G-struktura na potrubí - G-structure on a manifold

v diferenciální geometrie, a G-struktura na n-potrubí M, za dané strukturní skupina^[1] G, je G-podskupina z tangenta frame bundle FM (nebo GL (M)) z M.

Pojem G-structure zahrnuje různé klasické struktury, které lze definovat na varietách, které v některých případech jsou tenzorová pole. Například pro ortogonální skupina, O (n) -struktura definuje a Riemannova metrika a pro speciální lineární skupina SL (n,R) -struktura je stejná jako a objemová forma. Pro triviální skupina, {E} -struktura se skládá z absolutní paralelismus potrubí.

Zobecnit tuto myšlenku na svévolné hlavní svazky v topologických prostorech je možné se zeptat, zda je jistina ${ displaystyle G}$- svazek přes a skupina ${ displaystyle G}$ „pochází z“ a podskupina ${ displaystyle H}$ z ${ displaystyle G}$. Tomu se říká redukce skupiny struktur (na ${ displaystyle H}$).

Několik struktur na potrubích, například a složitá struktura, a symplektická struktura nebo Kählerova struktura, jsou G-struktury s další stav integrability.

Redukce skupiny struktur

Lze se zeptat, zda je jistina ${ displaystyle G}$- svazek přes a skupina ${ displaystyle G}$ „pochází z“ a podskupina ${ displaystyle H}$ z ${ displaystyle G}$. Tomu se říká redukce skupiny struktur (na ${ displaystyle H}$) a má smysl pro každou mapu ${ displaystyle H to G}$, což nemusí být mapa zařazení (navzdory terminologii).

Definice

V následujícím textu pojďme ${ displaystyle X}$ být topologický prostor, ${ displaystyle G, H}$ topologické skupiny a skupinový homomorfismus ${ displaystyle phi dvojtečka H až G}$.

Pokud jde o konkrétní svazky

Dostal jistinu ${ displaystyle G}$- svazek ${ displaystyle P}$ přes ${ displaystyle X}$, a redukce skupiny struktur (z ${ displaystyle G}$ na ${ displaystyle H}$) je ${ displaystyle H}$- svazek ${ displaystyle Q}$ a izomorfismus ${ displaystyle phi _ {Q} dvojtečka Q krát _ {H} G do P}$ z přidružený balíček do původního svazku.

Pokud jde o klasifikaci prostorů

Vzhledem k mapě ${ displaystyle pi tračník X na BG}$, kde ${ displaystyle BG}$ je třídicí prostor pro ${ displaystyle G}$-bundles, a redukce skupiny struktur je mapa ${ displaystyle pi _ {Q} dvojtečka X na BH}$ a homotopy ${ displaystyle phi _ {Q} dvojtečka B phi circ pi _ {Q} to pi}$.

Vlastnosti a příklady

Redukce skupiny struktur nemusí vždy existovat. Pokud existují, obvykle nejsou v zásadě jedinečné, protože jde o izomorfismus ${ displaystyle phi}$ je důležitou součástí údajů.

Konkrétním příkladem je každý sudý rozměr vektorový prostor je izomorfní se základním skutečným prostorem komplexního vektorového prostoru: připouští a lineární komplexní struktura. Skutečný vektorový svazek připouští téměř složité struktura právě tehdy, pokud je izomorfní se základním skutečným svazkem komplexního vektorového svazku. Toto je pak redukce podél začlenění GL(n,C) → GL(2n,R)

Ve smyslu přechodové mapy, a G-bundle může být zmenšen právě tehdy, když lze vzít mapy přechodů tak, aby měly hodnoty v H. Všimněte si, že termín snížení je zavádějící: naznačuje to H je podskupina G, což se často stává, ale nemusí být (například pro spinové struktury ): správně se tomu říká a zdvihání.

Více abstraktně, “G- svazky X" je funktor^[2] v G: dostal mapu H → G, jeden dostane mapu H- svazky do G- svazky od vyvolávání (jak je uvedeno výše). Redukce skupiny struktur a G- svazek B je volba H-bundle, jehož obrázek je B.

Indukční mapa z H- svazky do G-bundles obecně není ani na, ani jeden na jednoho, takže skupina struktur nemůže být vždy redukována, a pokud je to možné, nemusí být tato redukce jedinečná. Například ne každý rozdělovač je orientovatelný a ti, kteří jsou orientovatelní, připouštějí přesně dvě orientace.

Li H je uzavřená podskupina G, pak existuje přirozená vzájemná korespondence mezi redukcemi a G- svazek B na H a globální sekce svazek vláken B/H získáno kvocientem B správným jednáním H. Konkrétně fibrace B → B/H je jistina H-bundle přes B/H. Pokud σ: X → B/H je sekce, pak stahovací balíček B_H = σ⁻¹B je snížení o B.^[3]

G-struktury

Každý vektorový svazek dimenze ${ displaystyle n}$ má kanonický ${ displaystyle GL (n)}$- svazek, svazek rámů. Zejména každý hladké potrubí má kanonický vektorový svazek, tečný svazek. Pro skupinu Lie ${ displaystyle G}$ a skupinový homomorfismus ${ displaystyle phi tlustého střeva G až GL (n)}$, a ${ displaystyle G}$-structure je redukce skupiny struktur svazku rámců na ${ displaystyle G}$.

Příklady

Následující příklady jsou definovány pro skutečné vektorové svazky, zejména tečný svazek a hladké potrubí.

Skupinový homomorfismus	Skupina ${ displaystyle G}$	${ displaystyle G}$-struktura	Obstrukce
${ displaystyle GL ^ {+} (n)$	Obecná lineární skupina pozitivního determinantu	Orientace	Balíček musí být orientovatelný
${ displaystyle SL (n)$	Speciální lineární skupina	Objemová forma	Balíček musí být orientovatelný (${ displaystyle SL to GL ^ {+}}$ je zatažení deformace )
${ displaystyle SL ^ { pm} (n)$	Rozhodující ${ displaystyle pm 1}$	Pseudo-objemová forma	Vždy možné
${ displaystyle O (n)$	Ortogonální skupina	Riemannova metrika	Vždy možné (${ displaystyle O (n)}$ je maximální kompaktní podskupina, takže zahrnutí je zatažení deformace)
${ displaystyle O (1, n-1)$	Neurčitá ortogonální skupina	Pseudo-Riemannova metrika	Topologická obstrukce[4]
${ displaystyle GL (n, mathbf {C})$	Složitá obecná lineární skupina	Téměř složitá struktura	Topologická obstrukce
${ displaystyle GL (n, mathbf {H}) cdot Sp (1)$	${ displaystyle GL (n, mathbf {H})}$: kvartérní obecná lineární skupina působící na ${ displaystyle mathbf {H} ^ {n} cong mathbf {R} ^ {4n}}$ zleva ${ displaystyle Sp (1) = točit (3)}$: skupina jednotkových čtveřic působících na ${ displaystyle mathbf {H} ^ {n}}$ zprava	téměř kvartérní struktura[5]	Topologická obstrukce[5]
${ displaystyle GL (k) krát GL (n-k)$	Obecná lineární skupina	Rozklad jako Whitney součet (přímý součet) dílčích balíčků hodnosti ${ displaystyle k}$ a ${ displaystyle n-k}$.	Topologická obstrukce

Nějaký ${ displaystyle G}$-struktury jsou definované pojmy ostatních: Vzhledem k Riemannově metrice na orientovaném potrubí, a ${ displaystyle G}$-struktura pro 2-násobek Pokrýt ${ displaystyle { mbox {Spin}} (n) do { mbox {SO}} (n)}$ je spinová struktura. (Všimněte si, že zde existuje skupinový homomorfismus ne zařazení.)

Hlavní balíčky

Ačkoli teorie hlavní svazky hraje důležitou roli při studiu G-struktury, tyto dva pojmy jsou odlišné. A G-struktura je hlavní podskupina tangenta frame bundle, ale skutečnost, že G- svazek struktur sestává z tečných rámů se považuje za součást údajů. Zvažte například dvě Riemannovy metriky Rⁿ. Přidružený O (n) -struktury jsou izomorfní právě tehdy, jsou-li metriky izometrické. Ale od Rⁿ je smluvní, podkladové O (n) - svazky budou vždy izomorfní jako hlavní svazky, protože jediné svazky nad smluvními prostory jsou triviální svazky.

Tento zásadní rozdíl mezi těmito dvěma teoriemi lze zachytit poskytnutím další části dat o podkladu G- svazek a G-struktura: pájecí forma. Pájecí forma je to, co spojuje základní základní svazek G-struktura k místní geometrii samotného potrubí specifikováním kanonického izomorfismu tečného svazku M do přidružený vektorový svazek. Ačkoli pájecí forma není a formulář připojení, to může být někdy považováno za předchůdce jednoho.

Podrobně předpokládejme, že Q je hlavní svazek a G-struktura. Li Q je realizováno jako zmenšení svazku rámců M, pak je pájecí forma dána zarazit z tautologická forma svazku rámů podél začlenění. Abstraktně, pokud jde o někoho Q jako hlavní svazek nezávisle na jeho realizaci jako zmenšení svazku rámců, pak forma pájky sestává ze znázornění ρ G na Rⁿ a izomorfismus svazků θ: TM → Q ×_ρ Rⁿ.

Podmínky integrovatelnosti a ploché G-struktury

Několik struktur na rozdělovačích potrubí, například složitá struktura, a symplektická struktura nebo Kählerova struktura, jsou G-struktury (a tak jim mohou bránit), ale je třeba uspokojit další stav integrability. Bez odpovídající podmínky integrability se struktura místo toho nazývá „téměř“ strukturou, jako v an téměř složitá struktura, an téměř symplektická struktura, nebo téměř Kählerova struktura.

Konkrétně a symplektické potrubí struktura je silnější koncept než a G-struktura pro symplektická skupina. Symptomická struktura na potrubí je a 2-forma ω na M to je nedegenerované (což je ${ displaystyle Sp}$- struktura nebo téměř symplektická struktura), dohromady s zvláštní podmínka, že dω = 0; tento druhý se nazývá stav integrability.

Podobně, foliace odpovídají G-struktury pocházející z blokové matice spolu s podmínkami integrability tak, aby Frobeniova věta platí.

A byt G-struktura je G-struktura P mít globální sekci (PROTI₁,...,PROTI_n) skládající se z dojíždění vektorové pole. A G-struktura je integrovatelný (nebo místně plochý) pokud je místně izomorfní s bytem G-struktura.

Izomorfismus G-struktury

Sada difeomorfismy z M které zachovávají a G-struktura se nazývá automorfická skupina této struktury. Pro O (n) -struktura, kterou tvoří skupina izometrie Riemannovy metriky a pro SL (n,R) -struktura zachovávající objem map.

Nechat P být G-struktura na potrubí M, a Q A G-struktura na potrubí N. Pak izomorfismus z G-struktury je difeomorfismus F : M → N takové, že tlačit kupředu lineárních rámů F_* : FM → FN omezuje mapování P do Q. (Všimněte si, že to stačí Q být obsaženy v obraze F_*.) G-struktury P a Q jsou místně izomorfní -li M připouští krytí otevřenými sadami U a rodina difeomorfismů F_U : U → F(U) ⊂ N takhle F_U vyvolává izomorfismus P|_U → Q|_F(U).

An automorfismus a G-struktura je izomorfismus a G-struktura P sám se sebou. Často se vyskytují automorfismy^[6] ve studiu transformační skupiny geometrických struktur, protože mnoho důležitých geometrických struktur na potrubí může být realizováno jako G-struktury.

Široká třída problémy ekvivalence lze formulovat v jazyce G-struktury. Například dvojice Riemannovských variet je (lokálně) ekvivalentní právě tehdy, pokud jsou jejich svazky ortonormální rámce jsou (místně) izomorfní G-struktury. Z tohoto pohledu je obecným postupem pro řešení problému ekvivalence konstrukce systému invarianty pro G-struktura, která pak stačí k určení, zda dvojice G-struktury jsou lokálně izomorfní nebo ne.

Připojení zapnuta G-struktury

Nechat Q být G-struktura zapnuta M. A hlavní připojení na hlavním svazku Q indukuje spojení na libovolném přidruženém vektorovém svazku: zejména na tangenciálním svazku. A lineární připojení ∇ zapnuto TM vznikající tímto způsobem se říká, že je kompatibilní s Q. Připojení kompatibilní s Q se také nazývají přizpůsobené připojení.

Konkrétně lze přizpůsobeným spojením rozumět pojmy a pohyblivý rám.^[7] Předpokládejme to PROTI_i je základem místních sekcí TM (tj. rám na M), který definuje část Q. Libovolné spojení ∇ určuje systém základových 1-forem ω via

∇_X PROTI_i = ω_i^j(X) V_j

kde jako matice 1-forem ω ∈ Ω¹(M) ⊗gl(n). Upravené spojení je takové, pro které ω bere své hodnoty v Lieově algebře G z G.

Torze a G-struktura

Přidružený k jakémukoli G-struktura je pojem torze související s kroucení spojení. Všimněte si, že daný G-struktura může připustit mnoho různých kompatibilních spojení, která zase mohou mít různé torze, ale přesto je možné dát nezávislou představu o torzi struktury G. jak následuje.^[8]

Rozdíl dvou přizpůsobených připojení je 1-forma na M s hodnotami v the adjoint svazek Inzerát_Q. To znamená prostor A^Q upraveného připojení je afinní prostor pro Ω¹(Inzerát_Q).

The kroucení adaptovaného připojení definuje mapu

${ displaystyle A ^ {Q} až Omega ^ {2} (TM) ,}$

do 2-forem s koeficienty v TM. Tato mapa je lineární; jeho linearizace

${ displaystyle tau: Omega ^ {1} ( mathrm {Ad} _ {Q}) do Omega ^ {2} (TM) ,}$

je nazýván algebraická torzní mapa. Vzhledem ke dvěma přizpůsobeným spojením ∇ a ∇ ′ jsou jejich torzní tenzory T_∇, T_∇′ se liší o τ (∇ − ∇ ′). Proto je obraz T_∇ v koksování (τ) je nezávislé na volbě ∇.

Obrázek uživatele T_∇ v koksování (τ) pro jakékoli přizpůsobené připojení ∇ se nazývá kroucení z G-struktura. A G- struktura se říká, že je bez kroucení pokud jeho torze zmizí. To se stane přesně, když Q připouští přizpůsobení bez kroucení.

Příklad: Torze pro téměř složité struktury

Příklad a G-struktura je téměř složitá struktura, tj. Redukce skupiny struktur rovnoměrného potrubí na GL (n,C). Takové snížení jednoznačně určuje a C^∞-lineární endomorfismus J ∈ Konec (TM) takové, že J² = -1. V této situaci lze torzi vypočítat explicitně následujícím způsobem.

To ukazuje snadný počet dimenzí

${ displaystyle Omega ^ {2} (TM) = Omega ^ {2,0} (TM) oplus mathrm {im} ( tau)}$,

kde Ω^2,0(TM) je prostor forem B ∈ Ω²(TM) které uspokojují

${ displaystyle B (JX, Y) = B (X, JY) = - JB (X, Y). ,}$

Torzi téměř složité struktury lze tedy považovat za prvek v Ω^2,0(TM). Je snadné zkontrolovat, zda je torze téměř složité struktury stejná Nijenhuis tensor.

Vyšší řád G-struktury

Impozantní podmínky integrability na konkrétní G-struktura (například v případě symplektické formy) může být řešena prostřednictvím procesu prodloužení. V takových případech prodloužené G-strukturu nelze identifikovat pomocí a G- podskupina svazku lineárních rámců. V mnoha případech je však prodloužení samo o sobě hlavním svazkem a jeho strukturní skupinu lze identifikovat pomocí podskupiny vyššího řádu proudová skupina. V takovém případě se tomu říká vyšší řád G-struktura [Kobayashi]. Obecně, Cartanova metoda ekvivalence platí pro takové případy.

Viz také

• G₂-struktura

Poznámky

Reference

• Chern, Shiing-Shen (1966). "Geometrie G-struktury ". Bulletin of the American Mathematical Society. 72 (2): 167–219. doi:10.1090 / S0002-9904-1966-11473-8.
• Gauduchon, Paul (1997). "Kanonická spojení pro téměř hyperkomplexní struktury". Složitá analýza a geometrie. Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman. str. 123–136.
• Kobayashi, Shoshichi (1972). Transformační skupiny v diferenciální geometrii. Klasika z matematiky. Springer. ISBN  978-3-540-58659-3. OCLC  31374337.
• Sternberg, Shlomo (1983). Přednášky o diferenciální geometrii ((2. vyd.) Vyd.). New York: Chelsea Publishing Co. ISBN  978-0-8218-1385-0. OCLC  43032711.
• Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). "Reduktivní G-struktury a Lieovy deriváty". Journal of Geometry and Physics. 47 (1): 66–86. arXiv:matematika / 0201235. Bibcode:2003JGP .... 47 ... 66G. doi:10.1016 / S0393-0440 (02) 00174-2. PAN  2006228.