Konzervativní rozšíření - Conservative extension
v matematická logika, a konzervativní rozšíření je supertorie a teorie což je často vhodné k prokázání věty, ale neprokazuje žádné nové věty o jazyce původní teorie. Podobně, a nekonzervativní rozšíření je supertorie, která není konzervativní a může dokázat více vět než originál.
Více formálně řečeno, teorie je (teoretický důkaz ) konzervativní rozšíření teorie pokud každá věta o je věta o a jakákoli věta o v jazyce je již teorém o .
Obecněji, pokud je sada vzorce ve společném jazyce a , pak je -konzervativní přes pokud každý vzorec z prokazatelné v je také prokazatelný v .
Všimněte si, že konzervativní rozšíření a konzistentní teorie je konzistentní. Pokud tomu tak nebylo, pak by princip exploze, každý vzorec v jazyce by byla věta o , takže každý vzorec v jazyce by byla věta o , tak by nebylo konzistentní. Konzervativní rozšíření proto nenese riziko zavádění nových nesrovnalostí. To lze také považovat za metodologie pro psaní a strukturování velkých teorií: začněte teorií, , o kterém je známo (nebo se předpokládá), že je konzistentní, a postupně vytváří konzervativní rozšíření , , ... toho.
V poslední době se pro definici pojmu používají konzervativní rozšíření modul pro ontologie: je-li ontologie formována jako logická teorie, je subteorie modulem, pokud je celá ontologie konzervativním rozšířením subteorie.
Rozšíření, které není konzervativní, lze nazvat a správné rozšíření.
Příklady
- ACA0 (subsystém z aritmetika druhého řádu ) je konzervativní rozšíření prvního řádu Peano aritmetika.
- Von Neumann – Bernays – Gödel teorie množin je konzervativní rozšíření Teorie množin Zermelo – Fraenkel s axiom volby (ZFC).
- Teorie interních množin je konzervativní rozšíření Teorie množin Zermelo – Fraenkel s axiom volby (ZFC).
- Rozšíření podle definic jsou konzervativní.
- Rozšíření o neomezený predikát nebo funkční symboly jsou konzervativní.
- Já1 (subsystém Peano aritmetiky s indukcí pouze pro Σ01-formule ) je Π02-konzervativní rozšíření primitivní rekurzivní aritmetika (PRA).[1]
- ZFC je a Π13 -konzervativní rozšíření ZF o Shoenfieldova věta o absolutnosti.
- ZFC s hypotéza kontinua je Π21-konzervativní rozšíření ZFC.
Modelově teoretické konzervativní rozšíření
S model-teoretický znamená, že se získá silnější představa: rozšíření teorie je model-teoreticky konzervativní -li a každý model lze rozšířit na model . Každá konzervativně rozšířená teoreticko-teoretická přípona je ve výše uvedeném smyslu také konzervativní příponou (důkazně teoretická).[2] Modelová teoretická představa má tu výhodu oproti teoretické korekci, že tolik nezávisí na použitém jazyce; na druhou stranu je obvykle těžší stanovit modelovou teoretickou konzervativnost.
Reference
- ^ Fernando Ferreira, jednoduchý důkaz Parsonsovy věty. Notre Dame Journal of Formal Logic, sv. 46, č. 1, 2005.
- ^ Hodges, Wilfrid (1997). Kratší teorie modelů. Cambridge: Cambridge University Press. str. 58 cvičení 8. ISBN 978-0-521-58713-6.