo je pravidelné nebo (slabé) omezení. Pouze poměrně velké hlavní číslo však může být obojí, a tedy slabě nepřístupné.

An pořadové číslo je slabě nepřístupný kardinál tehdy a jen tehdy, je-li řádným ordinálem a je limitem řádových ordinálů. (Nula, jedna a ${ displaystyle aleph _ {0}}$ jsou řádové ordinály, ale ne limity řádových ordinálů.) Kardinál, který je slabě nepřístupný a také silný limit kardinál, je silně nepřístupný.

Předpoklad o existenci silně nepřístupného kardinála se někdy používá ve formě předpokladu, že člověk může pracovat uvnitř Grothendieck vesmír, přičemž tyto dvě myšlenky jsou úzce propojeny.

Modely a konzistence

Teorie množin Zermelo – Fraenkel s volbou (ZFC) znamená, že PROTI_κ je Modelka ZFC kdykoli κ je silně nepřístupný. A ZF naznačuje, že Gödelův vesmír L_κ je modelem ZFC kdykoli κ je slabě nepřístupný. ZF tedy spolu s „existuje slabě nepřístupný kardinál“ znamená, že ZFC je konzistentní. Proto jsou nepřístupní kardinálové typem velký kardinál.

Li PROTI je standardní model ZFC a κ je nepřístupný v PROTI, pak: PROTI_κ je jedním ze zamýšlených modelů Teorie množin Zermelo – Fraenkel; a Def (PROTI_κ) je jedním ze zamýšlených modelů Mendelsonovy verze Von Neumann – Bernays – Gödel teorie množin který vylučuje globální výběr, nahrazuje omezení velikosti nahrazením a běžnou volbou; a PROTI_κ+1 je jedním ze zamýšlených modelů Morseova-Kelleyova teorie množin. Zde Def (X) je Δ₀ definovatelné podmnožiny X (vidět konstruovatelný vesmír ). Nicméně, κ nemusí být nepřístupné, nebo dokonce základní číslo, aby PROTI_κ být standardním modelem ZF (viz níže ).

Předpokládejme, že V je model ZFC. Buď V neobsahuje žádné silné nepřístupné nebo, brát κ být nejmenší silnou nepřístupnou ve V, PROTI_κ je standardní model ZFC, který neobsahuje žádná silná nepřístupná zařízení. Konzistence ZFC tedy znamená konzistenci ZFC + „neexistují žádné silné nepřístupnosti“. Podobně buď V neobsahuje žádné slabé nepřístupné nebo, přičemž κ být tedy nejmenším pořadovým číslem, které je ve srovnání s jakýmkoli standardním submodelem V slabě nepřístupné L_κ je standardní model ZFC, který neobsahuje slabá nepřístupná zařízení. Konzistence ZFC tedy znamená konzistenci ZFC + „neexistují slabá nepřístupná místa“. To ukazuje, že ZFC nemůže prokázat existenci nepřístupného kardinála, takže ZFC je v souladu s neexistencí žádných nepřístupných kardinálů.

Otázka, zda je ZFC v souladu s existencí nepřístupného kardinála, je jemnější. Důkaz načrtnutý v předchozím odstavci, že konzistence ZFC implikuje konzistenci ZFC + „tam není nepřístupný kardinál“, lze v ZFC formalizovat. Avšak za předpokladu, že ZFC je konzistentní, nelze v ZFC formalizovat žádný důkaz, že konzistence ZFC implikuje konzistenci ZFC + „existuje nepřístupný kardinál“. To vyplývá z Gödelova druhá věta o neúplnosti, což ukazuje, že pokud je ZFC + „existuje nepřístupný kardinál“ konzistentní, pak nemůže prokázat svoji vlastní konzistenci. Protože ZFC + „existuje nepřístupný kardinál“ dokazuje konzistenci ZFC, pokud ZFC prokáže, že jeho vlastní konzistence implikuje konzistenci ZFC + „existuje nepřístupný kardinál“, pak by tato druhá teorie dokázala prokázat svou vlastní konzistenci, což je nemožné, pokud je to konzistentní.

Existují argumenty pro existenci nepřístupných kardinálů, které nelze v ZFC formalizovat. Jeden takový argument předložený Hrbáček & Jech (1999, str. 279), je třída všech ordinálů konkrétního modelu M teorie množin by sama o sobě byla nepřístupným kardinálem, kdyby existoval větší model teorie množin M a zachování výkonové sady prvků M.

Existence správné třídy nepřístupných

V teorii množin existuje mnoho důležitých axiomů, které tvrdí, že existuje správná třída kardinálů, která uspokojí predikát zájmu. V případě nepřístupnosti je odpovídající axiom tvrzení, že pro každého kardinála μ, je zde nepřístupný kardinál κ který je přísně větší, μ < κ. Tento axiom tedy zaručuje existenci nekonečné věže nepřístupných kardinálů (a může být příležitostně označován jako nepřístupný kardinální axiom). Stejně jako v případě existence jakéhokoli nepřístupného kardinála je nepřístupný kardinální axiom z axiomů ZFC neprokazatelný. Za předpokladu ZFC je nepřístupný kardinální axiom ekvivalentní s axiom vesmíru z Grothendieck a Verdier: každá sada je obsažena v a Grothendieck vesmír. Axiomy ZFC spolu s vesmírným axiomem (nebo ekvivalentně nepřístupným kardinálním axiomem) se označují jako ZFCU (což lze zaměnit za ZFC s prvky ). Tento axiomatický systém je užitečný například k prokázání, že každý kategorie má odpovídající Yoneda vkládání.

Toto je relativně slabý velký kardinální axiom, protože to znamená, že ∞ je 1-nepřístupný v jazyce následující části, kde ∞ označuje nejméně ordinál ne ve V, tj. Třídu všech ordinálů ve vašem modelu.

α-neprístupní kardinálové a hyperpřístupní kardinálové

Termín "α"nepřístupný kardinál" je nejednoznačný a různí autoři používají nerovné definice. Jednou z definic je, že kardinál κ je nazýván α-nepřístupný, pro α jakýkoli řadový, pokud κ je nepřístupné a pro každého řadového β < α, soubor β-nepřístupné méně než κ je neomezený v κ (a tedy mohutnosti κ, od té doby κ je pravidelný). V tomto případě jsou 0-nepřístupní kardinálové stejní jako silně nepřístupní kardinálové. Další možnou definicí je kardinál κ je nazýván α- slabě nepřístupný -li κ je pravidelný a pro každého řadového β < α, soubor β- slabě nedostupný méně než κ je neomezený v κ. V tomto případě jsou 0-slabě nepřístupní kardinálové řádní kardinálové a 1-slabě nepřístupní kardinálové jsou slabě nepřístupní kardinálové.

The α-nepřístupní kardinálové lze také popsat jako pevné body funkcí, které počítají nižší nedostupnosti. Například označte ψ₀(λ) λ^th nepřístupný kardinál, pak pevné body ψ₀ jsou 1 nepřístupní kardinálové. Pak nechám ψ_β(λ) být λ^th β-nepřístupný kardinál, pevné body ψ_β jsou (β+1) - nepřístupní kardinálové (hodnoty ψ_β+1(λ)). Li α je limitní pořadové číslo, an α-nepřístupný je pevný bod každého ψ_β pro β < α (hodnota ψ_α(λ) je λ^th takový kardinál). S tímto procesem získávání pevných bodů funkcí generujících postupně větší kardinály se při studiu běžně setkáváme velká světová čísla.

Termín hyper-nepřístupný je nejednoznačný a má nejméně tři neslučitelné významy. Mnoho autorů to používá k označení pravidelného limitu silně nepřístupných kardinálů (1-nepřístupný). Jiní autoři to používají k tomu, aby to mysleli κ je κ-nepřístupný. (Nikdy to nemůže být κ+ 1-nepřístupný.) To se občas používá k označení Mahlo kardinál.

Termín α-hyper-nepřístupný je také nejednoznačný. Někteří autoři to používají k označení α-nepřístupný. Jiní autoři používají definici pro libovolné pořadové číslo α, kardinál κ je α-hyper-nepřístupný kdyby a jen kdyby κ je velmi nepřístupný a pro každého pořadníka β < α, soubor β-hyper-nedostupné méně než κ je neomezený v κ.

Hyper-hyper-nepřístupní kardinálové atd. Lze definovat podobným způsobem a tento termín je jako obvykle nejednoznačný.

Při použití výrazu „slabě nepřístupný“ místo „nepřístupný“ lze pro „slabě“ učinit podobné definice α-inaccessible "," slabě hyper-nepřístupný "a" slabě α-hyper-nepřístupný ".

Mahlo kardinálové jsou nepřístupné, hyper-nepřístupné, hyper-hyper-nepřístupné, ... atd.

Dvě modelové teoretické charakteristiky nepřístupnosti

Za prvé, kardinál κ je nepřístupný právě tehdy κ má následující odraz vlastnost: pro všechny podmnožiny U ⊂ V_κ, tady existuje α < κ takhle ${ displaystyle (V _ { alpha}, in, U cap V _ { alpha})}$ je základní konstrukce z ${ displaystyle (V _ { kappa}, in, U)}$. (Ve skutečnosti soubor takových α je uzavřeno neomezeně v κ.) Ekvivalentně, κ je ${ displaystyle Pi _ {n} ^ {0}}$-nepopsatelný pro všechna n ≥ 0.

U ZF je prokazatelné, že ∞ splňuje poněkud slabší odrazovou vlastnost, kde substruktura (V_α, ∈, U ∩ V_α) musí být pouze „základní“ s ohledem na konečnou sadu vzorců. Důvodem tohoto oslabení je v konečném důsledku to, že model-teoretický vztah spokojenosti ${ displaystyle models}$ lze definovat, pravda sama nemůže, kvůli Tarskiho věta.

Zadruhé, v rámci ZFC to lze ukázat κ je nepřístupný právě tehdy, když (V_κ, ∈) je model druhá objednávka ZFC.

V tomto případě existuje výše uvedená vlastnost odrazu α < κ takové, že (V_α, ∈) je standardní model (první objednávka ) ZFC. Existence nepřístupného kardinála je tedy silnější hypotézou než existence standardního modelu ZFC.

Viz také

• Mahlo kardinál
• Klubová sada
• Vnitřní model
• Von Neumannův vesmír
• Konstruktivní vesmír

Citované práce