Hamiltonovská mechanika tekutin - Hamiltonian fluid mechanics

Hamiltonovská mechanika tekutin je aplikace Hamiltonian metody mechanika tekutin. Všimněte si, že tento formalismus se vztahuje pouze na nondisipativní tekutiny.

Irrotační barotropní tok

Vezměte jednoduchý příklad a barotropní, neviditelný bez vířivosti tekutina.

Poté sdružovat pole jsou hustota hmoty pole ρ a rychlostní potenciál φ. The Poissonova závorka darováno

${ displaystyle { varphi ({ vec {x}}), rho ({ vec {y}}) } = delta ^ {d} ({ vec {x}} - { vec { y}})}$

a Hamiltonian podle:

${ displaystyle H = int mathrm {d} ^ {d} x { mathcal {H}} = int mathrm {d} ^ {d} x left ({ frac {1} {2}} rho ( nabla varphi) ^ {2} + e ( rho) vpravo),}$

kde E je vnitřní energie hustota, jako funkce ρ. U tohoto barotropního toku souvisí vnitřní energie s tlakem p podle:

${ displaystyle e '' = { frac {1} { rho}} p ',}$

kde apostrof (') označuje diferenciaci vzhledem k ρ.

Tato hamiltonovská struktura dává vzniknout následujícím dvěma pohybové rovnice:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečný rho} { částečný t}} & = + { frac { částečný { mathcal {H}}} { částečný varphi}} = - nabla cdot ( rho { vec {u}}), { frac { částečné varphi} { částečné t}} & = - { frac { částečné { mathcal {H}}} { partial rho}} = - { frac {1} {2}} { vec {u}} cdot { vec {u}} - e ', end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle { vec {u}} { stackrel { mathrm {def}} {=}} nabla varphi}$ je rychlost a je bez vířivosti. Druhá rovnice vede k Eulerovy rovnice:

${ displaystyle { frac { částečné { vec {u}}} { částečné t}} + ({ vec {u}} cdot nabla) { vec {u}} = - e '' nabla rho = - { frac {1} { rho}} nabla {p}}$

po využití skutečnosti, že vířivost je nula:

${ displaystyle nabla times { vec {u}} = { vec {0}}.}$

Jelikož dynamika tekutin je popsána nekanonickou dynamikou, která má nekonečné množství Casimirových invariantů, lze zavést alternativní formulaci hamiltonovské formulace dynamiky tekutin pomocí Nambu mechanici^[1][2]

Viz také

• Lukův variační princip
• Hamiltonovská teorie pole

Poznámky

Reference

• Badin, Gualtiero; Crisciani, Fulvio (2018). Variační formulace tekutin a geofyzikální dynamika tekutin - mechanika, symetrie a zákony zachování -. Springer. str. 218. doi:10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN  978-3-319-59694-5.
• Morrison, P.J. (2006). "Hamiltonovská mechanika tekutin" (PDF). V Elsevier (ed.). Encyclopedia of Mathematical Physics. 2. Amsterdam. str. 593–600.
• Morrison, P. J. (duben 1998). „Hamiltonovský popis ideální tekutiny“ (PDF). Recenze moderní fyziky. Austin, Texas. 70 (2): 467–521. Bibcode:1998RvMP ... 70..467M. doi:10.1103 / RevModPhys.70.467.
• R. Salmon (1988). "Hamiltonovská mechanika tekutin". Roční přehled mechaniky tekutin. 20: 225–256. Bibcode:1988AnRFM..20..225S. doi:10.1146 / annurev.fl.20.010188.001301.
• Shepherd, Theodore G. (1990). „Symetrie, zákony zachování a Hamiltonova struktura v dynamice geofyzikálních tekutin“. Pokroky v geofyzice, svazek 32. Pokroky v geofyzice. 32. 287–338. Bibcode:1990AdGeo..32..287S. doi:10.1016 / S0065-2687 (08) 60429-X. ISBN  9780120188321.
• Swaters, Gordon E. (2000). Úvod do Hamiltonovské dynamiky tekutin a teorie stability. Boca Raton, Florida: Chapman & Hall / CRC. str. 274. ISBN  1-58488-023-6.
• Nevir, P .; Blender, R. (1993). "Nambu reprezentace nestlačitelné hydrodynamiky pomocí helicity a enstrofie". J. Phys. A. 26 (22): 1189–1193. Bibcode:1993JPhA ... 26L1189N. doi:10.1088/0305-4470/26/22/010.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Blender, R .; Badin, G. (2015). "Hydrodynamická mechanika Nambu odvozená z geometrických omezení". J. Phys. A. 48 (10): 105501. arXiv:1510.04832. Bibcode:2015JPhA ... 48j5501B. doi:10.1088/1751-8113/48/10/105501.CS1 maint: ref = harv (odkaz)