Lamé parametry - Lamé parameters

v mechanika kontinua, Lamé parametry (nazývané také Lamé koeficienty, Laméovy konstanty nebo Lamé moduly) jsou dvě na materiálu závislé veličiny označené λ a μ, které vznikají v kmen -stres vztahy.^[1] Obecně, λ a μ jsou jednotlivě označovány jako Laméův první parametr a Lameho druhý parametr, resp. Pro jeden nebo oba parametry se někdy používají jiné názvy, v závislosti na kontextu. Například parametr μ je uveden v dynamika tekutin jako dynamická viskozita tekutiny (ne stejné jednotky); vzhledem k tomu, že v kontextu pružnost, μ se nazývá tažný modul,^[2]:333 a je někdy označován G namísto μ. Typicky je zápis G viděn spárovaný s použitím Youngův modul E a zápis μ je spárován s použitím λ.

V homogenní a izotropní tyto materiály definují Hookeův zákon ve 3D,

${displaystyle {oldsymbol {sigma}} = 2mu {oldsymbol {varepsilon}} + lambda; mathrm {tr} ({oldsymbol {varepsilon}}) I,}$

kde σ je stres, ε the tenzor napětí, Já the matice identity a tr the stopa funkce. Hookeův zákon může být napsán ve smyslu tenzorových komponent pomocí indexové notace jako

${displaystyle sigma _ {ij} = 2mu E_ {ij} + lambda delta _ {ij} E_ {kk},}$

kde σ_ij je tenzor napětí, E_ij tenzor napětí a δ_ij the Kroneckerova delta.

Tyto dva parametry společně představují parametrizaci modulů pružnosti pro homogenní izotropní média, populární v matematické literatuře, a jsou tedy spojeny s ostatními elastické moduly; například objemový modul lze vyjádřit jako K. = λ + 2/3μ. Vztahy pro další moduly se nacházejí v (λ, G) řádek převodní tabulky na konci tohoto článku.

Ačkoli modul smyku, μ, musí být kladné, první parametr Lamé, λ, může být v zásadě záporný; pro většinu materiálů je to však také pozitivní.

Parametry jsou pojmenovány po Gabriel Lamé. Mají stejné dimenze jako napětí a jsou obvykle uvedeny v tlakové jednotce [Pa].

Další čtení

• K. Feng, Z.-C. Shi, Matematická teorie elastických struktur, Springer New York, ISBN  0-387-51326-4, (1981)
• G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin, Příručka fyziky hornin, Cambridge University Press (brožovaná verze), ISBN  0-521-54344-4, (2003)
• W.S. Porážka, Linearizovaná teorie pružnosti, Birkhäuser, ISBN  0-8176-4117-3, (2002)

Reference

Převodní vzorce
Homogenní izotropní lineární elastické materiály mají své elastické vlastnosti jednoznačně určeny libovolnými dvěma moduly z nich; tedy vzhledem k jakýmkoli dvěma lze libovolný další modul pružnosti vypočítat podle těchto vzorců.
	${displaystyle K =,}$	${displaystyle E =,}$	${displaystyle lambda =,}$	${displaystyle G =,}$	${displaystyle u =,}$	${displaystyle M =,}$	Poznámky
${displaystyle (K ,, E)}$			${displaystyle {frac {3K (3K-E)} {9K-E}}}$	${displaystyle {frac {3KE} {9K-E}}}$	${displaystyle {frac {3K-E} {6K}}}$	${displaystyle {frac {3K (3K + E)} {9K-E}}}$
${displaystyle (K ,, lambda)}$		${displaystyle {frac {9K (K-lambda)} {3K-lambda}}}$		${displaystyle {frac {3 (K-lambda)} {2}}}$	${displaystyle {frac {lambda} {3K-lambda}}}$	${displaystyle 3K-2lambda,}$
${displaystyle (K ,, G)}$		${displaystyle {frac {9KG} {3K + G}}}$	${displaystyle K- {frac {2G} {3}}}$		${displaystyle {frac {3K-2G} {2 (3K + G)}}}$	${displaystyle K + {frac {4G} {3}}}$
${displaystyle (K ,, u)}$		${displaystyle 3K (1-2u),}$	${displaystyle {frac {3Ku} {1 + u}}}$	${displaystyle {frac {3K (1-2u)} {2 (1 + u)}}}$		${displaystyle {frac {3K (1-u)} {1 + u}}}$
${displaystyle (K ,, M)}$		${displaystyle {frac {9K (M-K)} {3K + M}}}$	${displaystyle {frac {3K-M} {2}}}$	${displaystyle {frac {3 (M-K)} {4}}}$	${displaystyle {frac {3K-M} {3K + M}}}$
${displaystyle (E ,, lambda)}$	${displaystyle {frac {E + 3lambda + R} {6}}}$			${displaystyle {frac {E-3lambda + R} {4}}}$	${displaystyle {frac {2lambda} {E + lambda + R}}}$	${displaystyle {frac {E-lambda + R} {2}}}$	${displaystyle R = {sqrt {E ^ {2} + 9lambda ^ {2} + 2Elambda}}}$
${displaystyle (E ,, G)}$	${displaystyle {frac {EG} {3 (3G-E)}}}$		${displaystyle {frac {G (E-2G)} {3G-E}}}$		${displaystyle {frac {E} {2G}} - 1}$	${displaystyle {frac {G (4G-E)} {3G-E}}}$
${displaystyle (E ,, u)}$	${displaystyle {frac {E} {3 (1-2u)}}}$		${displaystyle {frac {Eu} {(1 + u) (1-2u)}}}$	${displaystyle {frac {E} {2 (1 + u)}}}$		${displaystyle {frac {E (1-u)} {(1 + u) (1-2u)}}}$
${displaystyle (E ,, M)}$	${displaystyle {frac {3M-E + S} {6}}}$		${displaystyle {frac {M-E + S} {4}}}$	${displaystyle {frac {3M + E-S} {8}}}$	${displaystyle {frac {E-M + S} {4M}}}$		${displaystyle S = pm {sqrt {E ^ {2} + 9M ^ {2} -10EM}}}$ Existují dvě platná řešení. Znaménko plus vede k ${displaystyle u geq 0}$. Znaménko mínus vede k ${displaystyle u leq 0}$.
${displaystyle (lambda ,, G)}$	${displaystyle lambda + {frac {2G} {3}}}$	${displaystyle {frac {G (3lambda + 2G)} {lambda + G}}}$			${displaystyle {frac {lambda} {2 (lambda + G)}}}$	${displaystyle lambda + 2G,}$
${displaystyle (lambda ,, u)}$	${displaystyle {frac {lambda (1 + u)} {3u}}}$	${displaystyle {frac {lambda (1 + u) (1-2u)} {u}}}$		${displaystyle {frac {lambda (1-2u)} {2u}}}$		${displaystyle {frac {lambda (1-u)} {u}}}$	Nelze použít, když ${displaystyle u = 0Leftrightarrow lambda = 0}$
${displaystyle (lambda ,, M)}$	${displaystyle {frac {M + 2lambda} {3}}}$	${displaystyle {frac {(M-lambda) (M + 2lambda)} {M + lambda}}}$		${displaystyle {frac {M-lambda} {2}}}$	${displaystyle {frac {lambda} {M + lambda}}}$
${displaystyle (G ,, u)}$	${displaystyle {frac {2G (1 + u)} {3 (1-2u)}}}$	${displaystyle 2G (1 + u),}$	${displaystyle {frac {2Gu} {1-2u}}}$			${displaystyle {frac {2G (1-u)} {1-2u}}}$
${displaystyle (G ,, M)}$	${displaystyle M- {frac {4G} {3}}}$	${displaystyle {frac {G (3M-4G)} {M-G}}}$	${displaystyle M-2G,}$		${displaystyle {frac {M-2G} {2M-2G}}}$
${displaystyle (u ,, M)}$	${displaystyle {frac {M (1 + u)} {3 (1-u)}}}$	${displaystyle {frac {M (1 + u) (1-2u)} {1-u}}}$	${displaystyle {frac {Mu} {1-u}}}$	${displaystyle {frac {M (1-2u)} {2 (1-u)}}}$