Rovinný stres - Plane stress

Obrázek 7.1 Stav rovinného napětí v kontinuu.

v mechanika kontinua, se říká, že materiál je pod rovinné napětí pokud vektor stresu je nula napříč konkrétní rovinou. Pokud k této situaci dojde na celém prvku konstrukce, jak tomu často u tenkých desek je, stresová analýza je značně zjednodušeno, protože stresový stav může být reprezentován a tenzor dimenze 2 (reprezentovatelná spíše jako matice 2 × 2 než 3 × 3). ^[1] Související pojetí, rovinné napětí, je často použitelný pro velmi silné členy.

Rovinné napětí se obvykle vyskytuje u tenkých plochých desek, na které působí pouze síly zatížení, které jsou s nimi rovnoběžné. V určitých situacích lze u jemně zakřivené tenké desky předpokládat, že má pro účely analýzy napětí rovinné napětí. To je například případ tenkostěnného válce naplněného kapalinou pod tlakem. V takových případech jsou složky napětí kolmé k desce zanedbatelné ve srovnání s těmi rovnoběžnými s deskou.^[1]

V jiných situacích však nelze zanedbávat ohybové napětí tenké desky. Lze stále zjednodušit analýzu pomocí dvourozměrné domény, ale tenzor rovinného napětí v každém bodě musí být doplněn ohybovými podmínkami.

Matematická definice

Matematicky je napětí v určitém bodě materiálu rovinné napětí, pokud je jedním ze tří hlavní napětí (dále jen vlastní čísla z Cauchyho tenzor napětí ) je nula. To znamená, že existuje Kartézský souřadnicový systém ve kterém má tenzor napětí tvar

${displaystyle sigma = {egin {bmatrix} sigma _ {11} & 0 & 0 0 & sigma _ {22} & 0 0 & 0 & 0end {bmatrix}} equiv {egin {bmatrix} sigma _ {x} & 0 & 0 0 & sigma _ {y} & 0 0 & 0 & 0end { bmatrix}}}$

Zvažte například obdélníkový blok materiálu o rozměrech 10, 40 a 5 cm podél ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$, a ${displaystyle z}$, který se táhne v ${displaystyle x}$ směru a stlačený v ${displaystyle y}$ směru, dvojicemi opačných sil s velikostmi 10 N a 20 N, v tomto pořadí, rovnoměrně rozloženo na odpovídajících plochách. Tenzor napětí uvnitř bloku bude

${displaystyle sigma = {egin {bmatrix} 500mathrm {Pa} & 0 & 0 0 & -4000mathrm {Pa} & 0 0 & 0 & 0end {bmatrix}}}$

Obecněji řečeno, pokud si člověk zvolí první dvě souřadnicové osy libovolně, ale kolmo ke směru nulového napětí, bude mít tenzor napětí tvar

${displaystyle sigma = {egin {bmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} & 0 sigma _ {21} & sigma _ {22} & 0 0 & 0 & 0end {bmatrix}} equiv {egin {bmatrix} sigma _ {x} & au _ {xy} & 0 au _ {yx} & sigma _ {y} & 0 0 & 0 & 0end {bmatrix}}}$

a proto může být reprezentována maticí 2 × 2,

${displaystyle sigma _ {ij} = {egin {bmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} sigma _ {21} & sigma _ {22} end {bmatrix}} equiv {egin {bmatrix} sigma _ {x} & au _ {xy} au _ {yx} & sigma _ {y} konec {bmatrix}}}$

Konstitutivní rovnice

Vidět Hookeův zákon # Plane_stress

Rovinné napětí v zakřivených plochách

V určitých případech lze model rovinného napětí použít při analýze mírně zakřivených povrchů. Zvažte například tenkostěnný válec vystavený axiálnímu tlakovému zatížení rovnoměrně rozloženému podél jeho okraje a naplněného stlačenou tekutinou. Vnitřní tlak vytvoří reaktivní stres obruče na stěně normální tahové napětí namířené kolmo k ose válce a tangenciální k jeho povrchu. Válec může být koncepčně rozvinut a analyzován jako plochá tenká obdélníková deska vystavená tahovému zatížení v jednom směru a tlakovému zatížení v jiném jiném směru, obě rovnoběžně s deskou.

Rovinné napětí (kmenová matice)

Obrázek 7.2 Stav rovinné deformace v kontinuu.

Pokud je jedna dimenze ve srovnání s ostatními velmi velká, pak hlavní kmen ve směru nejdelší dimenze je omezena a lze ji považovat za nulovou, což vede k rovinné deformaci (obrázek 7.2). V tomto případě, i když jsou všechna hlavní napětí nenulová, lze pro výpočty ignorovat hlavní napětí ve směru nejdelší dimenze. Umožňuje tedy dvourozměrnou analýzu napětí, např. A přehrada analyzovány v průřezu zatíženém rezervoárem.

Odpovídající tenzor napětí je:

${displaystyle varepsilon _ {ij} = {egin {bmatrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} & 0 varepsilon _ {21} & varepsilon _ {22} & 0 0 & 0 & varepsilon _ {33} end {bmatrix}} ,!}$

ve kterém nenulová ${displaystyle varepsilon _ {33} ,!}$ termín vychází z Poissonův efekt. Tento deformační člen lze dočasně odstranit z napěťové analýzy, aby zůstaly pouze rovinné termíny, čímž se efektivně sníží analýza na dvě dimenze.^[1]

Transformace napětí v rovinném napětí a rovinném přetvoření

Zvažte bod ${displaystyle P ,!}$ v kontinuu za stavu rovinného napětí nebo rovinného přetvoření se složkami napětí ${displaystyle (sigma _ {x}, sigma _ {y}, au _ {xy}) ,!}$ a všechny ostatní složky napětí rovné nule (obrázek 8.1). Ze statické rovnováhy nekonečně malého hmotného prvku v ${displaystyle P ,!}$ (Obrázek 8.2), normální napětí ${displaystyle sigma _ {mathrm {n}} ,!}$ a smykové napětí ${displaystyle au _ {mathrm {n}} ,!}$ v jakékoli rovině kolmé na ${displaystyle x ,!}$-${displaystyle y ,!}$ letadlo procházející ${displaystyle P ,!}$ s jednotkovým vektorem ${displaystyle mathbf {n},!}$ dělat úhel ${displaystyle heta,!}$ s vodorovnou, tj. ${displaystyle cos heta,!}$ je směr kosinu v ${displaystyle x ,!}$ směr, je dán vztahem:

${displaystyle sigma _ {mathrm {n}} = {frac {1} {2}} (sigma _ {x} + sigma _ {y}) + {frac {1} {2}} (sigma _ {x} - sigma _ {y}) protože 2 heta + au _ {xy} hřích 2 heta,!}$

${displaystyle au _ {mathrm {n}} = - {frac {1} {2}} (sigma _ {x} -sigma _ {y}) sin 2 heta + au _ {xy} cos 2 heta,!}$

Tyto rovnice naznačují, že v podmínkách rovinného napětí nebo rovinného přetvoření lze určit složky napětí v bodě ve všech směrech, tj. Jako funkci ${displaystyle heta,!}$, pokud někdo zná složky napětí ${displaystyle (sigma _ {x}, sigma _ {y}, au _ {xy}) ,!}$ v jakýchkoli dvou kolmých směrech v tomto bodě. Je důležité si uvědomit, že uvažujeme o jednotkové ploše nekonečně malého prvku ve směru rovnoběžném s ${displaystyle y ,!}$-${displaystyle z ,!}$ letadlo.

Obrázek 8.1 - Transformace napětí v bodě kontinua za podmínek rovinného napětí.

Obrázek 8.2 - Složky napětí v rovině procházející bodem v kontinuu za podmínek rovinného napětí.

Hlavní směry (obrázek 8.3), tj. Orientaci rovin, kde jsou složky smykového napětí nulové, lze získat vytvořením předchozí rovnice pro smykové napětí ${displaystyle au _ {mathrm {n}} ,!}$ rovna nule. Máme tedy:

${displaystyle au _ {mathrm {n}} = - {frac {1} {2}} (sigma _ {x} -sigma _ {y}) sin 2 heta + au _ {xy} cos 2 heta = 0 ,! }$

a získáme

${displaystyle an 2 heta _ {mathrm {p}} = {frac {2 au _ {xy}} {sigma _ {x} -sigma _ {y}}} ,!}$

Tato rovnice definuje dvě hodnoty ${displaystyle heta _ {mathrm {p}} ,!}$ což jsou ${displaystyle 90 ^ {circ} ,!}$ od sebe (obrázek 8.3). Stejného výsledku lze dosáhnout nalezením úhlu ${displaystyle heta,!}$ což vytváří normální stres ${displaystyle sigma _ {mathrm {n}} ,!}$ maximum, tj. ${displaystyle {frac {dsigma _ {mathrm {n}}} {d heta}} = 0 ,!}$

Hlavní zdůrazňuje ${displaystyle sigma _ {1} ,!}$ a ${displaystyle sigma _ {2} ,!}$nebo minimální a maximální normální napětí ${displaystyle sigma _ {mathrm {max}} ,!}$ a ${displaystyle sigma _ {mathrm {min}} ,!}$, lze poté získat nahrazením obou hodnot parametru ${displaystyle heta _ {mathrm {p}} ,!}$ do předchozí rovnice pro ${displaystyle sigma _ {mathrm {n}} ,!}$. Toho lze dosáhnout přeuspořádáním rovnic pro ${displaystyle sigma _ {mathrm {n}} ,!}$ a ${displaystyle au _ {mathrm {n}} ,!}$, první transponování prvního členu do první rovnice a vyrovnání obou stran každé z rovnic a jejich přidání. Tak to máme

${displaystyle left [sigma _ {mathrm {n}} - {frac {1} {2}} (sigma _ {x} + sigma _ {y}) ight] ^ {2} + au _ {mathrm {n}} ^ {2} = vlevo [{frac {1} {2}} (sigma _ {x} -sigma _ {y}) ight] ^ {2} + au _ {xy} ^ {2} ,!}$

${displaystyle (sigma _ {mathrm {n}} -sigma _ {mathrm {avg}}) ^ {2} + au _ {mathrm {n}} ^ {2} = R ^ {2} ,!}$

kde

${displaystyle R = {sqrt {left [{frac {1} {2}} (sigma _ {x} -sigma _ {y}) ight] ^ {2} + au _ {xy} ^ {2}}} čtyřkolka {ext {and}} quad sigma _ {mathrm {avg}} = {frac {1} {2}} (sigma _ {x} + sigma _ {y}) ,!}$

což je rovnice kruhu o poloměru ${displaystyle R ,!}$ na střed v bodě se souřadnicemi ${displaystyle [sigma _ {mathrm {avg}}, 0] ,!}$, volala Mohrův kruh. Vědět, že to pro ředitele zdůrazňuje smykové napětí ${displaystyle au _ {mathrm {n}} = 0 ,!}$, pak z této rovnice získáme:

${displaystyle sigma _ {1} = sigma _ {mathrm {max}} = {frac {1} {2}} (sigma _ {x} + sigma _ {y}) + {sqrt {left [{frac {1} {2}} (sigma _ {x} -sigma _ {y}) ight] ^ {2} + au _ {xy} ^ {2}}} ,!}$

${displaystyle sigma _ {2} = sigma _ {mathrm {min}} = {frac {1} {2}} (sigma _ {x} + sigma _ {y}) - {sqrt {left [{frac {1} {2}} (sigma _ {x} -sigma _ {y}) ight] ^ {2} + au _ {xy} ^ {2}}} ,!}$

Obrázek 8.3 - Transformace napětí ve dvou rozměrech, znázorňující roviny působení hlavních napětí a maximální a minimální smykové napětí.

Když ${displaystyle au _ {xy} = 0 ,!}$ nekonečně malý prvek je orientován ve směru hlavních rovin, takže napětí působící na obdélníkový prvek jsou hlavní napětí: ${displaystyle sigma _ {x} = sigma _ {1} ,!}$ a ${displaystyle sigma _ {y} = sigma _ {2} ,!}$. Pak normální stres ${displaystyle sigma _ {mathrm {n}} ,!}$ a smykové napětí ${displaystyle au _ {mathrm {n}} ,!}$ jako funkci hlavních napětí lze určit provedením ${displaystyle au _ {xy} = 0 ,!}$. Tak to máme

${displaystyle sigma _ {mathrm {n}} = {frac {1} {2}} (sigma _ {1} + sigma _ {2}) + {frac {1} {2}} (sigma _ {1} - sigma _ {2}) protože 2 heta,!}$

${displaystyle au _ {mathrm {n}} = - {frac {1} {2}} (sigma _ {1} -sigma _ {2}) hřích 2 heta,!}$

Pak maximální smykové napětí ${displaystyle au _ {mathrm {max}} ,!}$ nastane, když ${displaystyle sin 2 heta = 1 ,!}$, tj. ${displaystyle heta = 45 ^ {circ} ,!}$ (Obrázek 8.3):

${displaystyle au _ {mathrm {max}} = {frac {1} {2}} (sigma _ {1} -sigma _ {2}) ,!}$

Pak minimální smykové napětí ${displaystyle au _ {mathrm {min}} ,!}$ nastane, když ${displaystyle sin 2 heta = -1 ,!}$, tj. ${displaystyle heta = 135 ^ {circ} ,!}$ (Obrázek 8.3):

${displaystyle au _ {mathrm {min}} = - {frac {1} {2}} (sigma _ {1} -sigma _ {2}) ,!}$

Viz také

• Rovina napětí

Reference