model hyperelastického materiálu
v mechanika kontinua , a Mooney – Rivlin pevný [1] [2] je hyperelastický materiál model kde funkce hustoty deformační energie Ž { displaystyle W ,} je lineární kombinace dvou invarianty z vlevo Cauchy – Tenzor zelené deformace B { displaystyle { boldsymbol {B}}} . Model navrhl Melvin Mooney v roce 1940 a vyjádřeno jako invarianty od Ronald Rivlin v roce 1948.
Funkce hustoty deformační energie pro nestlačitelný Materiál Mooney-Rivlin je[3] [4]
Ž = C 1 ( Já ¯ 1 − 3 ) + C 2 ( Já ¯ 2 − 3 ) , { displaystyle W = C_ {1} ({ bar {I}} _ {1} -3) + C_ {2} ({ bar {I}} _ {2} -3), ,} kde C 1 { displaystyle C_ {1}} a C 2 { displaystyle C_ {2}} jsou empiricky určené materiálové konstanty a Já ¯ 1 { displaystyle { bar {I}} _ {1}} a Já ¯ 2 { displaystyle { bar {I}} _ {2}} jsou první a druhý neměnný z B ¯ = ( det B ) − 1 / 3 B { displaystyle { bar { boldsymbol {B}}} = ( det { boldsymbol {B}}) ^ {- 1/3} { boldsymbol {B}}} (dále jen unimodulární součást B { displaystyle { boldsymbol {B}}} [5] ):
Já ¯ 1 = J − 2 / 3 Já 1 , Já 1 = λ 1 2 + λ 2 2 + λ 3 2 , Já ¯ 2 = J − 4 / 3 Já 2 , Já 2 = λ 1 2 λ 2 2 + λ 2 2 λ 3 2 + λ 3 2 λ 1 2 { displaystyle { begin {aligned} { bar {I}} _ {1} & = J ^ {- 2/3} ~ I_ {1}, quad I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2}, { bar {I}} _ {2} & = J ^ {- 4/3} ~ I_ {2}, quad I_ {2} = lambda _ {1} ^ {2} lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} lambda _ {3} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} lambda _ {1} ^ {2} end {zarovnáno}}} kde F { displaystyle { boldsymbol {F}}} je gradient deformace a J = det ( F ) = λ 1 λ 2 λ 3 { displaystyle J = det ({ boldsymbol {F}}) = lambda _ {1} lambda _ {2} lambda _ {3}} . Pro nestlačitelný materiál, J = 1 { displaystyle J = 1} .
Derivace Model Mooney-Rivlin je zvláštním případem zobecněný model Rivlin (také zvaný polynomiální hyperelastický model [6] ), který má formu
Ž = ∑ str , q = 0 N C str q ( Já ¯ 1 − 3 ) str ( Já ¯ 2 − 3 ) q + ∑ m = 1 M D m ( J − 1 ) 2 m { displaystyle W = sum _ {p, q = 0} ^ {N} C_ {pq} ({ bar {I}} _ {1} -3) ^ {p} ~ ({ bar {I} } _ {2} -3) ^ {q} + sum _ {m = 1} ^ {M} D_ {m} ~ (J-1) ^ {2m}} s C 00 = 0 { displaystyle C_ {00} = 0} kde C str q { displaystyle C_ {pq}} jsou materiálové konstanty související se zkreslující odezvou a D m { displaystyle D_ {m}} jsou materiálové konstanty vztahující se k objemové odezvě. Pro stlačitelný Materiál Mooney – Rivlin N = 1 , C 01 = C 2 , C 11 = 0 , C 10 = C 1 , M = 1 { displaystyle N = 1, C_ {01} = C_ {2}, C_ {11} = 0, C_ {10} = C_ {1}, M = 1} a máme
Ž = C 01 ( Já ¯ 2 − 3 ) + C 10 ( Já ¯ 1 − 3 ) + D 1 ( J − 1 ) 2 { displaystyle W = C_ {01} ~ ({ bar {I}} _ {2} -3) + C_ {10} ~ ({ bar {I}} _ {1} -3) + D_ {1 } ~ (J-1) ^ {2}} Li C 01 = 0 { displaystyle C_ {01} = 0} získáme a neohookeanská pevná látka , speciální případ a Mooney – Rivlin pevný .
Pro soulad s lineární pružnost v limitu malé kmeny , to je nutné
κ = 2 ⋅ D 1 ; μ = 2 ( C 01 + C 10 ) { displaystyle kappa = 2 cdot D_ {1} ~; ~~ mu = 2 ~ (C_ {01} + C_ {10})} kde κ { displaystyle kappa} je objemový modul a μ { displaystyle mu} je tažný modul .
Cauchyovo napětí z hlediska invariantů přetvoření a tenzorů deformace The Cauchyho stres v stlačitelný hyperelastický materiál s referenční konfigurací bez napětí je dán vztahem
σ = 2 J [ 1 J 2 / 3 ( ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 + Já ¯ 1 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ) B − 1 J 4 / 3 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 B ⋅ B ] + [ ∂ Ž ∂ J − 2 3 J ( Já ¯ 1 ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 + 2 Já ¯ 2 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ) ] Já { displaystyle { boldsymbol { sigma}} = { cfrac {2} {J}} vlevo [{ cfrac {1} {J ^ {2/3}}} vlevo ({ cfrac { částečné {W}} { částečné { bar {I}} _ {1}}} + { bar {I}} _ {1} ~ { cfrac { částečné {W}} { částečné { bar { I}} _ {2}}} vpravo) { boldsymbol {B}} - { cfrac {1} {J ^ {4/3}}} ~ { cfrac { částečné {W}} { částečné { bar {I}} _ {2}}} ~ { boldsymbol {B}} cdot { boldsymbol {B}} doprava] + doleva [{ cfrac { částečné {W}} { částečné J}} - { cfrac {2} {3J}} vlevo ({ bar {I}} _ {1} ~ { cfrac { částečné {W}} { částečné { bar {I}} _ {1}}} + 2 ~ { bar {I}} _ {2} ~ { cfrac { částečné {W}} { částečné { bar {I}} _ {2}}} vpravo) vpravo] ~ { boldsymbol {I}}} U stlačitelného materiálu Mooney – Rivlin,
∂ Ž ∂ Já ¯ 1 = C 1 ; ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 = C 2 ; ∂ Ž ∂ J = 2 D 1 ( J − 1 ) { displaystyle { cfrac { částečné {W}} { částečné { bar {I}} _ {1}}} = C_ {1} ~; ~~ { cfrac { částečné {W}} { částečný { bar {I}} _ {2}}} = C_ {2} ~; ~~ { cfrac { částečný {W}} { částečný J}} = 2D_ {1} (J-1)} Proto je Cauchyovo napětí ve stlačitelném materiálu Mooney-Rivlin dáno vztahem
σ = 2 J [ 1 J 2 / 3 ( C 1 + Já ¯ 1 C 2 ) B − 1 J 4 / 3 C 2 B ⋅ B ] + [ 2 D 1 ( J − 1 ) − 2 3 J ( C 1 Já ¯ 1 + 2 C 2 Já ¯ 2 ) ] Já { displaystyle { boldsymbol { sigma}} = { cfrac {2} {J}} vlevo [{ cfrac {1} {J ^ {2/3}}} vlevo (C_ {1} + { bar {I}} _ {1} ~ C_ {2} right) { boldsymbol {B}} - { cfrac {1} {J ^ {4/3}}} ~ C_ {2} ~ { boldsymbol {B}} cdot { boldsymbol {B}} doprava] + doleva [2D_ {1} (J-1) - { cfrac {2} {3J}} doleva (C_ {1} { lišta {I}} _ {1} + 2C_ {2} { bar {I}} _ {2} ~ vpravo) doprava] { boldsymbol {I}}} Po nějaké algebře lze ukázat, že tlak je dána
str := − 1 3 tr ( σ ) = − ∂ Ž ∂ J = − 2 D 1 ( J − 1 ) . { displaystyle p: = - { tfrac {1} {3}} , { text {tr}} ({ boldsymbol { sigma}}) = - { frac { částečné W} { částečné J }} = - 2D_ {1} (J-1) ,.} Napětí lze poté vyjádřit ve formě
σ = − str Já + 1 J [ 2 J 2 / 3 ( C 1 + Já ¯ 1 C 2 ) B − 2 J 4 / 3 C 2 B ⋅ B − 2 3 ( C 1 Já ¯ 1 + 2 C 2 Já ¯ 2 ) Já ] . { displaystyle { boldsymbol { sigma}} = - p ~ { boldsymbol {I}} + { cfrac {1} {J}} left [{ cfrac {2} {J ^ {2/3} }} left (C_ {1} + { bar {I}} _ {1} ~ C_ {2} right) { boldsymbol {B}} - { cfrac {2} {J ^ {4/3 }}} ~ C_ {2} ~ { boldsymbol {B}} cdot { boldsymbol {B}} - { cfrac {2} {3}} vlevo (C_ {1} , { bar {I }} _ {1} + 2C_ {2} , { bar {I}} _ {2} right) { boldsymbol {I}} right] ,.} Výše uvedená rovnice je často psána pomocí unimodulárního tenzoru B ¯ = J − 2 / 3 B { displaystyle { bar { boldsymbol {B}}} = J ^ {- 2/3} , { boldsymbol {B}}} :
σ = − str Já + 1 J [ 2 ( C 1 + Já ¯ 1 C 2 ) B ¯ − 2 C 2 B ¯ ⋅ B ¯ − 2 3 ( C 1 Já ¯ 1 + 2 C 2 Já ¯ 2 ) Já ] . { displaystyle { boldsymbol { sigma}} = - p ~ { boldsymbol {I}} + { cfrac {1} {J}} vlevo [2 vlevo (C_ {1} + { bar {I }} _ {1} ~ C_ {2} right) { bar { boldsymbol {B}}} - 2 ~ C_ {2} ~ { bar { boldsymbol {B}}} cdot { bar { boldsymbol {B}}} - { cfrac {2} {3}} vlevo (C_ {1} , { bar {I}} _ {1} + 2C_ {2} , { bar {I }} _ {2} right) { boldsymbol {I}} right] ,.} Pro nestlačitelný Materiál Mooney – Rivlin s J = 1 { displaystyle J = 1} tam drží str = 0 { displaystyle p = 0} a B ¯ = B { displaystyle { bar { boldsymbol {B}}} = { boldsymbol {B}}} . Tím pádem
σ = 2 ( C 1 + Já 1 C 2 ) B − 2 C 2 B ⋅ B − 2 3 ( C 1 Já 1 + 2 C 2 Já 2 ) Já . { displaystyle { boldsymbol { sigma}} = 2 vlevo (C_ {1} + I_ {1} ~ C_ {2} vpravo) { boldsymbol {B}} - 2C_ {2} ~ { boldsymbol { B}} cdot { boldsymbol {B}} - { cfrac {2} {3}} vlevo (C_ {1} , I_ {1} + 2C_ {2} , I_ {2} vpravo) { boldsymbol {I}} ,.} Od té doby det J = 1 { displaystyle det J = 1} the Cayley-Hamiltonova věta naznačuje
B − 1 = B ⋅ B − Já 1 B + Já 2 Já . { displaystyle { boldsymbol {B}} ^ {- 1} = { boldsymbol {B}} cdot { boldsymbol {B}} - I_ {1} ~ { boldsymbol {B}} + I_ {2} ~ { boldsymbol {I}}.} Proto může být Cauchyovo napětí vyjádřeno jako
σ = − str ∗ Já + 2 C 1 B − 2 C 2 B − 1 { displaystyle { boldsymbol { sigma}} = - p ^ {*} ~ { boldsymbol {I}} + 2C_ {1} ~ { boldsymbol {B}} - 2C_ {2} ~ { boldsymbol {B }} ^ {- 1}} kde str ∗ := 2 3 ( C 1 Já 1 − C 2 Já 2 ) . { displaystyle p ^ {*}: = { tfrac {2} {3}} (C_ {1} ~ I_ {1} -C_ {2} ~ I_ {2}). ,}
Cauchyův stres z hlediska hlavních úseků Z hlediska hlavní úseky , Cauchyho stresové rozdíly pro nestlačitelný hyperelastický materiál jsou dány
σ 11 − σ 33 = λ 1 ∂ Ž ∂ λ 1 − λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 ; σ 22 − σ 33 = λ 2 ∂ Ž ∂ λ 2 − λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 { displaystyle sigma _ {11} - sigma _ {33} = lambda _ {1} ~ { cfrac { částečné {W}} { částečné lambda _ {1}}} - lambda _ { 3} ~ { cfrac { částečné {W}} { částečné lambda _ {3}}} ~; ~~ sigma _ {22} - sigma _ {33} = lambda _ {2} ~ { cfrac { částečné {W}} { částečné lambda _ {2}}} - lambda _ {3} ~ { cfrac { částečné {W}} { částečné lambda _ {3}}}} Pro nestlačitelný Materiál Mooney-Rivlin,
Ž = C 1 ( λ 1 2 + λ 2 2 + λ 3 2 − 3 ) + C 2 ( λ 1 2 λ 2 2 + λ 2 2 λ 3 2 + λ 3 2 λ 1 2 − 3 ) ; λ 1 λ 2 λ 3 = 1 { displaystyle W = C_ {1} ( lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} -3) + C_ {2} ( lambda _ {1} ^ {2} lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} lambda _ {3} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} lambda _ {1} ^ {2} -3) ~; ~~ lambda _ {1} lambda _ {2} lambda _ {3} = 1} Proto,
λ 1 ∂ Ž ∂ λ 1 = 2 C 1 λ 1 2 + 2 C 2 λ 1 2 ( λ 2 2 + λ 3 2 ) ; λ 2 ∂ Ž ∂ λ 2 = 2 C 1 λ 2 2 + 2 C 2 λ 2 2 ( λ 1 2 + λ 3 2 ) ; λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 = 2 C 1 λ 3 2 + 2 C 2 λ 3 2 ( λ 1 2 + λ 2 2 ) { displaystyle lambda _ {1} { cfrac { částečné {W}} { částečné lambda _ {1}}} = 2C_ {1} lambda _ {1} ^ {2} + 2C_ {2} lambda _ {1} ^ {2} ( lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2}) ~; ~~ lambda _ {2} { cfrac { částečné { W}} { částečné lambda _ {2}}} = 2C_ {1} lambda _ {2} ^ {2} + 2C_ {2} lambda _ {2} ^ {2} ( lambda _ {1 } ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2}) ~; ~~ lambda _ {3} { cfrac { částečné {W}} { částečné lambda _ {3}}} = 2C_ {1} lambda _ {3} ^ {2} + 2C_ {2} lambda _ {3} ^ {2} ( lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} )} Od té doby λ 1 λ 2 λ 3 = 1 { displaystyle lambda _ {1} lambda _ {2} lambda _ {3} = 1} . můžeme psát
λ 1 ∂ Ž ∂ λ 1 = 2 C 1 λ 1 2 + 2 C 2 ( 1 λ 3 2 + 1 λ 2 2 ) ; λ 2 ∂ Ž ∂ λ 2 = 2 C 1 λ 2 2 + 2 C 2 ( 1 λ 3 2 + 1 λ 1 2 ) λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 = 2 C 1 λ 3 2 + 2 C 2 ( 1 λ 2 2 + 1 λ 1 2 ) { displaystyle { begin {zarovnaný} lambda _ {1} { cfrac { částečný {W}} { částečný lambda _ {1}}} & = 2C_ {1} lambda _ {1} ^ { 2} + 2C_ {2} left ({ cfrac {1} { lambda _ {3} ^ {2}}} + { cfrac {1} { lambda _ {2} ^ {2}}} vpravo) ~; ~~ lambda _ {2} { cfrac { částečné {W}} { částečné lambda _ {2}}} = 2C_ {1} lambda _ {2} ^ {2} + 2C_ {2} left ({ cfrac {1} { lambda _ {3} ^ {2}}} + { cfrac {1} { lambda _ {1} ^ {2}}} right) lambda _ {3} { cfrac { částečné {W}} { částečné lambda _ {3}}} & = 2C_ {1} lambda _ {3} ^ {2} + 2C_ {2} vlevo ({ cfrac {1} { lambda _ {2} ^ {2}}} + { cfrac {1} { lambda _ {1} ^ {2}}} right) end {zarovnáno}}} Pak se stanou výrazy pro Cauchyho rozdíly napětí
σ 11 − σ 33 = 2 C 1 ( λ 1 2 − λ 3 2 ) − 2 C 2 ( 1 λ 1 2 − 1 λ 3 2 ) ; σ 22 − σ 33 = 2 C 1 ( λ 2 2 − λ 3 2 ) − 2 C 2 ( 1 λ 2 2 − 1 λ 3 2 ) { displaystyle sigma _ {11} - sigma _ {33} = 2C_ {1} ( lambda _ {1} ^ {2} - lambda _ {3} ^ {2}) - 2C_ {2} vlevo ({ cfrac {1} { lambda _ {1} ^ {2}}} - { cfrac {1} { lambda _ {3} ^ {2}}} vpravo) ~; ~~ sigma _ {22} - sigma _ {33} = 2C_ {1} ( lambda _ {2} ^ {2} - lambda _ {3} ^ {2}) - 2C_ {2} left ({ cfrac {1} { lambda _ {2} ^ {2}}} - { cfrac {1} { lambda _ {3} ^ {2}}} vpravo)} Jednoosé prodloužení V případě nestlačitelného materiálu Mooney – Rivlin při jednoosém prodloužení, λ 1 = λ { displaystyle lambda _ {1} = lambda ,} a λ 2 = λ 3 = 1 / λ { displaystyle lambda _ {2} = lambda _ {3} = 1 / { sqrt { lambda}}} . Pak skutečný stres Rozdíly (Cauchyho stresu) lze vypočítat jako:
σ 11 − σ 33 = 2 C 1 ( λ 2 − 1 λ ) − 2 C 2 ( 1 λ 2 − λ ) σ 22 − σ 33 = 0 { displaystyle { begin {zarovnáno} sigma _ {11} - sigma _ {33} & = 2C_ {1} left ( lambda ^ {2} - { cfrac {1} { lambda}} vpravo) -2C_ {2} vlevo ({ cfrac {1} { lambda ^ {2}}} - lambda vpravo) sigma _ {22} - sigma _ {33} & = 0 konec {zarovnáno}}} Jednoduché napětí V případě jednoduchého napětí σ 22 = σ 33 = 0 { displaystyle sigma _ {22} = sigma _ {33} = 0} . Pak můžeme psát
σ 11 = ( 2 C 1 + 2 C 2 λ ) ( λ 2 − 1 λ ) { displaystyle sigma _ {11} = left (2C_ {1} + { cfrac {2C_ {2}} { lambda}} right) left ( lambda ^ {2} - { cfrac {1 } { lambda}} vpravo)} V alternativní notaci, kde je Cauchyovo napětí psáno jako T { displaystyle { boldsymbol {T}}} a úsek jako α { displaystyle alpha} , můžeme psát
T 11 = ( 2 C 1 + 2 C 2 α ) ( α 2 − α − 1 ) { displaystyle T_ {11} = left (2C_ {1} + { frac {2C_ {2}} { alpha}} right) left ( alpha ^ {2} - alpha ^ {- 1} že jo)} a inženýrský stres (síla na referenční jednotku plochy) pro nestlačitelný materiál Mooney-Rivlin pod jednoduchým napětím lze vypočítat pomocí T 11 E n G = T 11 α 2 α 3 = T 11 α { displaystyle T_ {11} ^ { mathrm {eng}} = T_ {11} alpha _ {2} alpha _ {3} = { cfrac {T_ {11}} { alpha}}} . Proto
T 11 E n G = ( 2 C 1 + 2 C 2 α ) ( α − α − 2 ) { displaystyle T_ {11} ^ { mathrm {eng}} = left (2C_ {1} + { frac {2C_ {2}} { alpha}} right) left ( alpha - alpha ^ {-2} vpravo)} Pokud definujeme
T 11 ∗ := T 11 E n G α − α − 2 ; β := 1 α { displaystyle T_ {11} ^ {*}: = { cfrac {T_ {11} ^ { mathrm {eng}}} { alpha - alpha ^ {- 2}}}} ~; ~~ beta: = { cfrac {1} { alpha}}} pak
T 11 ∗ = 2 C 1 + 2 C 2 β . { displaystyle T_ {11} ^ {*} = 2C_ {1} + 2C_ {2} beta ~.} Sklon T 11 ∗ { displaystyle T_ {11} ^ {*}} proti β { displaystyle beta} řádek udává hodnotu C 2 { displaystyle C_ {2}} zatímco zachycení s T 11 ∗ { displaystyle T_ {11} ^ {*}} osa udává hodnotu C 1 { displaystyle C_ {1}} . Pevný model Mooney-Rivlin obvykle vyhovuje experimentálním datům lépe než Neohookeanská pevná látka ano, ale vyžaduje další empirickou konstantu.
Rovnoběžné napětí V případě rovnovážného napětí jsou hlavní úseky λ 1 = λ 2 = λ { displaystyle lambda _ {1} = lambda _ {2} = lambda} . Pokud je navíc materiál nestlačitelný λ 3 = 1 / λ 2 { displaystyle lambda _ {3} = 1 / lambda ^ {2}} . Rozdíly Cauchyova napětí lze proto vyjádřit jako
σ 11 − σ 33 = σ 22 − σ 33 = 2 C 1 ( λ 2 − 1 λ 4 ) − 2 C 2 ( 1 λ 2 − λ 4 ) { displaystyle sigma _ {11} - sigma _ {33} = sigma _ {22} - sigma _ {33} = 2C_ {1} left ( lambda ^ {2} - { cfrac {1 } { lambda ^ {4}}} vpravo) -2C_ {2} vlevo ({ cfrac {1} { lambda ^ {2}}} - lambda ^ {4} vpravo)} Rovnice pro ekvibiaxiální napětí jsou ekvivalentní rovnicím pro jednoosou kompresi.
Čistý střih Čisté smykové deformace lze dosáhnout použitím úseků formy [7]
λ 1 = λ ; λ 2 = 1 λ ; λ 3 = 1 { displaystyle lambda _ {1} = lambda ~; ~~ lambda _ {2} = { cfrac {1} { lambda}} ~; ~~ lambda _ {3} = 1} Rozdíly Cauchyho napětí pro čistý střih lze proto vyjádřit jako
σ 11 − σ 33 = 2 C 1 ( λ 2 − 1 ) − 2 C 2 ( 1 λ 2 − 1 ) ; σ 22 − σ 33 = 2 C 1 ( 1 λ 2 − 1 ) − 2 C 2 ( λ 2 − 1 ) { displaystyle sigma _ {11} - sigma _ {33} = 2C_ {1} ( lambda ^ {2} -1) -2C_ {2} vlevo ({ cfrac {1} { lambda ^ { 2}}} - 1 vpravo) ~; ~~ sigma _ {22} - sigma _ {33} = 2C_ {1} vlevo ({ cfrac {1} { lambda ^ {2}}} - 1 vpravo) -2C_ {2} ( lambda ^ {2} -1)} Proto
σ 11 − σ 22 = 2 ( C 1 + C 2 ) ( λ 2 − 1 λ 2 ) { displaystyle sigma _ {11} - sigma _ {22} = 2 (C_ {1} + C_ {2}) left ( lambda ^ {2} - { cfrac {1} { lambda ^ { 2}}} vpravo)} Pro čistou smykovou deformaci
Já 1 = λ 1 2 + λ 2 2 + λ 3 2 = λ 2 + 1 λ 2 + 1 ; Já 2 = 1 λ 1 2 + 1 λ 2 2 + 1 λ 3 2 = 1 λ 2 + λ 2 + 1 { displaystyle I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} = lambda ^ {2} + { cfrac {1} { lambda ^ {2}}} + 1 ~; ~~ I_ {2} = { cfrac {1} { lambda _ {1} ^ {2}}} + { cfrac {1} { lambda _ {2} ^ {2}}} + { cfrac {1} { lambda _ {3} ^ {2}}} = { cfrac {1} { lambda ^ {2}}} + lambda ^ {2} +1} Proto Já 1 = Já 2 { displaystyle I_ {1} = I_ {2}} .
Jednoduché stříhání Deformační gradient pro jednoduchou smykovou deformaci má formu[7]
F = 1 + y E 1 ⊗ E 2 { displaystyle { boldsymbol {F}} = { boldsymbol {1}} + gamma ~ mathbf {e} _ {1} otimes mathbf {e} _ {2}} kde E 1 , E 2 { displaystyle mathbf {e} _ {1}, mathbf {e} _ {2}} jsou referenční ortonormální základní vektory v rovině deformace a smyková deformace je dána vztahem
y = λ − 1 λ ; λ 1 = λ ; λ 2 = 1 λ ; λ 3 = 1 { displaystyle gamma = lambda - { cfrac {1} { lambda}} ~; ~~ lambda _ {1} = lambda ~; ~~ lambda _ {2} = { cfrac {1} { lambda}} ~; ~~ lambda _ {3} = 1} Ve formě matice lze potom deformační gradient a levý Cauchy-Greenův deformační tenzor vyjádřit jako
F = [ 1 y 0 0 1 0 0 0 1 ] ; B = F ⋅ F T = [ 1 + y 2 y 0 y 1 0 0 0 1 ] { displaystyle { boldsymbol {F}} = { begin {bmatrix} 1 & gamma & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} ~; ~~ { boldsymbol {B}} = { boldsymbol {F }} cdot { boldsymbol {F}} ^ {T} = { begin {bmatrix} 1+ gamma ^ {2} & gamma & 0 gamma & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}} Proto,
B − 1 = [ 1 − y 0 − y 1 + y 2 0 0 0 1 ] { displaystyle { boldsymbol {B}} ^ {- 1} = { begin {bmatrix} 1 & - gamma & 0 - gamma & 1 + gamma ^ {2} & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}} Cauchyovo napětí je dáno vztahem
σ = [ − str ∗ + 2 ( C 1 − C 2 ) + 2 C 1 y 2 2 ( C 1 + C 2 ) y 0 2 ( C 1 + C 2 ) y − str ∗ + 2 ( C 1 − C 2 ) − 2 C 2 y 2 0 0 0 − str ∗ + 2 ( C 1 − C 2 ) ] { displaystyle { boldsymbol { sigma}} = { begin {bmatrix} -p ^ {*} + 2 (C_ {1} -C_ {2}) + 2C_ {1} gamma ^ {2} & 2 ( C_ {1} + C_ {2}) gamma & 0 2 (C_ {1} + C_ {2}) gamma & -p ^ {*} + 2 (C_ {1} -C_ {2}) - 2C_ {2} gamma ^ {2} & 0 0 a 0 & -p ^ {*} + 2 (C_ {1} -C_ {2}) end {bmatrix}}} Pro konzistenci s lineární pružností jasně μ = 2 ( C 1 + C 2 ) { displaystyle mu = 2 (C_ {1} + C_ {2})} kde μ { displaystyle mu} je smykový modul.
Guma Elastická odezva pryžových materiálů se často modeluje na základě modelu Mooney – Rivlin. Konstanty C 1 , C 2 { displaystyle C_ {1}, C_ {2}} jsou určeny přizpůsobením předpokládaného napětí z výše uvedených rovnic experimentálním datům. Doporučenými testy jsou jednoosé napětí, ekvibiaxiální komprese, ekvibiaxiální napětí, jednoosé stlačení a pro smykové rovinné napětí a rovinné stlačení. Dvouparametrový model Mooney – Rivlin je obvykle platný pro kmeny menší než 100%.
[8]
Poznámky a odkazy ^ Mooney, M., 1940, Teorie velké elastické deformace , Journal of Applied Physics, 11 (9), str. 582–592. ^ Rivlin, R. S., 1948, Velké elastické deformace izotropních materiálů. IV. Další vývoj obecné teorie „Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A, Matematické a fyzikální vědy, 241 (835), str. 379–397. ^ Boulanger, P. a Hayes, M. A., 2001, „Vlny konečné amplitudy v materiálech Mooney-Rivlin a Hadamard“, v Témata v konečné pružnosti , vyd. M. A Hayes a G. Soccomandi, Mezinárodní centrum pro mechanické vědy. ^ C. W. Macosko, 1994, Reologie: principy, měření a aplikace , Vydavatelé VCH, ISBN 1-56081-579-5. ^ Unimodularity v tomto kontextu znamená det B ¯ = 1 { displaystyle det { bar { boldsymbol {B}}} = 1} . ^ Bower, Allan (2009). Aplikovaná mechanika těles . CRC Press. ISBN 1-4398-0247-5 . Citováno 2018-04-19 . ^ A b Ogden, R. W., 1984, Nelineární elastické deformace Dover ^ Hamza, Muhsin; Alwan, Hassan (2010). „Hyperelastické konstitutivní modelování pryže a materiálů podobných gumě pod konečným přetvořením“ . Eng. & Tech. Časopis . 28 (13): 2560–2575. Viz také