Zobecněné síly - Generalized forces

Zobecněné síly najít použití v Lagrangian mechanika, kde hrají roli konjugovanou s zobecněné souřadnice. Získávají se z aplikovaných sil, F_i, i = 1, ..., n, působící na a Systém který má svou konfiguraci definovanou v podmínkách zobecněné souřadnice. Ve formulaci virtuální práce, každá zobecněná síla je koeficientem variace zobecněné souřadnice.

Virtuální práce

Zobecněné síly lze získat z výpočtu virtuální práce, δW, použitých sil.^[1]:265

Virtuální práce sil, F_i, působící na částice P_i, i = 1, ..., n, je dáno vztahem

${displaystyle delta W = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot delta mathbf {r} _ {i}}$

kde δr_i je virtuální posunutí částice P_i.

Zobecněné souřadnice

Nechte polohové vektory každé z částic, r_i, být funkcí zobecněných souřadnic, q_j, j = 1, ..., m. Pak virtuální posuny δr_i jsou dány

${displaystyle delta mathbf {r} _ {i} = součet _ {j = 1} ^ {m} {frac {částečná mathbf {r} _ {i}} {částečná q_ {j}}} delta q_ {j}, quad i = 1, ldots, n,}$

kde δq_j je virtuální posunutí zobecněné souřadnice q_j.

Virtuální práce pro systém částic se stává

${displaystyle delta W = mathbf {F} _ {1} cdot sum _ {j = 1} ^ {m} {frac {částečná mathbf {r} _ {1}} {částečná q_ {j}}} delta q_ {j } + ldots + mathbf {F} _ {n} cdot sum _ {j = 1} ^ {m} {frac {částečný mathbf {r} _ {n}} {částečný q_ {j}}} delta q_ {j} .}$

Shromážděte koeficienty δq_j aby

${displaystyle delta W = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot {frac {částečná mathbf {r} _ {i}} {částečná q_ {1}}} delta q_ {1 } + ldots + sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot {frac {částečný mathbf {r} _ {i}} {částečný q_ {m}}} delta q_ {m} .}$

Zobecněné síly

Virtuální dílo systému částic lze zapsat ve formě

${displaystyle delta W = Q_ {1} delta q_ {1} + ldots + Q_ {m} delta q_ {m},}$

kde

${displaystyle Q_ {j} = součet _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot {frac {částečný mathbf {r} _ {i}} {částečný q_ {j}}}, kvadrant j = 1, ldots, m,}$

se nazývají zobecněné síly spojené se zobecněnými souřadnicemi q_j, j = 1, ..., m.

Formulace rychlosti

Při aplikaci principu virtuální práce je často vhodné získat virtuální posuny z rychlostí systému. Pro n částicový systém nechte rychlost každé částice P_i být PROTI_i, pak virtuální posunutí δr_i lze také napsat ve formě^[2]

${displaystyle delta mathbf {r} _ {i} = součet _ {j = 1} ^ {m} {frac {částečná mathbf {V} _ {i}} {částečná {tečka {q}} _ {j}}} delta q_ {j}, quad i = 1, ldots, n.}$

To znamená, že zobecněná síla Q_j, lze také určit jako

${displaystyle Q_ {j} = součet _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot {frac {částečný mathbf {V} _ {i}} {částečný {tečka {q}} _ { j}}}, quad j = 1, ldots, m.}$

D'Alembertův princip

D'Alembert formuloval dynamiku částice jako rovnováhu aplikovaných sil se setrvačnou silou (zdánlivá síla ), volala D'Alembertův princip. Setrvačná síla částice, P_i, o hmotnosti m_i je

${displaystyle mathbf {F} _ {i} ^ {*} = - m_ {i} mathbf {A} _ {i}, quad i = 1, ldots, n,}$

kde A_i je zrychlení částice.

Pokud konfigurace částicového systému závisí na zobecněných souřadnicích q_j, j = 1, ..., m, pak je zobecněná setrvačná síla dána vztahem

${displaystyle Q_ {j} ^ {*} = součet _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} ^ {*} cdot {frac {částečný mathbf {V} _ {i}} {částečný {dot {q}} _ {j}}}, quad j = 1, ldots, m.}$

D'Alembertova forma principu virtuálních pracovních výnosů

${displaystyle delta W = (Q_ {1} + Q_ {1} ^ {*}) delta q_ {1} + ldots + (Q_ {m} + Q_ {m} ^ {*}) delta q_ {m}.}$

Reference

Viz také

• Lagrangian mechanika
• Zobecněné souřadnice
• Stupně svobody (fyzika a chemie)
• Virtuální práce