Youngův modul - Youngs modulus - Wikipedia

Youngův modul je sklon lineární části křivka napětí-deformace

Youngův modul ${ displaystyle E}$, Mladý modul nebo modul pružnosti v tahu, je mechanická vlastnost, která měří tah ztuhlost a pevný materiál. Vyčísluje vztah mezi tahem stres ${ displaystyle sigma}$ (síla na jednotku plochy) a axiální kmen ${ displaystyle varepsilon}$ (proporcionální deformace) v lineární elastický oblast materiálu a je určena pomocí vzorce:^[1]

${ displaystyle E = { frac { sigma} { varepsilon}}}$

Youngovy moduly jsou obvykle tak velké, že nejsou vyjádřeny v pascaly ale v gigapascalech (GPa).

Ačkoli Youngův modul je pojmenován po britském vědci z 19. století Thomas Young, koncept byl vyvinut v roce 1727 autorem Leonhard Euler. První experimenty, které využívaly koncept Youngova modulu v jeho současné podobě, provedl italský vědec Giordano Riccati v roce 1782 předcházel Youngovo dílo o 25 let.^[2] Termín modulus je odvozen z latinského kořenového termínu modus což znamená opatření.

Definice

Lineární pružnost

Pevný materiál projde elastická deformace když je na něj aplikováno malé zatížení v tlaku nebo prodloužení. Pružná deformace je vratná (materiál se po odstranění zatížení vrátí do původního tvaru).

Při téměř nulovém napětí a přetvoření je křivka napětí-deformace lineární a vztah mezi stresem a namáháním popisuje Hookeův zákon že stres je úměrný napětí. Koeficient proporcionality je Youngův modul. Čím vyšší je modul, tím větší napětí je zapotřebí k vytvoření stejného napětí; idealizovaný tuhé tělo bude mít nekonečný Youngův modulus. Naopak, velmi měkký materiál, jako je tekutina, by se bez síly deformoval a měl by nulový Youngův modul.

Není mnoho materiálů lineárních a elastických i po malé deformaci.^{[Citace je zapotřebí ]}

Poznámka

Tuhost materiálu nelze zaměňovat s těmito vlastnostmi:

• Síla: maximální množství napětí, které materiál vydrží při pobytu v režimu elastické (reverzibilní) deformace;
• Geometrická tuhost: globální charakteristika těla, která závisí na jeho tvaru, a to nejen na místních vlastnostech materiálu; například an I-paprsek má vyšší tuhost v ohybu než tyč ze stejného materiálu pro danou hmotnost na délku;
• Tvrdost: relativní odolnost povrchu materiálu proti průniku tvrdším tělesem;
• Houževnatost: množství energie, které může materiál absorbovat před zlomením.

Používání

Youngův modul umožňuje výpočet změny rozměru tyče vyrobené z izotropní pružný materiál pod tahovým nebo tlakovým zatížením. Například předpovídá, o kolik se vzorek materiálu rozšíří pod napětím nebo se zkrátí pod tlakem. Youngův modul se přímo vztahuje na případy jednoosého napětí, tj. Tahové nebo tlakové napětí v jednom směru a žádné napětí v ostatních směrech. Youngův modul se také používá k předpovědi výchylky, která nastane v a staticky určit paprsek když je aplikováno zatížení v bodě mezi podpěrami nosníku.

Jiné elastické výpočty obvykle vyžadují použití jedné další elastické vlastnosti, například tažný modul G, objemový modul K., a Poissonův poměr ν. Jakékoli dva z těchto parametrů jsou dostatečné k úplnému popisu pružnosti v izotropním materiálu. Pro homogenní izotropní materiály jednoduché vztahy existují mezi elastickými konstantami, které umožňují jejich výpočet, pokud jsou známy dvě:

${ displaystyle E = 2G (1+ nu) = 3K (1-2 nu). ,}$

Lineární versus nelineární

Youngův modul představuje faktor proporcionality v Hookeův zákon, který spojuje napětí a napětí. Hookeův zákon je však platný pouze za předpokladu, že elastický a lineární Odezva. Jakýkoli skutečný materiál nakonec selže a zlomí se, když se natáhne na velmi velkou vzdálenost nebo s velmi velkou silou; avšak všechny pevné materiály vykazují téměř hookeanské chování pro dostatečně malá napětí nebo napětí. Pokud je rozsah, ve kterém platí Hookeův zákon, dostatečně velký ve srovnání s typickým napětím, které člověk na materiál očekává, říká se, že materiál je lineární. V opačném případě (pokud je typické napětí, které by člověk použil, je mimo lineární rozsah) je materiál považován za nelineární.

Ocel, uhlíkové vlákno a sklenka mimo jiné jsou obvykle považovány za lineární materiály, zatímco jiné materiály jako např guma a půdy jsou nelineární. Toto však není absolutní klasifikace: pokud jsou na nelineární materiál aplikována velmi malá napětí nebo přetvoření, reakce bude lineární, ale pokud je na lineární materiál aplikováno velmi vysoké napětí nebo přetvoření, lineární teorie nebude dost. Například, jak naznačuje lineární teorie reverzibilita, bylo by absurdní použít lineární teorii k popisu poruchy ocelového mostu při vysokém zatížení; i když je ocel pro většinu aplikací lineárním materiálem, není to v takovém případě katastrofického selhání.

v mechanika těles sklon svahu křivka napětí-deformace v každém okamžiku se nazývá tečný modul. To lze experimentálně určit z sklon křivky napětí-deformace vytvořené během tahové zkoušky provedeno na vzorku materiálu.

Směrové materiály

Youngův modul není vždy stejný ve všech orientacích materiálu. Většina kovů a keramiky spolu s mnoha dalšími materiály jsou izotropní a jejich mechanické vlastnosti jsou ve všech směrech stejné. Kovy a keramiku lze však ošetřit určitými nečistotami a kovy lze mechanicky zpracovat tak, aby jejich zrnité struktury byly směrové. Tyto materiály se pak stávají anizotropní a Youngův modul se bude měnit v závislosti na směru vektoru síly.^[3] Anizotropii lze pozorovat také v mnoha kompozitech. Například, uhlíkové vlákno má mnohem vyšší Youngův modul (je mnohem tužší), když je síla zatížena rovnoběžně s vlákny (podél vlákna). Mezi další takové materiály patří dřevo a železobeton. Inženýři mohou tento směrový jev využít při vytváření struktur ve svůj prospěch.

Teplotní závislost

Youngův modul kovů se mění s teplotou a lze ho realizovat změnou interatomové vazby atomů, a proto se zjistí, že jeho změna závisí na změně pracovní funkce kovu. I když je klasicky tato změna předpovídána přizpůsobením a bez jasného základního mechanismu (např. Watchmanova formule), model Rahemi-Li^[4] demonstruje, jak změna funkce práce elektronů vede ke změně Youngova modulu kovů, a předpovídá tuto variaci s vypočítatelnými parametry pomocí zobecnění Lennard-Jonesova potenciálu na pevné látky. Obecně platí, že jak se teplota zvyšuje, Youngův modul klesá skrz${ displaystyle E (T) = beta ( varphi (T)) ^ {6}}$Kde se funkce práce elektronů mění s teplotou jako ${ displaystyle varphi (T) = varphi _ {0} - gamma { frac {(k_ {B} T) ^ {2}} { varphi _ {0}}}}$ a ${ displaystyle gamma}$ je vypočítatelná vlastnost materiálu, která závisí na krystalové struktuře (např. BCC, FCC atd.). ${ displaystyle varphi _ {0}}$ je funkce práce elektronů při T = 0 a ${ displaystyle beta}$ je po celou dobu změny konstantní.

Výpočet

Youngův modul E, lze vypočítat vydělením tahové napětí,${ displaystyle sigma ( varepsilon)}$tím, že technické prodloužení napětí, ${ displaystyle varepsilon}$, v elastické (počáteční, lineární) části fyzické křivka napětí-deformace:

${ displaystyle E equiv { frac { sigma ( varepsilon)} { varepsilon}} = { frac {F / A} { Delta L / L_ {0}}} = { frac {FL_ {0 }} {A , Delta L}}}$

kde

E je Youngův modul (modul pružnosti)

F je síla vyvíjená na předmět pod napětím;

A je skutečná plocha průřezu, která se rovná ploše průřezu kolmé na aplikovanou sílu;

ΔL je částka, o kterou se mění délka objektu (ΔL je pozitivní, pokud je materiál roztažený, a negativní, když je materiál stlačen);

L₀ je původní délka objektu.

Síla vyvíjená roztaženým nebo stahovaným materiálem

Youngův modul materiálu lze použít k výpočtu síly, kterou působí při specifickém přetvoření.

${ displaystyle F = { frac {EA , Delta L} {L_ {0}}}}$

kde F je síla vyvíjená materiálem, když se stáhne nebo natáhne ${ displaystyle Delta L}$.

Hookeův zákon pro napnutý drát lze odvodit z tohoto vzorce:

${ displaystyle F = left ({ frac {EA} {L_ {0}}} right) , Delta L = kx ,}$

kde to přichází v sytosti

${ displaystyle k equiv { frac {EA} {L_ {0}}} ,}$ a ${ displaystyle x equiv Delta L. ,}$

Všimněte si však, že pružnost vinutých pružin pochází z tažný modul, ne Youngův modul.

Elastická potenciální energie

The elastická potenciální energie uložené v lineárním elastickém materiálu je dáno integrálem Hookeova zákona:

${ displaystyle U_ {e} = int {kx} , dx = { frac {1} {2}} kx ^ {2}.}$

nyní vysvětlením intenzivních proměnných:

${ displaystyle U_ {e} = int { frac {EA , Delta L} {L_ {0}}} , d Delta L = { frac {EA} {L_ {0}}} int Delta L , d Delta L = { frac {EA , { Delta L} ^ {2}} {2L_ {0}}}}$

To znamená, že hustota elastické potenciální energie (tj. Na jednotku objemu) je dána vztahem:

${ displaystyle { frac {U_ {e}} {AL_ {0}}} = { frac {E , { Delta L} ^ {2}} {2L_ {0} ^ {2}}}}$

nebo, v jednoduchém zápisu, pro lineární elastický materiál:${ displaystyle u_ {e} ( varepsilon) = int {E , varepsilon} , d varepsilon = { frac {1} {2}} E { varepsilon} ^ {2}}$, protože kmen je definován ${ displaystyle varepsilon equiv { frac { Delta L} {L_ {0}}}}$.

V nelineárním pružném materiálu je Youngův modul funkcí deformace, takže druhá ekvivalence již neplatí a elastická energie není kvadratickou funkcí deformace:

${ displaystyle u_ {e} ( varepsilon) = int E ( varepsilon) , varepsilon , d varepsilon neq { frac {1} {2}} E varepsilon ^ {2}}$

Přibližné hodnoty

Vlivy vybraných přídavků skleněných komponent na Youngův modul konkrétního základního skla

Youngův modul se může poněkud lišit kvůli rozdílům ve složení vzorku a zkušební metodě. Největší dopad na shromážděná data má rychlost deformace, zejména u polymerů. Hodnoty zde jsou přibližné a jsou určeny pouze pro relativní srovnání.

Viz také

• Tuhost v ohybu
• Výchylka
• Deformace
• Modul pevnosti v ohybu
• Hookeův zákon
• Technika impulzního buzení
• Seznam vlastností materiálů
• Výnos (strojírenství)

Reference

Další čtení

• ASTM E 111, „Standardní zkušební metoda pro Youngův modul, tangenciální modul a akordový modul“
• The Příručka ASM (různé svazky) obsahuje Youngův modul pro různé materiály a informace o výpočtech. Online verze (vyžadováno předplatné)

externí odkazy

• Matweb: bezplatná databáze technických vlastností pro více než 115 000 materiálů
• Youngův modul pro skupiny materiálů a jejich náklady

Převodní vzorce
Homogenní izotropní lineární elastické materiály mají své elastické vlastnosti jednoznačně určeny libovolnými dvěma moduly z nich; tedy vzhledem k jakýmkoli dvěma lze libovolný další modul pružnosti vypočítat podle těchto vzorců.
	${ displaystyle K = ,}$	${ displaystyle E = ,}$	${ displaystyle lambda = ,}$	${ displaystyle G = ,}$	${ displaystyle nu = ,}$	${ displaystyle M = ,}$	Poznámky
${ displaystyle (K, , E)}$			${ displaystyle { tfrac {3K (3K-E)} {9K-E}}}$	${ displaystyle { tfrac {3KE} {9K-E}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K-E} {6K}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K (3K + E)} {9K-E}}}$
${ displaystyle (K, , lambda)}$		${ displaystyle { tfrac {9K (K- lambda)} {3K- lambda}}}$		${ displaystyle { tfrac {3 (K- lambda)} {2}}}$	${ displaystyle { tfrac { lambda} {3K- lambda}}}$	${ displaystyle 3K-2 lambda ,}$
${ displaystyle (K, , G)}$		${ displaystyle { tfrac {9KG} {3K + G}}}$	${ displaystyle K - { tfrac {2G} {3}}}$		${ displaystyle { tfrac {3K-2G} {2 (3K + G)}}}$	${ displaystyle K + { tfrac {4G} {3}}}$
${ displaystyle (K, , nu)}$		${ displaystyle 3K (1-2 nu) ,}$	${ displaystyle { tfrac {3K nu} {1+ nu}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K (1-2 nu)} {2 (1+ nu)}}}$		${ displaystyle { tfrac {3K (1- nu)} {1+ nu}}}$
${ displaystyle (K, , M)}$		${ displaystyle { tfrac {9K (M-K)} {3K + M}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K-M} {2}}}$	${ displaystyle { tfrac {3 (M-K)} {4}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K-M} {3K + M}}}$
${ displaystyle (E, , lambda)}$	${ displaystyle { tfrac {E + 3 lambda + R} {6}}}$			${ displaystyle { tfrac {E-3 lambda + R} {4}}}$	${ displaystyle { tfrac {2 lambda} {E + lambda + R}}}$	${ displaystyle { tfrac {E- lambda + R} {2}}}$	${ displaystyle R = { sqrt {E ^ {2} +9 lambda ^ {2} + 2E lambda}}}$
${ displaystyle (E, , G)}$	${ displaystyle { tfrac {EG} {3 (3G-E)}}}$		${ displaystyle { tfrac {G (E-2G)} {3G-E}}}$		${ displaystyle { tfrac {E} {2G}} - 1}$	${ displaystyle { tfrac {G (4G-E)} {3G-E}}}$
${ displaystyle (E, , nu)}$	${ displaystyle { tfrac {E} {3 (1-2 nu)}}}$		${ displaystyle { tfrac {E nu} {(1+ nu) (1-2 nu)}}}$	${ displaystyle { tfrac {E} {2 (1+ nu)}}}$		${ displaystyle { tfrac {E (1- nu)} {(1+ nu) (1-2 nu)}}}$
${ displaystyle (E, , M)}$	${ displaystyle { tfrac {3M-E + S} {6}}}$		${ displaystyle { tfrac {M-E + S} {4}}}$	${ displaystyle { tfrac {3M + E-S} {8}}}$	${ displaystyle { tfrac {E-M + S} {4M}}}$		${ displaystyle S = pm { sqrt {E ^ {2} + 9M ^ {2} -10EM}}}$ Existují dvě platná řešení. Znaménko plus vede k ${ displaystyle nu geq 0}$. Znaménko mínus vede k ${ displaystyle nu leq 0}$.
${ displaystyle ( lambda, , G)}$	${ displaystyle lambda + { tfrac {2G} {3}}}$	${ displaystyle { tfrac {G (3 lambda + 2G)} { lambda + G}}}$			${ displaystyle { tfrac { lambda} {2 ( lambda + G)}}}$	${ displaystyle lambda + 2G ,}$
${ displaystyle ( lambda, , nu)}$	${ displaystyle { tfrac { lambda (1+ nu)} {3 nu}}}$	${ displaystyle { tfrac { lambda (1+ nu) (1-2 nu)} { nu}}}$		${ displaystyle { tfrac { lambda (1-2 nu)} {2 nu}}}$		${ displaystyle { tfrac { lambda (1- nu)} { nu}}}$	Nelze použít, když ${ displaystyle nu = 0 Leftrightarrow lambda = 0}$
${ displaystyle ( lambda, , M)}$	${ displaystyle { tfrac {M + 2 lambda} {3}}}$	${ displaystyle { tfrac {(M- lambda) (M + 2 lambda)} {M + lambda}}}$		${ displaystyle { tfrac {M- lambda} {2}}}$	${ displaystyle { tfrac { lambda} {M + lambda}}}$
${ displaystyle (G, , nu)}$	${ displaystyle { tfrac {2G (1+ nu)} {3 (1-2 nu)}}}$	${ displaystyle 2G (1+ nu) ,}$	${ displaystyle { tfrac {2G nu} {1-2 nu}}}$			${ displaystyle { tfrac {2G (1- nu)} {1-2 nu}}}$
${ displaystyle (G, , M)}$	${ displaystyle M - { tfrac {4G} {3}}}$	${ displaystyle { tfrac {G (3M-4G)} {M-G}}}$	${ displaystyle M-2G ,}$		${ displaystyle { tfrac {M-2G} {2M-2G}}}$
${ displaystyle ( nu, , M)}$	${ displaystyle { tfrac {M (1+ nu)} {3 (1- nu)}}}$	${ displaystyle { tfrac {M (1+ nu) (1-2 nu)} {1- nu}}}$	${ displaystyle { tfrac {M nu} {1- nu}}}$	${ displaystyle { tfrac {M (1-2 nu)} {2 (1- nu)}}}$