Sférické kyvadlo: úhly a rychlosti.
v fyzika , a sférické kyvadlo je vyšší dimenzionální analog kyvadlo . Skládá se z a Hmotnost m pohybující se bez tření na povrchu a koule . Jediný síly působící na hmotu jsou reakce ze sféry a gravitace .
Vzhledem ke sférické geometrii problému sférické souřadnice se používají k popisu polohy hmoty z hlediska (r , θ , φ ), kde r je opraveno, r =l .
Lagrangian mechanika Pravidelně, abychom si zapsali kinetiku T = 1 2 m proti 2 { displaystyle T = { tfrac {1} {2}} mv ^ {2}} PROTI { displaystyle V} L = T − PROTI { displaystyle L = T-V}
X = l hřích θ cos ϕ { displaystyle x = l sin theta cos phi} y = l hřích θ hřích ϕ { displaystyle y = l sin theta sin phi} z = l ( 1 − cos θ ) { displaystyle z = l (1- cos theta)} Dále se vezmou časové derivace těchto souřadnic, aby se získaly rychlosti podél os
X ˙ = l cos θ cos ϕ θ ˙ − l hřích θ hřích ϕ ϕ ˙ { displaystyle { dot {x}} = l cos theta cos phi , { dot { theta}} - l sin theta sin phi , { dot { phi}} } y ˙ = l cos θ hřích ϕ θ ˙ + l hřích θ cos ϕ ϕ ˙ { displaystyle { dot {y}} = l cos theta sin phi , { dot { theta}} + l sin theta cos phi , { dot { phi}} } z ˙ = l hřích θ θ ˙ { displaystyle { dot {z}} = l sin theta , { dot { theta}}} Tím pádem,
proti 2 = X ˙ 2 + y ˙ 2 + z ˙ 2 = l 2 ( θ ˙ 2 + hřích 2 θ ϕ ˙ 2 ) { displaystyle v ^ {2} = { dot {x}} ^ {2} + { dot {y}} ^ {2} + { dot {z}} ^ {2} = l ^ {2} left ({ dot { theta}} ^ {2} + sin ^ {2} theta , { dot { phi}} ^ {2} right)} a
T = 1 2 m proti 2 = 1 2 m l 2 ( θ ˙ 2 + hřích 2 θ ϕ ˙ 2 ) { displaystyle T = { tfrac {1} {2}} mv ^ {2} = { tfrac {1} {2}} ml ^ {2} left ({ dot { theta}} ^ {2 } + sin ^ {2} theta , { dot { phi}} ^ {2} right)} PROTI = m G z = m G l ( 1 − cos θ ) { displaystyle V = mg , z = mg , l (1- cos theta)} Lagrangian, s odstraněnými konstantními částmi, je[1]
L = 1 2 m l 2 ( θ ˙ 2 + hřích 2 θ ϕ ˙ 2 ) + m G l cos θ . { displaystyle L = { frac {1} {2}} ml ^ {2} left ({ dot { theta}} ^ {2} + sin ^ {2} theta { dot { phi}} ^ {2} vpravo) + mgl cos theta.} The Euler-Lagrangeova rovnice zahrnující polární úhel θ { displaystyle theta}
d d t ∂ ∂ θ ˙ L − ∂ ∂ θ L = 0 { displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { částečné} { částečné { dot { theta}}}} L - { frac { částečné} { částečné theta}} L = 0} dává
d d t ( m l 2 θ ˙ ) − m l 2 hřích θ cos θ ϕ ˙ 2 + m G l hřích θ = 0 { displaystyle { frac {d} {dt}} vlevo (ml ^ {2} { dot { theta}} vpravo) -ml ^ {2} sin theta cos theta { dot { phi}} ^ {2} + mgl sin theta = 0} a
θ ¨ = hřích θ cos θ ϕ ˙ 2 − G l hřích θ { displaystyle { ddot { theta}} = sin theta cos theta { dot { phi}} ^ {2} - { frac {g} {l}} sin theta} Když ϕ ˙ = 0 { displaystyle { dot { phi}} = 0} diferenciální rovnice pro pohyb a jednoduché gravitační kyvadlo .
Podobně Euler-Lagrangeova rovnice zahrnující azimut ϕ { displaystyle phi}
d d t ∂ ∂ ϕ ˙ L − ∂ ∂ ϕ L = 0 { displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { částečné} { částečné { dot { phi}}}} L - { frac { částečné} { částečné phi}} L = 0} dává
d d t ( m l 2 hřích 2 θ ϕ ˙ ) = 0 { displaystyle { frac {d} {dt}} vlevo (ml ^ {2} sin ^ {2} theta , { dot { phi}} vpravo) = 0} To ukazuje poslední rovnice moment hybnosti kolem svislé osy, | L z | = l hřích θ × m l hřích θ ϕ ˙ { displaystyle | mathbf {L} _ {z} | = l sin theta krát ml sin theta , { dot { phi}}} ϕ { displaystyle phi} cyklická souřadnice , což znamená, že jeho konjugovaná hybnost je konstanta pohybu .
The kónické kyvadlo odkazuje na speciální řešení, kde θ ˙ = 0 { displaystyle { dot { theta}} = 0} ϕ ˙ { displaystyle { dot { phi}}}
Hamiltoniánská mechanika Hamiltonian je
H = P θ θ ˙ + P ϕ ϕ ˙ − L { displaystyle H = P _ { theta} { dot { theta}} + P _ { phi} { dot { phi}} - L} kde jsou konjugované momenty
P θ = ∂ L ∂ θ ˙ = m l 2 θ ˙ { displaystyle P _ { theta} = { frac { částečné L} { částečné { dot { theta}}}} = ml ^ {2} { dot { theta}}} a
P ϕ = ∂ L ∂ ϕ ˙ = m l 2 hřích 2 θ ϕ ˙ { displaystyle P _ { phi} = { frac { částečné L} { částečné { dot { phi}}}} = ml ^ {2} sin ^ {2} ! theta , { tečka { phi}}} Z hlediska souřadnic a hybnosti to čte
H = [ 1 2 m l 2 θ ˙ 2 + 1 2 m l 2 hřích 2 θ ϕ ˙ 2 ] ⏟ T + [ − m G l cos θ ] ⏟ PROTI = P θ 2 2 m l 2 + P ϕ 2 2 m l 2 hřích 2 θ − m G l cos θ { displaystyle H = underbrace {{ Big [} { frac {1} {2}} ml ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + { frac {1} {2} } ml ^ {2} sin ^ {2} theta { dot { phi}} ^ {2} { Big]}} _ {T} + underbrace {{ Big [} -mgl cos theta { Big]}} _ {V} = {P _ { theta} ^ {2} nad 2ml ^ {2}} + {P _ { phi} ^ {2} nad 2ml ^ {2} sin ^ {2} theta} -mgl cos theta}
Hamiltonovy rovnice poskytnou časový vývoj souřadnic a hybnosti ve čtyřech diferenciálních rovnicích prvního řádu
θ ˙ = P θ m l 2 { displaystyle { dot { theta}} = {P _ { theta} nad ml ^ {2}}} ϕ ˙ = P ϕ m l 2 hřích 2 θ { displaystyle { dot { phi}} = {P _ { phi} nad ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} P θ ˙ = P ϕ 2 m l 2 hřích 3 θ cos θ − m G l hřích θ { displaystyle { dot {P _ { theta}}} = {P _ { phi} ^ {2} nad ml ^ {2} sin ^ {3} theta} cos theta -mgl sin theta} P ϕ ˙ = 0 { displaystyle { dot {P _ { phi}}} = 0} Hybnost P ϕ { displaystyle P _ { phi}}
Trajektorie Dráha sférického kyvadla.
Trajektorii hmoty na kouli lze získat z výrazu pro celkovou energii
E = [ 1 2 m l 2 θ ˙ 2 + 1 2 m l 2 hřích 2 θ ϕ ˙ 2 ] ⏟ T + [ − m G l cos θ ] ⏟ PROTI { displaystyle E = underbrace {{ Big [} { frac {1} {2}} ml ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + { frac {1} {2} } ml ^ {2} sin ^ {2} theta { dot { phi}} ^ {2} { Big]}} _ {T} + underbrace {{ Big [} -mgl cos theta { Big]}} _ {V}} poznámkou, že vertikální složka momentu hybnosti L z = m l 2 hřích 2 θ ϕ ˙ { displaystyle L_ {z} = ml ^ {2} sin ^ {2} ! theta , { dot { phi}}} [1]
Proto
E = 1 2 m l 2 θ ˙ 2 + 1 2 L z 2 m l 2 hřích 2 θ − m G l cos θ { displaystyle E = { frac {1} {2}} ml ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + { frac {1} {2}} { frac {L_ {z } ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} - mgl cos theta} ( d θ d t ) 2 = 2 m l 2 [ E − 1 2 L z 2 m l 2 hřích 2 θ + m G l cos θ ] { displaystyle left ({ frac {d theta} {dt}} right) ^ {2} = { frac {2} {ml ^ {2}}} left [E - { frac {1 } {2}} { frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} + mgl cos theta right]} což vede k eliptický integrál prvního druhu[1] θ { displaystyle theta}
t ( θ ) = 1 2 m l 2 ∫ [ E − 1 2 L z 2 m l 2 hřích 2 θ + m G l cos θ ] − 1 2 d θ { displaystyle t ( theta) = { sqrt {{ tfrac {1} {2}} ml ^ {2}}} int left [E - { frac {1} {2}} { frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} + mgl cos theta right] ^ {- { frac {1} {2}}} , d theta} a eliptický integrál třetího druhu pro ϕ { displaystyle phi}
ϕ ( θ ) = L z l 2 m ∫ hřích − 2 θ [ E − 1 2 L z 2 m l 2 hřích 2 θ + m G l cos θ ] − 1 2 d θ { displaystyle phi ( theta) = { frac {L_ {z}} {l { sqrt {2m}}}} int sin ^ {- 2} theta left [E - { frac { 1} {2}} { frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} + mgl cos theta right] ^ {- { frac {1} {2}}} , d theta} Úhel θ { displaystyle theta} [1]
E > 1 2 L z 2 m l 2 hřích 2 θ − m G l cos θ { displaystyle E> { frac {1} {2}} { frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} - mgl cos theta } Viz také Reference ^ A b C d Landau, Lev Davidovich; Evgenii Michajlovič Lifshitz (1976). Kurz teoretické fyziky: 1. díl Mechanika . Butterworth-Heinenann. 33–34. ISBN 0750628960 Další čtení Weinstein, Alexander (1942). "Sférické kyvadlo a komplexní integrace". Americký matematický měsíčník . 49 (8): 521–523. doi :10.1080/00029890.1942.11991275 . Kohn, Walter (1946). „Integrace kontury v teorii sférického kyvadla a těžkého symetrického vrcholu“ . Transakce Americké matematické společnosti . 59 (1): 107–131. doi :10.2307/1990314 JSTOR 1990314 . Olsson, M. G. (1981). "Sférické kyvadlo znovu navštíveno". American Journal of Physics . 49 (6): 531–534. Bibcode :1981AmJPh..49..531O . doi :10.1119/1.12666 . Horozov, Emil (1993). „O isoenergetické nedegeneraci sférického kyvadla“. Fyzikální písmena A . 173 (3): 279–283. Bibcode :1993PhLA..173..279H . doi :10.1016/0375-9601(93)90279-9 . Shiriaev, A. S .; Ludvigsen, H .; Egeland, O. (2004). "Roztočení sférického kyvadla stabilizací prvních integrálů". Automatika . 40 : 73–85. doi :10.1016 / j.automatica.2003.07.009 . Essen, Hanno; Apazidis, Nicholas (2009). "Body obratu sférického kyvadla a zlaté dávky". European Journal of Physics . 30 (2): 427–432. Bibcode :2009EJPh ... 30..427E . doi :10.1088/0143-0807/30/2/021 . Dullin, Holger R. (2013). „Pologlobální symplectické invarianty sférického kyvadla“ . Deník diferenciálních rovnic . 254 (7): 2942–2963. doi :10.1016 / j.jde.2013.01.018 
![{ displaystyle H = underbrace {{ Big [} { frac {1} {2}} ml ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + { frac {1} {2} } ml ^ {2} sin ^ {2} theta { dot { phi}} ^ {2} { Big]}} _ {T} + underbrace {{ Big [} -mgl cos theta { Big]}} _ {V} = {P _ { theta} ^ {2} nad 2ml ^ {2}} + {P _ { phi} ^ {2} nad 2ml ^ {2} sin ^ {2} theta} -mgl cos theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fba559e72c54948fa4c38b815869b969633459)
![{ displaystyle E = underbrace {{ Big [} { frac {1} {2}} ml ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + { frac {1} {2} } ml ^ {2} sin ^ {2} theta { dot { phi}} ^ {2} { Big]}} _ {T} + underbrace {{ Big [} -mgl cos theta { Big]}} _ {V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c7b2b6c9a1156f74bab1a7553ec2b3f38060b2)
![{ displaystyle left ({ frac {d theta} {dt}} right) ^ {2} = { frac {2} {ml ^ {2}}} left [E - { frac {1 } {2}} { frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} + mgl cos theta right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743df9be7b10527d8ce22bb907390d1bc09d3309)
![{ displaystyle t ( theta) = { sqrt {{ tfrac {1} {2}} ml ^ {2}}} int left [E - { frac {1} {2}} { frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} + mgl cos theta right] ^ {- { frac {1} {2}}} , d theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e232c62317bab07efd86d2c4c851acbf6139155)
![{ displaystyle phi ( theta) = { frac {L_ {z}} {l { sqrt {2m}}}} int sin ^ {- 2} theta left [E - { frac { 1} {2}} { frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} + mgl cos theta right] ^ {- { frac {1} {2}}} , d theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129038d5e92ee236cab05e797bff7e66c5ceec20)
