Impredicativity - Impredicativity

„Predikativismus“ přeadresuje tady. O další filozofické škole, známé také jako predikativismus, viz Ultrafinitismus.

v matematika, logika a filozofie matematiky něco, co je předběžný je vlastní odkazování definice. Zhruba řečeno, definice je impredikativní, pokud vyvolává (zmiňuje nebo kvantifikuje) definovanou množinu nebo (častěji) jinou množinu, která obsahuje definovanou věc. Neexistuje obecně přijímaná přesná definice toho, co to znamená být predikativní nebo nedůvěřivý. Autoři uvedli různé, ale související definice.

Opakem nedůtklivosti je predikativita, která v podstatě znamená budování stratifikovaný (nebo rozvětvené) teorie, kde kvantifikace na nižších úrovních vede k proměnným nějakého nového typu, odlišených od nižších typů, nad kterými se proměnná pohybuje. Příkladem je intuicionistická teorie typů, který si zachovává rozvětvení, aby se zbavil nedůstojnosti.

Russellův paradox je slavným příkladem nedůstojné konstrukce - jmenovitě soubor všech sad, které neobsahují samy sebe. The paradox je, že taková množina nemůže existovat: Pokud by existovala, mohla by být položena otázka, zda obsahuje sama sebe nebo ne - pokud ano, pak by podle definice neměla, a pokud ne, pak by podle definice měla.

The největší dolní mez sady X, glb (X), má také nepřiměřenou definici: y = glb (X) právě když pro všechny prvky X z X, y je menší nebo rovno Xa jakékoli z menší nebo rovno všem prvkům X je menší nebo rovno y. Tato definice kvantifikuje přes množinu (potenciálně nekonečný, záleží na objednat jehož členy jsou dolní hranice X, z nichž jeden je samotný glb. Proto predikativismus by tuto definici odmítl.[1]

Dějiny

Normy (obsahující jednu proměnnou), které nedefinují třídy, které navrhuji volat nepředvídatelný; ty, které definují třídy, zavolám predikativní.

(Russell 1907, s. 34) (Russell použil „normu“ ve smyslu tvrzení: zhruba něco, co může nabývat hodnot „true“ nebo „false“.)

Pojmy „predikativní“ a „impredikativní“ zavedly Russell (1907), ačkoli se od té doby význam trochu změnil.

Solomon Feferman poskytuje historický přehled predikativity a spojuje ji s aktuálními vynikajícími výzkumnými problémy.[2]

The princip bludného kruhu navrhl Henri Poincaré (1905-6, 1908)[3] a Bertrand Russell v návaznosti na paradoxy jako požadavek na legitimní stanovené specifikace. Sady, které nesplňují požadavek, se nazývají předběžný.

První moderní paradox se objevil u Cesare Burali-Forti rok 1897 Otázka transfinitivních čísel[4] a stal by se známým jako Paradox Burali-Forti. Cantor zjevně objevil stejný paradox v jeho (Cantorově) „naivní“ teorie množin a toto se stalo známým jako Cantorův paradox. Russellovo povědomí o problému vzniklo v červnu 1901[5] s jeho čtením Frege pojednání o matematické logice, jeho 1879 Begriffsschrift; trestná věta ve věci Frege je následující:

Na druhou stranu se také může stát, že argument je determinovaný a funkce neurčitá.[6]

Jinými slovy řečeno F(A) funkce F je proměnná a A je neměnná část. Proč tedy nenahradit hodnotu F(A) pro F sám? Russell pohotově napsal Fregeovi dopis poukazující na to,

Uvádíte ... že i funkce může fungovat jako neurčitý prvek. Tomu jsem dříve věřil, ale nyní se mi tento názor zdá pochybný kvůli následujícímu rozporu. Nechat w být predikátem: být predikátem, který sám o sobě nelze predikovat. Umět w být předurčen sám o sobě? Z každé odpovědi vyplývá její opak. Tam musíme dojít k závěru, že w není predikát. Stejně tak neexistuje žádná třída (jako celek) těch tříd, které každá z nich jako celek nepatří k sobě. Z toho usuzuji, že za určitých okolností definovatelná sbírka netvoří souhrn.[7]

Frege pohotově odepsal Russellovi a uznal problém:

Váš objev rozporu ve mně způsobil největší překvapení a, skoro bych řekl, zděšení, protože otřáslo základem, na kterém jsem chtěl stavět aritmetiku.[8]

Zatímco problém měl nepříznivé osobní důsledky pro oba muže (oba měli práce u tiskařů, které bylo nutné upravit), van Heijenoort podotýká, že „paradox otřásl světem logiků a dunění je cítit dodnes ... Russellův paradox , který používá holé představy množiny a prvku, spadá přímo do oblasti logiky. Paradox poprvé publikoval Russell v Principy matematiky (1903) a je zde velmi podrobně pojednáno ... ".[9] Russell, po šesti letech falešných začátků, nakonec na tuto otázku odpoví svou teorií typů z roku 1908 „předložením své axiom redukovatelnosti. Říká, že jakákoli funkce je stejná jako to, co nazývá predikativní funkce: funkce, ve které typy zdánlivých proměnných běží nejvýše nad typy argumentů ".[10] Ale tento „axiom“ narazil na odpor všech stran.

Odmítnutí neurčitě definovaných matematických objektů (při přijetí přirozená čísla jak je klasicky chápáno) vede k pozici v filozofie matematiky známý jako predikativismus, obhajovaný Henri Poincaré a Hermann Weyl v jeho Das Kontinuum. Poincaré a Weyl tvrdili, že nedůstojné definice jsou problematické pouze tehdy, když je jedna nebo více základních sad nekonečných.

Ernst Zermelo v jeho 1908 „Nový důkaz možnosti řádného objednání“[úplná citace nutná ] představuje celou sekci „b. Námitka týkající se nepředvídatelné definice„kde argumentoval proti“ Poincaré (1906, s. 307) [který uvádí, že] definice je „predikativní“ a logicky přípustná, pouze pokud vylučuje všechny objekty, které jsou závislé na definovaném pojmu, to znamená, že jím mohou být jakýmkoli způsobem určeny ".[11] Uvádí dva příklady nepřiměřených definic - (i) pojem Dedekindových řetězců a (ii) „v analýze všude, kde je maximum nebo minimum dříve definované„ dokončené “množiny čísel Z se používá pro další závěry. To se děje například ve známém Cauchyově důkazu ... “.[12] Svou část zakončí následujícím postřehem: „Definice se může velmi dobře opírat o pojmy, které jsou ekvivalentní definici, která je definována; v každé definici definiens a definiendum jsou ekvivalentní pojmy a důsledné dodržování Poincarého požadavku by znemožnilo každou definici, tedy celou vědu “.[13]

Zermeloův příklad minima a maxima dříve definované „dokončené“ množiny čísel se znovu objevuje v Kleene 1952: 42-42, kde Kleene používá příklad nejmenší horní mez ve své diskusi o nedůstojných definicích; Kleene tento problém nevyřeší. V následujících odstavcích pojednává o Weylově pokusu z roku 1918 Das Kontinuum (Kontinuum) k odstranění nedůvěryhodných definic a jeho nezachování „věty o svévolnosti neprázdný soubor M z reálná čísla mít horní mez má nejméně horní mez (srov. také Weyl 1919) ".[14]

Ramsey tvrdil, že „impredikativní“ definice mohou být neškodné: například definice „nejvyšší osoby v místnosti“ je preventivní, protože závisí na souboru věcí, jejichž je prvkem, a to na souboru všech osob v místnosti . Pokud jde o matematiku, příkladem nedefinovatelné definice je nejmenší číslo v množině, které je formálně definováno jako: y = min (X) právě když pro všechny prvky X z X, y je menší nebo rovno X, a y je v X.

Burgess (2005) pojednává o predikativních a impredikativních teoriích s určitou délkou v kontextu Frege logika, Peano aritmetika, aritmetika druhého řádu, a axiomatická teorie množin.

Viz také

Poznámky

  1. ^ Kleene 1952: 42–43
  2. ^ Solomon Feferman, “Predikativita " (2002)
  3. ^ data odvozená od Kleene 1952: 42
  4. ^ van Heijenoortův komentář před Burali-Forti (1897) Otázka transfinitivních čísel in van Heijenoort 1967: 104; viz také jeho komentář před Georgem Cantorem (1899) Dopis Dedekindovi in van Heijenoort 1967: 113
  5. ^ Komentář van Heijenoorta před Bertrandem Russellem Lettern to Frege in van Heijenoort 1967: 124
  6. ^ Gottlob Frege (1879) Begriffsschrift in van Heijenoort 1967: 23
  7. ^ Bertrand Russell z roku 1902 Dopis Frege in van Heijenoort 1967: 124-125
  8. ^ Gottlob Frege (1902) Dopis Russellovi in van Hiejenoort 1967: 127
  9. ^ Van Heijenoortův komentář před Bertrandem Russellem (1902) Dopis Frege 1967:124
  10. ^ Komentář Willarda V. Quinea před rokem Bertranda Russella v roce 1908 Matematická logika založená na teorii typů
  11. ^ van Heijenoort 1967: 190
  12. ^ van Heijenoort 1967: 190–191
  13. ^ van Heijenoort 1967: 191
  14. ^ Kleene 1952: 43

Reference

  • „Predikativní a nepředvídatelné definice“. Internetová encyklopedie filozofie.
  • Článek PlanetMath o predikativismu
  • John Burgess, 2005. Stanovení Frege. Princeton Univ. Lis.
  • Solomon Feferman, 2005, "Predikativita " v Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic. Oxford University Press: 590–624.
  • Russell, B. (1907), „K některým obtížím v teorii transfinitních čísel a typů řádů“, Proc. London Math. Soc., s2–4 (1): 29–53, doi:10.1112 / plms / s2-4.1.29
  • Stephen C. Kleene 1952 (vydání z roku 1971), Úvod do matematiky, Vydavatelská společnost North-Holland, Amsterdam NY, ISBN  0-7204-2103-9. Zejména srov. jeho §11 Paradoxy (str. 36–40) a §12 První závěry z paradoxů IMPREDICATIVNÍ DEFINICE (str. 42). Uvádí, že jeho šest nebo tak (slavných) příkladů paradoxů (antinomií) je všech příkladů nedefinovatelné definice, a říká, že Poincaré (1905–6, 1908) a Russell (1906, 1910) „vysvětlili příčinu paradoxů lhát v těchto nedefinovatelných definicích “(str. 42) však„ části matematiky, které si chceme ponechat, zejména analýza, obsahují také nedefinativní definice “. (tamtéž). Weyl se ve své knize 1918 („Das Kontinuum“) pokusil odvodit co nejvíce analýzy, jak je to možné, bez použití neprůstřelných definic, „ale ne teorém, že libovolná neprázdná množina M reálných čísel s horní mezí má nejméně horní mez (CF. také Weyl 1919) “(str. 43).
  • Hans Reichenbach 1947, Prvky symbolické logiky, Dover Publications, Inc., NY, ISBN  0-486-24004-5. Srov. jeho §40. Antinomie a teorie typů (str. 218 - kde předvádí, jak vytvořit antinomie, včetně definice nepravděpodobné sama o sobě („Je definice„ impedicable “impedicable?“). Tvrdí, že ukazuje metody pro eliminaci „paradoxů syntaxe“ („logických paradoxů“) - s využitím teorie typů - a „paradoxů sémantiky“ - s využitím metajazyku (jeho „teorie úrovní jazyka“) ). Připisuje návrh tohoto pojmu Russellovi a konkrétněji Ramseymu.
  • Jean van Heijenoort 1967, třetí tisk 1976, Od Frege po Gödela: Kniha pramenů v matematické logice, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN  0-674-32449-8 (pbk.)